山东省临沂市常马中学高二数学理期末试题含解析

山东省临沂市常马中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1..函数的单调递减区间是（）A.（－∞,2）B.（0,3）C.（1,4）D.（2,+∞）参考答案：A【分析】求函数的导数，利用导数求函数的单调区间.【详解】由，令可得，所以函数的单调递减区间为，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，属于中档题.2.圆C1:与圆C2:的位置关系是（

）A、外离

B

相交

C

内切

D

外切参考答案：D3.在面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积大于的概率是

（

）A．

B．

C．

D.参考答案：D4.利用反证法证明：“若x2+y2=0，则x=y=0”时，假设为（）A．x，y都不为0 B．x≠y且x，y都不为0C．x≠y且x，y不都为0 D．x，y不都为0参考答案：D【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得答案．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为“x，y不都为0”，故选D．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于基础题．5.函数的图象恒过定点，若点在直线

上，其中均大于0，则的最小值为A．2

B．4

C．8

D．16参考答案：C略6.在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为()A．4

B.

C．2

D．2参考答案：C7.若，则A∩B=（

）A.{0,1,2,3} B.{1,2} C.{0,1,2,4} D.{1,2,4}参考答案：B【分析】求解出集合，根据交集定义得到结果.【详解】

本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.8.下列语句中：①

②

③

④

⑤

⑥

其中是赋值语句的个数为（

）A．6

B．5

C．4

D．3参考答案：C9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（

）． A．8cm3 B．12cm3 C． D．参考答案：C见空间几何体下半部分为边长为的正方体，其上半部分是一个底面为边长为的正方形，高为的四棱锥，故其体积为两部分体积之和，．故选．10.2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是(

)A．﹣＜x＜3 B．﹣＜x＜0 C．﹣3＜x＜ D．﹣1＜x＜6参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】通过解二次不等式求出2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件．【解答】解：2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件为对于A是2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件对于B，是2x2﹣5x﹣3＜0的充分不必要条件对于C，2x2﹣5x﹣3＜0的不充分不必要条件对于D，是2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件故选D【点评】解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：212.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,记为数列,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列,可以推测:是数列中的第______项;

(2)______.(用表示)参考答案：略13.若中两直角边为，，斜边上的高为，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥，为棱锥的高，记，，那么，的大小关系是__________．参考答案：在中，①,由等面积法得,∴②，①②整理得，，类比知：③，由等体积法得，∴④，③④得，故答案为．14.投掷一枚均匀的骰子，则落地时，向上的点数是2的倍数的概率是；落地时，向上的点数为奇数的概率是

． 参考答案：，．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；对应思想；分析法；概率与统计． 【分析】用列举法求得投掷一枚均匀的骰子，落地时向上的点数组成的基本事件数以及点数是2的倍数，向上的点数为奇数的基本事件数，求出对应的概率即可． 【解答】解：投掷一枚均匀的骰子，落地时向上的点数组成的基本事件是1，2，3，4，5，6共6种； 其中点数是2的倍数的基本事件是2，4，6共3种；向上的点数为奇数为1，3，5 所以，所求的概率是P==，P==． 故答案为：，． 【点评】本题考查了利用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目． 15.在正三棱锥中，过点作截面交分别

，则截面的周长的最小值是________________.参考答案：16.曲线在点（1，2）处的切线方程是

．参考答案：y=3x-117.已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，那么=

；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图过圆锥轴的截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点，已知，圆锥体积为，点Ｏ为底面圆的圆心．（1）求该圆锥的侧面积；（2）设异面直线与所成角的大小为，求的值．参考答案：（1）（2）19.已知椭圆经过点，的四个顶点围成的四边形的面积为.（1）求的方程；（2）过的左焦点F作直线l与交于M、N两点，线段MN的中点为C，直线OC（O为坐标原点）与直线相交于点D，是否存在直线l使得为等腰直角三角形，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.参考答案：（1）；（2）存在，直线的方程为或.【分析】（1）由题中条件得出关于、的方程组，解出与的值，可得出椭圆的方程；（2）设直线的方程为，设点，，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，得出直线的方程，可求出点的坐标，利用斜率关系得知，由此得出，利用距离公式可求出的值，即可对问题进行解答.【详解】（1）依题意，得，，将代入，整理得，解得，所以的方程为；（2）由题意知，直线的斜率不为，设，，.联立方程组，消去，整理得，由韦达定理，得，.所以，，即，所以直线的方程为，令，得，即，所以直线的斜率为，所以直线与恒保持垂直关系，故若为等腰直角三角形，只需，即，解得，又，所以，所以，从而直线的方程为或.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的存在性问题，对于这类问题的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求思想求解，同时要将题中的一些条件进行等价转化，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于难题.20.如图，已知平面ABC⊥平面BCDE，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，AC∥DF，四边形BCDE为直角梯形，DE∥BC，BC⊥CD，CD=1，点G为△ABC的重心，N为AB中点，=λ（λ∈r，λ＞0），（Ⅰ）当λ=时，求证：GM∥平面DFN（Ⅱ）若直线MN与CD所成角为，试求二面角M﹣BC﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）当λ=时，连AG延长交BC于P，证明GM∥PF，P，D，F，N四点共面，即可证明：GM∥平面DFN（Ⅱ）若直线MN与CD所成角为，以P为原点，PC为x轴，PE为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求二面角M﹣BC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连AG延长交BC于P，因为点G为△ABC的重心，所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又=λ，λ=，所以==，所以GM∥PF；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为AC∥DF，DE∥BC，所以平面ABC∥平面DEF，又△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，N为AB中点，P为BC中点，所以NP∥AC，又AC∥DF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以NP∥DF，得P，D，F，N四点共面∴GM∥平面DFN﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）平面ABC⊥平面BCDE，易得平面DEF⊥平面BCDE，以P为原点，PC为x轴，PE为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），D（1，1，0），A（0，0，），F（，1，），B（﹣1，0，0），N（﹣，0，），﹣﹣﹣﹣设M（x，y，z），∵=λ，∴M（，λ，），=（，λ，），=（0，1，0）因为MN与CD所成角为，所以=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得2λ2+λ﹣1=0，∴λ=，∴M（，，），设平面MBC的法向量=（a，b，c），=（2，0，0），=（，，），则，取=（0，3，﹣2），面BCD的法向量=（0，0，1），所以二面角M﹣BC﹣D的余弦值==﹣﹣﹣﹣﹣21.（本小题满分10分）已知在空间四边形中，，且分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：.参考答案：（Ⅰ）证明：因为分别是的中点，所以，为的中位线，所以.………2分又因为平面，平面,所以，平面.

……………4分（Ⅱ）证明：连结，在中，因为是中点，所以.……………6分同理可证，.

……………7分又因为，，平面，平面，所以，平面.

……………9分又因为，平面，所以.

……………10分22.（本小题满分14分）设函数.（1）关于（2）解关于x的不等式（3）函数有上零点，求实数a的取值范围.参考答案：（1）由题意得，，

...........................1分所以，

........................3分解得，，

所以实数a的取值范围.

..................4分（2）由即

.............................................5分其中当

........6分当设，则

.......