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文档简介

浙江省金华市永康荷园中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设函数,若,则正数a的取值范围为(

)A.(0,e)

B.(e,+∞)

C.

D.参考答案:C2.已知函数对定义域内的任意都有=,且当时其导函数满足若则(

)A.

B.C.

D.参考答案:C略3.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.4+8i

B.8+2i

C.2+4i

D.4+i参考答案:C略4.已知,则正确的结论是(

)A. B. C. D.大小不确定参考答案:B【详解】因为,,又,则.5.“a=2”是“函数f(x)=x2+ax+1在区间[﹣1,+∞)上为增函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:A【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断;3W:二次函数的性质.【分析】函数f(x)=x2+ax+1在区间[﹣1,+∞)上为增函数,结合二次函数的图象求出a的范围,再利用集合的包含关系判断充要条件即可.【解答】解:函数f(x)=x2+ax+1在区间[﹣1,+∞)上为增函数,∴抛物线的对称轴小于等于﹣1,∴﹣1,∴a≥2,“a=2”?“a≥2”,反之不成立.∴“a=2”是“函数f(x)=x2+ax+1在区间[﹣1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件.故选A.6.设M=2a(a-2)+3,N=(a-1)(a-3),a∈R,则有()A.M>N

B.M≥NC.M<N

D.M≤N参考答案:B7.已知实数、满足则的最小值等于

(

)

A.0

B.1

C.2

D.3参考答案:B8.把标号为1,2,3,4,5的五个小球全部放入标号为1,2,3,4的四个盒子中,不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中,则不同的方法种数是(

A、36

B、48

C、60

D、84参考答案:D

【考点】排列、组合的实际应用

【解答】解:第一类,第5球独占一盒,则有4种选择;如第5球独占第一盒,则剩下的三盒,先把第1球放旁边,就是2,3,4球放入2,3,4盒的错位排列,有2种选择,再把第1球分别放入2,3,4盒,有3种可能选择,于是此时有2×3=6种选择;如第1球独占一盒,有3种选择,剩下的2,3,4球放入两盒有2种选择,此时有2×3=6种选择,得到第5球独占一盒的选择有4×(6+6)=48种,

第二类,第5球不独占一盒,先放1﹣4号球,4个球的全不对应排列数是9;第二步放5号球:有4种选择;9×4=36,

根据分类计数原理得,不同的方法有36+48=84种.

故选:D.

【分析】由题意可以分两类,第一类第5球独占一盒,第二类,第5球不独占一盒,根据分类计数原理得到答案.

9.点P的直角坐标为,则点P的极坐标可以为(

)A. B.C. D.参考答案:B【分析】利用极坐标与直角坐标的互化公式,即可得到结论.【详解】∵点P的直角坐标为,∴,.∵点P在第二象限,∴取θ.∴点P的极坐标方程为(,).故选:B.【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化,确定角的时候,要注意点所在的象限,属于基础题.10.正五边形ABCDE中,若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法共有种(

)(A)30 (B)15 (C)60 (D)20参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在正四面体ABCD中,E、F分别是BC、AD中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值是________.参考答案:[解析]设正四面体的棱长为1,=a,=b,=c,则=(a+b),=c-b,|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=,∴·=(a+b)·(c-b)=a·c+b·c-a·b-|b|2=-,||2=(|a|2+|b|2+2a·b)=,||2=|c|2+|b|2-b·c=,∴||=,||=,cos〈,〉==-,因异面直线所成角是锐角或直角,∴AE与CF成角的余弦值为12.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=______.参考答案:13.若,则的值是

参考答案:114.将扑克牌中的A,2,3,4,……,J,Q,K分别看做数字1,2,3,……,11,12,13,现将一副扑克牌中的黑桃,红桃各13张放到一起,从中随机取出两张牌,其花色不同且两个数的积是完全平方数的概率为

_.参考答案:

15.方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示的圆面积最大时,圆心坐标是.参考答案:(0,﹣1)【考点】圆的标准方程.【分析】把圆的方程化为标准式方程后,找出圆心坐标与半径,要求圆的面积最大即要圆的半径的平方最大,所以根据平方的最小值为0即k=0时得到半径的平方最大,所以把k=0代入圆心坐标中即可得到此时的圆心坐标.【解答】解:把圆的方程化为标准式方程得+(y+1)2=1﹣,则圆心坐标为(﹣,﹣1),半径r2=1﹣当圆的面积最大时,此时圆的半径的平方最大,因为r2=1﹣,当k=0时,r2最大,此时圆心坐标为(0,﹣1)故答案为:(0,﹣1)16.若复数(为虚数单位),则||=

.参考答案:试题分析:因,故,应填.考点:复数的概念及运算.17.我们在学习立体几何推导球的体积公式时,用到了祖暅原理:即两个等高的几何体,

被等高的截面所截,若所截得的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.类比此方法:求双曲线﹣=1(a>0,b>0),与x轴,直线y=h(h>0)及渐近线y=x所围成的阴影部分(如下图)绕y轴旋转一周所得的几何体的体积

.参考答案:a2hπ;三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.设等差数列的前项和为且.

(1)求数列的通项公式;

(2)若函数,且数列满足,,求证:数列为等比数列,并求通项公式.参考答案:解:(1)设等差数列的公差为,则由得

,.-------------------------6分(2),,,且.数列是以1为首项,公比为4的等比数列.即.------------------------------13分

略19.已知a,b∈R+,设x=,y=,求证:(1)xy≥ab;(2)x+y≤a+b.参考答案:【考点】基本不等式.【分析】(1)利用基本不等式的性质即可得出.(2)通过平方作差利用乘法公式即可得出.【解答】证明:(1)∵a,b∈R+,x=,y=,∴xy=≥=ab,当且仅当a=b时取等号.(2)∵a,b∈R+,x+y=+,则(a+b)2﹣(x+y)2=(a+b)2﹣=﹣,而(a+b)4﹣(a﹣b)4=8ab(a2+b2),∴(a+b)4﹣8ab(a2+b2)=(a﹣b)4,∴(a+b)2≥,∴(a+b)2﹣(x+y)2≥0,∴a+b≥x+y.20.(16分)船上两根高5m的桅杆相距10m,一条30m长的绳子两端系在桅杆的顶上,并按如图所示的方式绷紧,假设绳子位于两根桅杆所在的平面内,求绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离.参考答案:【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题;数形结合;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】以两根桅杆的顶端A,C所在直线为x轴,线段AC的垂直平分线为y轴,建立如图所示直角坐标系,求出椭圆的方程,然后求解P到桅杆AB的距离.【解答】解:以两根桅杆的顶端A,C所在直线为x轴,线段AC的垂直平分线为y轴,建立如图所示直角坐标系,…则P点在以A,C为焦点的椭圆上,依题意,此椭圆的方程为,…因为P点纵坐标为﹣5,代入椭圆方程可解得…所以P到桅杆AB的距离为m.…(14分)答:绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离为m.…(16分)【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法与应用,考查分析问题解决问题的能力.21.(本题满分12分)已知,周长为14,,求顶点的轨迹方程.参考答案:解:以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则设点------------------------------------------------------------------------------------2分---------------------------------------------------------------------4分由椭圆的定义点c是以AB为焦点的椭圆A、B点除外-------7分

点c的轨迹方程为-----------------------------------------------------10分在中所以点c的轨迹方程为,().---------------------------------12分22.(12分)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围;(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.参考答案:(1)f′(x)=3x2-x+b,因f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则f′(x)≥0,

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