四川省乐山市中区土主中学2022年高二数学理模拟试卷含解析

四川省乐山市中区土主中学2022年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是a，b，c，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A. B. C. D.参考答案：C【分析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.等差数列{}中,若,则等于(

)A.45

B.75

C.180

D.320参考答案：C3.已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（

）A.(－∞,0) B.(0,+∞) C. D.参考答案：B【分析】由题意构造函数，由可得在上恒成立，所以函数在为上单调递减函数，由为偶函数，，可得，故要求不等式的解集等价于的解集，即可得到答案.【详解】由题意构造函数，则，定义在上的可导函数的导函数为，满足在上恒成立，函数在上为单调递减函数；又为偶函数，则函数，即关于对称，，则，由于不等式的解集等价于的解集，根据函数在上为单调递减函数，则，故答案选B【点睛】本题考查函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题。4.在△ABC中，，则A等于（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．120°参考答案：D5.设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（

）A．若与共面，则与共面B．若与是异面直线，则与是异面直线C．若，则D．若，则参考答案：C6.图中三条对数函数图象，若，则的大小关系是A

B

C

D

参考答案：B7.已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是(

)

A(1,

+∞)

B

C

D参考答案：D略8.在△ABC中，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C＝()．A．30°

B．60°

C．120°

D．30°或150°参考答案：A略9.下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是（

）A．16和12的最大公约数是4

B.78和36的最大公约数是6C．85和357的最大公约数是34

D.105和315的最大公约数是105参考答案：C略10.如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点到某一点的距离分别为5和8，，则之间的距离为（

）A.7

B.

C.6

D.8参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是集合中的所有数从小到大排成的数列，即

，则______参考答案：24略12.若x，y满足不等式，则的取值范围是________.参考答案：【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：由，满足不等式作出可行域如图，

令，目标函数经过A点时取的最小值，

联立，解得时得最小值，．

目标函数经过B点时取的最大值，

联立，解得，此时取得最大值，．

所以，z＝2x＋y的取值范围是．

故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．

13.若复数（m2+i）（1+mi）是纯虚数，则实数m=．参考答案：0或1【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（m2+i）（1+mi）=m2﹣m+（1+m3）i是纯虚数，∴m2﹣m=0，1+m3≠0，解得m=0或1，故答案为：0或1．14.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则t的取值范围是______.参考答案：【分析】构造函数，利用函数的导数研究函数的单调区间以及极值、最值，结合恒成立，求得的取值范围.【详解】依题意恒成立，即，构造函数，，令得，注意到图像在第一象限有且只有一个交点，设为，当时，，递增，当时，，递减.即在处取得极小值，也即是最小值.即，可得.则当时，不等式恒成立，所以的取值范围是.【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调区间以及极值、最值，考查恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.15.有4名学生插班到4个班级，每班1人，则不同的插班方案有__________种．

参考答案：2416.定义方程的实数根叫做函数的“好点”，如果函数，，（）的“好点”分别为，，，那么，，的大小关系是

▲

．参考答案：>>17.在某项测试中，测量结果服从正态分布，若在内的取值的概率为0.4，则在内取值的概率为

参考答案：0.8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于.（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，求N的横坐标的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线的距离.……2分由抛物线的定义得，即p=2.…………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的方程为，可设.……………5分由题知AF不垂直于y轴，可设直线,,由消去x得，………………6分故，所以.…………………7分又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而的直线FN:，直线BN:，………9分由解得N的横坐标是，其中…………………10分或.综上，点N的横坐标的取值范围是.…………12分

注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.19.设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．（Ⅰ）证明：a2＞；（Ⅱ）若=2，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平行向量与共线向量；椭圆的标准方程．【分析】（1）把直线l的方程代入椭圆方程，由直线与椭圆相交于A、B两个不同的点可得△＞0，解出即可证明；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系及向量相等得到y1，y2的关系及可用k来表示，再利用三角形的面积公式∴△OAB的面积及基本不等式的性质即可得出取得面积最大值时的k的值，进而得到a的值．【解答】（1）证明：由y=k（x+1）（k≠0）得．并代入椭圆方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2﹣6ky+3k2﹣k2a2=0

①∵直线l与椭圆相交于两个不同的点得△=36k2﹣4（3+k2）（3k2﹣k2a2）＞0，∴．（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由①，得，②∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），得y1=﹣2y2代入②，得，③∴△OAB的面积==≤=，当且仅当k2=3，即时取等号．把k的值代入③可得，将及这两组值分别代入①，均可解出a2=15．∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15．20.已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．参考答案：【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】（1）设，由||=2，且∥，知，由此能求出的坐标．（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…解得或，…故或．…（2）∵，∴，即，…∴，整理得，…∴，…又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（14分）【点评】本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．21.(本小题满分12分)对于函数若存在,使得成立,则称为的不动点.已知(1)当时,求函数的不动点;(2)若对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;(3)在(2)的条件下,若图象上、两点的横坐标是函数的不动点,且、两点关于直线对称,求的最小值.参考答案：(1)时,,函数的不动点为-1和3;(2)即有两个不等实根,转化为有两个不等实根,需有判别式大于0恒成立即,的取值范围为;(3)设,则,A,B的中点M的坐标为,即两点关于直线对称,又因为A,B在直线上,,A,B的中点M在直线上.利用基本不等式可得当且仅当时,b的最小值为.22.（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知（，、为常数），，，．（1）求、的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，，使得成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）解：，

……（1分）解答

．

…………（3分）（2）由（1）知，

①当时，

①－②，得（），又，

…………（4分）所以数