预测控制中的模型与预测

关于预测控制中的模型与预测本章目录概述基于SISO阶跃响应模型的预测基于SISO传递函数模型的预测基于状态空间模型的预测模型之间的转换第2页,共31页，2024年2月25日，星期天概述预测控制中，基于模型预测对象的未来输出是否足够准确是控制成功的关键。这里，预测所用的模型往往是通过系统辨识获得的模型。最早用于预测控制的模型是基于阶跃响应的模型，然后是传递函数模型，最后是状态空间模型。本章将详述基于这些模型的预测方法。预测的目标是在k时刻基于数据，预测y(k+j)：第3页,共31页，2024年2月25日，星期天基于SISO阶跃响应模型的预测设被控对象的冲激响应为h0=0,h1,h2,…

该对象的阶跃响应为s0=0,s1,s2,…

则两者具有关系

sk=h0+…+hk hk=sk-sk-1实际的冲激响应序列和阶跃响应序列都是无限的。在计算机中，因为计算时间和内存大小都是有限的，故只能截取其中的一部分。如果对象是稳定的，可不失合理性地假设当k>n时，hk=0，也即有sn=sn+1=sn+2=…第4页,共31页，2024年2月25日，星期天基于SISO阶跃响应模型的预测（续）在假设外部扰动为零的前提下，对象输出y(k)和控制量u(k)的关系式为：将外部扰动建模为累加白噪声，记白噪声为v(k)。有：基于上式推导，得：第5页,共31页，2024年2月25日，星期天为何将扰动建模为累加白噪声？因为将扰动假定为累加白噪声比较符合真实情况。对象的真实模型与预测模型的误差可以认为是一种扰动，而且是总扰动的主要成分。而这种扰动在一个小的时间区间内是比较恒定的。如果将扰动假定为白噪声，则不同时刻的扰动毫不相关，这与实际情况不符合。此外，将扰动假定为积分白噪声在模型上比较简单，计算上也是比较方便的。用直观的语言来说，这个假设就是：上次的扰动是多少，这次的扰动差不多还是那么大。第6页,共31页，2024年2月25日，星期天基于SISO阶跃响应模型的预测（续）回到刚才推得的模型。该模型为一输入输出模型，它有一个等价的状态空间模型：第7页,共31页，2024年2月25日，星期天基于SISO阶跃响应模型的预测（续）令则第8页,共31页，2024年2月25日，星期天注意到v(k)=y(k)-Nx(k),将其代入状态方程可得：我们可以利用上式来构造状态x(k)的观测器：对象的状态x(k)和观测器的状态

(k)将会在至多n步内相同(deadbeatobserver)，这是可以证明的。有兴趣的同学可以自己证明。第9页,共31页，2024年2月25日，星期天因此，在k时刻，x(k+1)的最佳预估值为在k时刻，x(k+j),j≥1的最佳预估值为第10页,共31页，2024年2月25日，星期天在k时刻，y(k+j)的最佳预估值为：所以Y*(k)的公式为：第11页,共31页，2024年2月25日，星期天附：M-1N幂零性的证明第12页,共31页，2024年2月25日，星期天而注意到第13页,共31页，2024年2月25日，星期天基于SISO传递函数模型的预测前面给出的预测算式，只有在对象是稳定时才是可行的。因为阶跃响应截尾假设只对稳定对象适用。不过，对于一般的SISO线性对象，无论其是否稳定，其传递函数总是有的。在无干扰的情况下，对象输出y(k)和控制量u(k)的关系式为：如果考虑到扰动的影响，则可以使用如下的模型：有人会问：为什么这里的扰动不用累加白噪声？我们说：其实确实是应该建模成累加白噪声。但是，采用累加白噪声的CARIMA模型可以转换成为用白噪声的CARMA模型，所以我们现在暂时这么推导。等到我们讲到广义预测控制时，再重新从CARIMA模型出发。第14页,共31页，2024年2月25日，星期天我们发现上面的这种表述方式在后面的推导中显得很麻烦，所以我们采用一种算子描述。Z是超前1步算子。Z-1是滞后一步算子。因此上面的CARMA模型可以写出下面的形式：第15页,共31页，2024年2月25日，星期天G和E一定可以展开成幂级数形式：令则第16页,共31页，2024年2月25日，星期天令，则有由于zjEjv(k)是未来的扰动，其最优预测是0，因此我们得到如下的预测算式：第17页,共31页，2024年2月25日，星期天注意到zj(E-Ej)E-1y(k)所涉及的都是已经观测到的y值。注意到则因此y*的公式为：而第18页,共31页，2024年2月25日，星期天C=1时y*的计算公式上式中，由于而是的部分和，同理也是多项式。这说明可以通过公式计算y*。第19页,共31页，2024年2月25日，星期天一个例子用算子描述：A[y(k)]=B[u(k)]+C[v(k)]因此，第20页,共31页，2024年2月25日，星期天第21页,共31页，2024年2月25日，星期天基于状态空间模型的预测我们采用稳态Kalman新息模型文献上还有另外一种带随机输入的线性状态空间模型不过，第二种模型可以转换成为第一种模型。第22页,共31页，2024年2月25日，星期天基于状态空间模型的预测（续）则我们有因此，只要－H的特征值在单位圆内，则观测器稳定。从状态方程和输出方程可推出我们构造如下的状态观测器第23页,共31页，2024年2月25日，星期天因此，在k时刻，x(k+1)的最佳预估值为在k时刻，x(k+j),j>1的最佳预估值为第24页,共31页，2024年2月25日，星期天又由于所以在k时刻，y(k+j)的最佳预估值为第25页,共31页，2024年2月25日，星期天模型之间的转换阶跃响应模型可以看作是传递函数模型的一种特殊情况。阶跃响应为s0=0,s1,s2,…,sn,sn,…而且扰动建模为累计白噪声。则其差分方程模型为：根据上式不难写出其传递函数模型。前面已经给出了它的状态空间模型。根据传递函数模型或状态空间模型得到阶跃响应模型？前提必须是对象稳定，而且一般只能得到近似模型，截尾的长度要合适。第26页,共31页，2024年2月25日，星期天模型之间的转换（续）SISO传递函数模型可以看作是状态空间模型的一种特殊情况。从传递函数模型得到状态空间模型，可以用其标准实现：控制器形，能控性形，观测器形，能观性形。这四种是相互等价的。当然你也可以选其他实现。从状态空间模型得到传递函数模型？用计算公式即可。记G(z)代表从u到y的传递函数，E(z)代表从v到y的传递函数。第27页,共31页，2024年2月25日，星期天上面的CARMA模型的一个状态空间实现是：第28页,共31页，2024年2月25日，星期天附：从普通的随机状态空间模型得到稳态Kalman信息模型前面我们的推导是基于稳态Kalman信息模型。为什么可以用这个模型？我们知道，普通的随机线性系统的模型形式为：其中w(k)为单位白噪声，其定义为：第29页,共31页，