上海恒丰中学高二数学理期末试卷含解析

上海恒丰中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若等比数列的前项和为(为常数，)，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.设F（x）=f（x）+f（﹣x），x∈R，若[﹣π，﹣]是函数F（x）的单调递增区间，则一定是F（x）单调递减区间的是（）A．[﹣，0] B．[，0] C．[π，π] D．[，2π]参考答案：B【考点】3D：函数的单调性及单调区间．【分析】根据条件先判断函数F（x）的奇偶性，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵F（x）=f（x）+f（﹣x），∴F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F（x），则函数F（x）是偶函数，若[﹣π，﹣]是函数F（x）的单调递增区间，则[，π]是函数F（x）的单调递递减区间，∵[，0]?[，π]，∴[，0]是函数F（x）的单调递递减区间，故选：B．3.无穷等比数列中，，则首项的取值范围是

(

).

A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D略5.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3=7﹣a2，则S4=（）A．15 B．14 C．13 D．12参考答案：B【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出a3+a2的值，然后求解S4的值．【解答】解：由题意可知a3=7﹣a2，a3+a2=7，S4=a1+a2+a3+a4=2（a3+a2）=14．故选：B．【点评】本题考查等差数列的基本性质，数列求和，基本知识的考查．6.柱坐标（2，，1）对应的点的直角坐标是（

）.A.()

B.()

C.()

D.()参考答案：A7.已知是等比数列，，，则（

）A． B．C． D．参考答案：D略8.在三角形ABC中，的值为

（

） A．

B．

C．

D．参考答案：A9.已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则(

)．A．?p：?x∈R，sinx≥1

B．?p：?x∈R，sinx≥1C．?p：?x∈R，sinx>1

D．?p：?x∈R，sinx>1参考答案：C略10.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列①~⑤各个选项中，一定符合上述指标的是 ①平均数；②标准差；③平均数且标准差； ④平均数且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4。 A．①② B．③④ C．③④⑤ D．④⑤参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.椭圆C：+=1的左右焦点为F1，F2，M为椭圆C上的动点，则+的最小值为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由+==，MF1?MF2的最大值为a2=25，能求出+的最小值．【解答】解：∵椭圆C：+=1的左右焦点为F1，F2，M为椭圆C上的动点，∴+==，∵MF1?MF2的最大值为a2=25，∴+的最小值dmin==．故答案为：．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．12.空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则_________

（用，，表示）参考答案：略13.下列说法：①函数f（x）=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间（1，2）；②若关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；④已知函数f（x）=log2为奇函数，则实数a的值为1．正确的有

．（请将你认为正确的说法的序号都写上）．参考答案：①④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】对于①：结合函数的单调性，利用零点存在性定理判断；对于②：分a=0和a≠0进行讨论，a≠0时结合二次函数的图象求解；对于③：结合图象及导数进行判断；对于④：利用奇函数定义式，f（﹣x）+f（x）=0恒成立求a，注意定义域．【解答】解：对于①：函数f（x）=lnx+3x﹣6[m，n]在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=ln1+3×1﹣6=﹣3＜0，f（2）=ln2+3×2﹣6=ln2＞0．所以①正确；对于②：当a=0时原不等式变形为1＞0，恒成立；当a≠0时，要使关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a＞0且△=（2a）2﹣4a×1＜0?0＜a＜1，综上可得a的范围是[0，1），故②不正确；对于③：令函数y=x﹣sinx，则y′=1﹣cosx，所以该函数在[0，+∞）上是增函数，且x=0时最小，且该函数是奇函数，所以函数y=x﹣sinx只有x=0一个零点，即函数y=x的图象与函数y=sinx的图象只有一个交点，故③不正确；④由奇函数得：，，a2=1，因为a≠﹣1，所以a=1．故④正确．故答案为：①④．【点评】该题目考查了函数的奇偶性的定义、零点定理、等基础知识，在应用过程中要注意准确把握定理应用的要素与条件，切不可想当然．14.如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=

．参考答案：2【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据题意，求出函数的半周期，计算ω的值，再求出φ的值，写出f（x）的解析式，即可计算出f（﹣1）的值．【解答】解：根据题意，A，B两点之间的距离为5，A，B两点的纵坐标的差为4，所以函数的半周期为T==3，解得T=6；则ω==，函数解析式为f（x）=2sin（x+φ）；由f（0）=1，得2sinφ=1，∴sinφ=；又0≤φ≤π，∴φ=，；则f（x）=2sin（x+），或f（x）=2sin（x+），∴f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin=2．或f（﹣1）=2sin（﹣+）=﹣1（由函数图象舍去），故答案为：2．15.(|x﹣1|+|x﹣3|)dx=

．参考答案：10【考点】定积分．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】由和的积分等于积分的和展开，把被积函数去绝对值后进一步转化为四个定积分求解．【解答】解：（|x﹣1|+|x﹣3|）dx=|x﹣1|dx+|x﹣3|dx=（1﹣x）dx+（x﹣1）dx+（3﹣x）dx+（x﹣3）dx==10．故答案为：10．【点评】本题考查了定积分，关键是把被积函数去绝对值后注意积分区间的变化，是基础题．16.若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1内接于半径为R的半球，上底面顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，下底面ABCD在半球的底面上，则该正四棱柱体积的最大值为

．参考答案：略17.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.计算:(1)；

(2)参考答案：（1）；（2）－1.【分析】根据复数的四则运算法则计算即可得到结果.【详解】(1)(2)【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.19.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．参考答案：【考点】余弦定理；等差数列的通项公式；等差关系的确定．【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．20.过点P（）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于M，N两点，求|PM|?|PN|的最小值及相应的α值．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用已知可得：直线的参数方程为（t为参数），0≤α＜π，把直线的参数方程代入椭圆方程x2+2y2=1，整理得t的二次方程，由于直线与椭圆相交两点，可得△≥0，得出sinα的取值范围，再利用参数的几何意义可得|PM|?|PN|=|t1t2|=即可．【解答】解：设直线MN的方程为（t为参数），0≤α＜π，代入椭圆的方程可得，t2（1+sin2α）+tcosα+=0，判别式△=10cos2α﹣6（1+sin2α）=4﹣16sin2α≥0，解得0≤sinα≤，即有|PM|?|PN|=|=|t1t2|=≥=，当且仅当sinα=，即α=或时取等号．∴当α=或时，|PM|?|PN|的最小值为．【点评】本题考查了直线的参数方程及其几何意义、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．21.已知函数的图象在[a，b]上连续不断，定义：，．其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．（1）若，，试写出，的表达式；（2）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；（3）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.参考答案：解：（1）由题意可得：，。（2），，当时，当时，当时，综上所述，。即存在，使得是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。（3），令得或。函数的变化情况如下：x02-0+0-04

令得或。（i）当时，在上单调递增，因此，，。因为是上的“二阶收缩函数”，所以，①对恒成立；②存在，使得成立。①即：对恒成立，由解得或。要使对恒成立，需且只需。②即：存在，使得成立。由解得或。所以，只需。综合①②可得。（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，显然当时，不成