浙江省绍兴市阮庙中学2022-2023学年高二数学理下学期摸底试题含解析

浙江省绍兴市阮庙中学2022-2023学年高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3

B．(k＋2)3

C．(k＋1)3

D．(k＋1)3＋(k＋2)3参考答案：A略2.用反证法证明命题：“,,,且,则中至少有一个负数”时的假设为A．中至少有一个正数

B．全为正数C．中至多有一个负数

D．全都大于等于0参考答案：D3.已知集合，则满足条件的集合

的个数为A、1

B、2

C、3

D、4参考答案：D4.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（）A．x2=±3y B．y2=±6x C．x2=±12y D．x2=±6y参考答案：C【考点】抛物线的标准方程．【分析】先设出抛物线的方程，根据题意求得p，则抛物线的方程可得．【解答】解：设抛物线的方程为x2=2p或x2=﹣2p，依题意知=3，∴p=6，∴抛物线的方程为x2=±12y，故选：C．5.下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过（

）

x0123y1357

A．点（2,2）

B．点（1.5,2）

C.点(1,2)

D.点（1.5,4）参考答案：D略6.为了解某校高三学生的视力状况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力状况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频率成等比数列，设视力在到之间的学生数为，最大频率为，则的值分别为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（

）A.16π B.20π C.24π D.32π参考答案：C【分析】根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得.【详解】依题意正四棱柱的体对角线是其外接球的直径,的中点是球心,如图:依题意设,则正四棱柱的体积为:,解得,所以外接球的直径,所以外接球的半径,则这个球的表面积是.故选C.【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.8.如图，在平行四边形中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是(

)A．

B．C．

D．

参考答案：D9.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种 Ｂ．960种

Ｃ．720种 Ｄ．480种参考答案：B10.圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C． D．2参考答案：A【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知原点O（0，0），则点O到直线x+y+2=0的距离等于

参考答案：略12.下面算法的输出的结果是（1）

(2）

(3）

参考答案：（1）2006

(2）

9

(3）813.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于，则此抛物线的方程为．参考答案：x2=±3y【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【分析】设出抛物线方程，利用抛物线与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于，确定弦的端点的坐标，代入抛物线方程，可得结论．【解答】解：由题意，开口向上时，设抛物线方程为x2=2py（p＞0）∵抛物线与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于，∴弦的端点的坐标为（±，1）代入抛物线方程可得2p=3，∴抛物线方程为x2=3y同理可得开口向下时，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0）∵抛物线与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于，∴弦的端点的坐标为（±，﹣1）代入抛物线方程可得2p=3，∴抛物线方程为x2=﹣3y故答案为：x2=±3y．14.双曲线的焦点为F1和F2，点P在双曲线上，如果线段PF1的中点在y轴上，|PF1|：|PF2|=

． 参考答案：9【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】先求双曲线的焦点坐标，再根据点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，求得点P的坐标，进而计算|PF1|，|PF2|，即可求得|PF1|：|PF2|的值． 【解答】解：由题意，a=2，b=，c= 不妨设F1（﹣，0），则P（，）， ∴|PF2|=，|PF1|=4+=， ∴|PF1|：|PF2|=9． 故答案为：9． 【点评】本题重点考查双曲线的几何性质，考查距离公式的运用，属于基础题． 15.

。参考答案：16.已知双曲线的渐近线方程是，则其离心率是

.参考答案：或17.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组1～20号，第二组21～40号，…，第五组81～100号，若在第二组中抽取的编号为23，则在第四组中抽取的编号为__________．参考答案：63. 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）气象台A处向西300千米处有一个台风中心，若台风以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都处在台风圈内，问：气象台A处在台风圈内的时间大约多长？（提示：以现在台风中心位置点O为原点，以台风中心O点和气象台位置A点连线为轴，建立如图所示坐标系）参考答案：解：建立如图所示坐标系，以点A为圆心，半径为250千米的圆的方程为

台风移动路线直线的方程为

（），--------------------------------------------------------------------2分显然只要直线与圆A有交点，点A就处在台风圈内，A处就受到影响。------4分由

得--------------------6分因为⊿

所以直线BC与圆A相交，有两个交点B、C，--------------------------8分

又

所以-------------------------10分所以A处受台风影响的时间为小时，即大约6小时37分钟。--------------12分19.已知定点F（1，0），定直线，动点M（）到定点的距离等于到定直线的距离.（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；（Ⅱ）在动点M的轨迹上求一点P，使它到直线的距离的最短.参考答案：解：(1)动点M的轨迹方程为

……5分（2）设与直线平行的直线：，当直线与抛物线相切，切点即为所求的点P.……7分由得（*）由得

……9分方程（*）的解为，P（）

……11分故，当动点的坐标为P（）时，它到直线的距离最短……12分20.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，，CD⊥平面PAC，，.（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）由题意知为，利用等腰三角形三线合一的思想得出，由平面可得出，再利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值.【详解】（1）因为四边形是平行四边形，，所以为的中点.又，所以.因为平面，平面，所以.又，平面，平面，故平面；（2）因为，以为原点建立空间直角坐标系如下图所示，设，则、、、，所以，，，设平面的一个法向量为，则，所以，得，令，则，，所以.同理可求得平面的一个法向量，所以.又分析知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，同时也考查了二面角的计算，解题的关键在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21.设分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点。（Ⅰ）设椭圆C上的点到两焦点的距离之和为4，求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是(1)中椭圆上的一点，∠F1PF2=60°求△F1PF2的面积.参考答案：解:(1)依题意得:,则……….2分.又点在椭圆C：=1上,则………4分则有

…5分所以所求椭圆C:………………6分(2)因,所以……