上海求是中学高二数学理期末试题含解析

上海求是中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“﹣1≤m≤1”是“圆（x+m）2+y2=1与圆（x﹣2）2+y2=4有公共点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合圆与圆的位置关系，求出m的范围，再利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若圆（x+m）2+y2=1与圆（x﹣2）2+y2=4有公共点，则2﹣1≤|2+m|≤2+1，解得﹣5≤m≤﹣3或﹣1≤m≤1，则“﹣1≤m≤1”是“圆（x+m）2+y2=1与圆（x﹣2）2+y2=4有公共点”的充分不必要条件故选A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．2.△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R=(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积，即可求解．【详解】设四面体的内切球的球心为，则球心到四面体的距离都是，所以四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积和，则四面体的体积为，所以，故选C．【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中对于类比推理的步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论，熟记类比推理的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数求导，然后由y’＞0可得x的范围，从而可得函数的单调递增区间．【解答】解：f′（x）=a?，（a＞0），令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在（﹣1，1）递增，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系及应用，导数法是求函数的单调区间的基本方法，一定要熟练掌握．4.计算下列几个式子,①,

②2(),③,④，结果为的是（

）

A.①②

B.①③

C.①②③

D.①②③④

参考答案：C5.设、、都是正数，则三个数，，（

）A．都大于2

B．至少有一个大于2

C．至少有一个不小于2

D．至少有一个不大于2参考答案：C略6.已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为（

）A．4

B．6

C．8

D．12参考答案：C设正四棱锥S?ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，则：，整理可得：，而正四棱锥的高为h=6+x，故正四棱锥体积为：当且仅当，即x=2时，等号成立，此时正四棱锥的高为6+2=8.本题选择C选项.

7.若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为

（

）A．8

B．12

C．16

D．20参考答案：C8.下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A9.直线的参数方程是（

）A.（t为参数）

B.（t为参数）C.（t为参数）

D.（t为参数）参考答案：C10.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）A．y=3x2或y=﹣3x2 B．y=3x2C．y2=﹣9x或y=3x2 D．y=﹣3x2或y2=9x参考答案：D【考点】抛物线的标准方程；圆的标准方程．【分析】首先将圆方程化成标准形式，求出圆心为（1，﹣3）；当抛物线焦点在y轴上时，设x2=2py，将圆心代入，求出方程；当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，将圆心代入，求出方程【解答】解：根据题意知，圆心为（1，﹣3），（1）设x2=2py，p=﹣，x2=﹣y；（2）设y2=2px，p=，y2=9x故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(几何证明选讲)如图,圆的半径为1,、、是圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则__________.参考答案：12.函数y=2sinx﹣x，x∈[0，π]的单调递减区间为．参考答案：（，π）略13.一船以每小时15km的速度向东航行,船在处看到一个灯塔在北偏东60°方向,行驶4h后,船到处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为

km.参考答案：略14.（文科）如图，二面角的大小是60°，线段.，

与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是

参考答案：略15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径为1，若，则△ABC的面积为______．参考答案：分析：由正弦定理可把其中一边化为角，从而由及由公式求得面积.

详解：由题意得，即，∴，故答案为.点睛：正弦定理：，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为.16.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：psin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a的值为．参考答案：提示：设点M对应的参数为，点N对应的参数为，则有，即直线参数方程代入到抛物线普通方程，得，有，代入得a=117.若为圆的弦的中点，则直线的方程是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线上的两点、满足=,,其中点坐标为(0,1),=＋,为坐标原点.

（Ⅰ）求四边形的面积的最小值;

（Ⅱ）求点的轨迹方程.参考答案：＋(－1)2=0,\^.……4分又OAMB是平行四边形,\四边形OAMB是矩形,\S=||·||=·=－x1x2===.\当k=0时,S取得最小值是2.

……8分(Ⅱ)设M(x,y),\,消去x1和x2得x2=y－2,\点M的轨迹是y=x2＋2

……12分19.已知函数f（x）=lnx﹣x+﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=﹣x2+2bx﹣4，若对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求f′（x），在函数定义域内利用导数与函数单调性关系解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．（Ⅱ）由题意不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，可转化为f（x）min≥g（x）max，或分离出参数后再求函数最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx﹣x+﹣1的定义域是（0，+∞）．f′（x）==，由x＞0及f′（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞3，故函数f（x）的单调递增区间是（1，3）；单调递减区间是（0，1），（3，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以当x∈（0，2）时，，对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，问题等价于﹣≥g（x）对任意x∈[1，2]恒成立，即恒成立．不等式可变为b，因为x∈[1，2]，所以，当且仅当，即x=时取等号．所以b，故实数b的取值范围是（]．20.(本小题满分12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m。养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐。现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m(底面直径不变)。（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？参考答案：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M,则仓库的体积如果按方案二，仓库的高变成8M，则仓库的体积（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M,半径为8M.