金融数学简介

金融数学简介2024/3/24金融数学简介引言金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展的前沿课题及前景。简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金融问题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖工作为基础的。2金融数学简介

1990年诺贝尔经济奖授予H.Markowitz，W.Sharpe和M.Miller，奖励他们在金融经济学中的先驱工作——H.Markowitz的投资组合理论、W.Sharpe的资本资产定价理论M.Miller的公司财务理论。诺贝尔经济奖简介（1）注3金融数学简介H.Markowitz在《资产组合选择》一文中，第一次从风险资产的收益率和风险之间的关系出发，讨论了不确定经济环境中最优资产组合的选择问题。其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投资组合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清晰的、简单的二次规划问题，即均值－方差分析；并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。4金融数学简介W.Sharpe的资本资产定价理论，在较强的市场假设下，给出了Markowitz均值方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型。（CAPM）[2]其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件下金融决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马克维茨的分析方法进一步发展为著名的"资本资产定价模型"，用来说明在金融市场上如何建立反映风险和潜在收益有价证券价格。5金融数学简介M.Miller的公司财务理论（1958）主要研究资本结构与其企业市场价值的关系。Miller在《资本成本、公司理财和投资理论》论文中证明，在一定假设下，企业的市场价值与其资本结构无关。传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系，Miller的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起了广泛的争议。从50年代末到60年代末，经过一轮唇枪舌战的辩论之后，Miller的公司财务理论开始盛行于财务学界，逐步确定它在学术界的主流地位。6金融数学简介

1997年诺贝尔经济奖授予R.Merton和M.Schole,以奖励他们和F.Black在确定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是关于期权定价的著名的Black-Sholes公式。诺贝尔经济奖简介（2）注7金融数学简介1973年，M.Scholes与已故的经济学家F.Black发表《期权定价和公司债务》一文，给出了期权定价的Black-Sholes公式。指出期权价格仅依赖于股票价格的波动量、无风险利率、期权到期时间、执行价格、股票时价.其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的证券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。注8金融数学简介1973年R.Merton在＜经济和管理科学杂志＞上发表了＜理性期权定价理论的文章＞，对Black-Sholes公式的假定条件做了进一步削弱，在许多重要方面都对Black-Sholes的研究做了推广．Merton对Black-Sholes原用的分析方法进行了改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一个价格而不经历其间的价格．这样推导出的公式更加现实．注9金融数学简介2003年度诺贝尔经济学奖授予RobertF.Engle和CliveGranger。令Engle摘取桂冠的是他于1982年提出的ARCH模型。Granger因为时间序列的协整分析方法而获奖,他的贡献将用于研究财富与消费、汇率与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。诺贝尔经济奖简介（3）10金融数学简介对收益率的建模研究一直在计量经济学中占据很重要的位置。显然对于一阶矩的刻画是比较容易的,所以人们将注意力都放在了对二阶矩的建模上,也就是对收益率波动的计量建模。为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和分析方法,许多金融学家尝试了不同的模型。其中,Engle于1982年提出的ARCH模型,被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。11金融数学简介20世纪70年代以前计量经济学的建模方法都是以经济变量平稳这一假设条件为基础。但在实际中,许多经济指标的时间序列都是非平稳的,并不具有固定的期望值,并且呈现出明显的趋势性和周期性。经济变量表现出的非平稳性使传统建模遇到了前所未有的困难。格兰杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡关系,但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有可能是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协整,是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。目前,协整分析已成为处理非平稳金融、经济变量相依关系的行之有效的方法。12金融数学简介本文主要介绍投资组合理论Ross套利定价理论衍生证券的定价理论二杈树模型Black-Sholes模型ARCH模型及其应用利率期限结构理论公司资本结构保险精算学简介13金融数学简介1.投资组合理论简介在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证券投资组合。证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情形是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最优投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期望收益率，选择资产组合使其总风险最小。14金融数学简介Markowitz提出的证券组合均值方差问题，是证券组合理论的基本问题，可描述为有约束的线性规划问题解上述问题可得最优资产组合w*的表达式，且最优资产组合的方差为其中注15金融数学简介在方差-均值坐标系下，它是抛物线。注16金融数学简介在均方差-均值坐标系下，它是双曲线。17金融数学简介可证：任一最小方差资产组合wp都可唯一地表示为其中称为全局最小方差资产组合。称为全局可分散化资产组合。这就是著名的两基金分离定理。注18金融数学简介上述结论还可推广到具有无风险资产的均值-方差模型，此时模型为最小方差资产组合的方差为在均方差-均值坐标系下，它是公共交点为（0，r）的两条射线，其斜率为19金融数学简介两基金分离定理的表现形式为：所有最小方差资产组合都是无风险资产和不含任何无风险资产的所谓“切点”资产组合的组合。20金融数学简介2.资本资产定价模型资本资产定价模型（CAPM）是在理想的资本市场中,根据两基金分离定理建立的。它的基本结论是(Sharp-Lintner-Monssin)假设市场上可以获得无风险资产，当市场达到均衡时，任意资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率成正比，即有关系式其中称为资产X的市场beta系数,表示资产X所面临的风险系数。注21金融数学简介XM为市场资产组合——设市场上有n种风险资产，一种无风险资产。每种资产的价格为pi，i=0,1,…,n,如果市场上有K位投资者，且在某一时刻，第k位投资者持有第i种资产的数量为Nik，若记则称为该时刻的投资者市场资产组合。可以证明，当市场达到均衡，且无风险资产是零净供应的金融证券时，切点资产组合wt就是市场资产组合。注22金融数学简介CAPM在资产定价中的应用一证券市场线对任意风险资产的投资组合Xx，由点所形成的轨迹称为证券市场线。注23金融数学简介二风险自行调节收益率定价公式CAPM对个别资产提供了一种可量化的风险测度，所以CAPM可以用于确定未来收益率概率分布假设为已知的风险资产在当前的价值。设市场上第j种资产期终风险收益为Pe，当前价格为P0，其收益率则风险自行调节收益率定价公式为其中24金融数学简介在风险自行调节收益率定价公式中，将代入，得确定等价定价公式25金融数学简介CAPM在资产定价中的应用———股票定价例某公司I在时期1将发行100股股票，公司I在时期2的价值为随机变量VI（2）。公司的资金都是通过发行这些股票而筹措的，已知股票的持有者有资格获得完全的收益流。现给出有关测算数据如下VI（2）$1000$800P0.50.5将上述数据代入风险自行调节收益率定价公式得故每股价格为7.83$26金融数学简介3.Ross套利定价理论（APT）在金融理论中，确定风险资产合理价值主要有两种方法。一种是基于竞争均衡理论的定价方法，如上节的CAPM，认为资产的合理价格由所谓的“内在源”，也就是资产市场中现有的所有资产所共同确定；另一种是基于一般套利定价理论的定价方法（GAPT），如本节将要介绍的Ross套利定价理论（APT）认为资产的合理价格由所谓的“外在源”，也就是资本市场的其他因素所确定。27金融数学简介基于上述思想，被誉为美国“金融神童”的Ross在1976年《JournalofEconomicTheory》上发表的《ArbitrageTheoryofCapitalAssertPricing》一文中十分武断地指出：任何资产的价格可以表示为一些“共同因素”的线性组合。这些“共同因素”可以是通货膨胀率，人口出生率，工业增长指数，证券市场综合指数，外汇汇率等等各种因素，然后利用套利定价方法给出了资产收益率的一般表达式。记资产市场中第i种资产的收益率为Xi，可通过统计方法测算的影响资产收益率的因素收益率记为随机变量fk,k=1,…,K,不能通过统计方法测算或未知的影响资产收益率的因素收益率记为随机变量

i,并假定资产收益率由以下线性多因子模型所描述：注28金融数学简介(3.1-a)(3.1-b)(3.1-c)其中称为残差风险。根据上述模型，利用渐近无套利定价假设可以给出资产超额收益率表达式实数

k反映了证券对于因子fk的敏感性。称为因子风险溢价。(3.2-c)29金融数学简介从统计观点来看，APT是通过许多因子来确定证券价格，它使我们扩大了考虑因素的范围，可以从证券市场以外的因素去选择，而不象CAPM只从证券市场本身的历史来研究。这样，就可以把证券的价格和国家经济发展状况，企业经营状况，外汇市场等等其它经济因素相联系，从而使模型更好地反映现实状况。一般认为，APT与CAPM相比有以下几个特点：（1）对分布不作要求（2）对个人的效益没有直接假定什么条件；（3）允许依赖于许多因素；（4）可以对证券的一部分的组合定价，无需涉及全体；（5）容易推广到多阶段的情形。30金融数学简介4.二杈树模型二杈树模型是金融衍生证券定价问题中常用的一种股票价格模型。考虑这种模型有以下2个原因。1。该模型构造简单，且是实际模型的一种很好的逼近2。可通过这种简单的模型阐明金融中的重要概念——套期保值，风险中性测度等。无套利假设是所有研究的前提——称某个市场有套利机会，如果存在一种投资组合，使资产值Yt满足Y0=0,注31金融数学简介考虑简单欧式看涨期权的定价问题：以敲定价K>0于时刻1兑现，期权持有者的收益为V0=?注32金融数学简介设期权价格V0,若将价值V0的资产在市场投资，在0时刻购买

0股股票，剩余的资金（可能是负的）存（借贷）款，则到1时刻资金价值为，这一价值应该与期权在1时刻的价值相等，即解上述联立方程可得*注33金融数学简介称为套期保值比。注意若取则*式可形式地写作称为风险中性概率测度（或等价鞅测度）。欧式期权的定价可以简洁地表示成“风险中性测度下，期权到期价值的数学期望”。34金融数学简介多期二杈树模型Stockprice…,…期权价值注35金融数学简介5.Black-Sholes模型当考虑股票价格随时间连续变动情形时，Black-Scholes给出了市场的如下描述：仅考虑一个简单的证券市场。市场中仅有一种债券和一种股票。设债券在t时刻的价格P0(t)，股票在t时刻的价格P(t).满足方程：36金融数学简介考虑T时刻到期的欧式期权，假定到期时，期权的内在价值为V(T)=g(P(T));设期权在0时刻价格为V(0);现考虑0时刻初始值为X(0)=V(0)的投资。设在t时刻购买股票的股数为(t),则设V(t,x)表示在t时刻股票价格为x时，期权的价值,则(5.1)(5.2)37金融数学简介令V(0,P(0))=X(0),V(t,P(t))=X(t),g(P(T))=X(T)即在(4.1),(4.2)两式中令dt,dB系数相等，则得终端条件——Black-Scholes方程。(5.3)38金融数学简介另一方面，利用随机分析理论可以证明，设是使股票价格贴现过程为鞅的测度，称为等价鞅测度，则欧式期权在t时刻的价值为(4.4)通过解偏微分方程(5.3)或用概率论中的期望定义解(5.4)都可以得到欧式看涨期权的价格为式中Black-Scholes公式39金融数学简介衍生证券定价问题的进一步研究方向放宽理想市场假设（如有卖空限制，交易费等）对新型衍生证券进行定价模型改进（如随机利率，随机波动率，跳过程等）不完备市场模型40金融数学简介期权定价技术的应用

期权定价理论虽然源于对金融期权的估值，但其主旨为降低不确定性所必须付出的成本问题，而不确定性是所有经济活动的本质特征。这决定了期权定价技术(以下简称0PT)的应用绝不仅仅局限于对以金融资产为标的资产的期权。许多现实问题在分析的过程中常常可以把核心问题归结为期权定价问题来处理，即归结为确定期权价值的5个因素：执行价格、现货价格、到期时间、波动率和无风险利率的分析计算。注41金融数学简介目前期权定价理论主要应用于1．金融衍生证券的定价2．保险合同的定价3．政府政策与行为4．个人／家庭决策5．投资决策42金融数学简介6ARCH模型及其应用在计量经济学中,收益率的建模研究一直具有很重要的地位。其中对一阶矩的刻画是比较容易,所以人们将注意力都放在了对二阶矩的建模上,也就是对收益率波动的计量建模。经典资本市场理论在描述股票市场收益率变化时,所采用的计量模型一般都假定收益率方差保持不变。这一模型运用简便,常用来预测和估算股票价格。但对金融数据的大量实证研究表明,有些假设不甚合理。一些金融时间序列常常会出现某一特征的值成群出现的现象。注43金融数学简介为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和分析方法,许多金融学家和计量学家尝试用不同的模型与方法处理这一问题。如ARMA模型，ARIMA模型，隐MARKOV模型等，但被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型,是Engle于1982年提出的ARCH模型。ARCH模型是过去20年内金融计量学发展中最重大的创新。目前所有的波动率模型中,ARCH类模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。44金融数学简介设随机序列{Yt}满足其中为弱白噪声，满足鞅差条件且设其中为强白噪声。(6.1)(6.2)考虑Engle最初的ARCH(1)模型45金融数学简介(6.3)给出了模型的预测公式，(6.4)则表明模型具有时变性的波动率。实证分析表明时变性波动率更能描述真实的股票行情变化，反映外部冲击对股市造成的影响，便于进行风险评价。由(5.1)-(5.2)式易得，过程相邻时刻的条件均值与方差分别为(6.3)(6.4)注46金融数学简介广义ARCH模型ARCH(1)模型虽然较好的解释了波动率聚类现象，但它有很多缺陷，在其后的工作中,Engle及其同事沿着许多方向对该模型进行了拓展。例如，在考虑风险与投资回报之间的关系时,由于投资者是依据当前信息而持有证券,当风险(条件方差)增大时,投资者要求的投资补偿也就大。因此,条件方差的变化也会影响收益率条件期望的变化。与其他研究者合作,Engle在ARCH的基础上,建立了ARCH-M模型来分析时变风险的收益补偿。期望收益率取决于时变性的方差和协方差,从而自身也随时间变化。47金融数学简介ARCH(1)模型的各种拓展表述ARCH(q)模型（Engle1982)GARCH(p,q)模型(Bollerslev1986)48金融数学简介GARCH-M模型(Engle,Lilien,Robbins1987)满足GARCH模型参考文献[1]EngleRobertF.AutoregressionconditionalheteroskedasticitywithestimatesofthevarianceofU.K.inflation,Econometrica,1982,50(4):987_1008[2]ChristainGARCHModelsandFinancialApplicationsSpringer,1997[3]T.Bollerslev.Generalizedautoregressiveconditionalheteroskedasticity,JournalofEconometrics31,307-327,(1986).注49金融数学简介7利率期限结构理论在社会经济生活中一部分人通过储蓄或购买债券来保存多余的资金，而部分家庭和厂商也可以通过贷款获得资金。资金的提供不是无偿的，利息就是借入资金的个体为了在一段时间里使用资金而必须支付给资金出借人的补偿。显然利息与投资本金和储蓄时间有关；利息与期初投资本金的比值称为该时期的利率。不同时期投资可能利率不同。利率的期限结构理论主要研究随机波动利率与（较长）时期的对应关系。注50金融数学简介经济学家认为，在决定利率期限结构过程中，投资者对未来变动的预期是致关重要的。然而，投资者对自己是否既有十分准确地分析未来变动的能力是缺乏信心的。因此，一般情况下，假定投资者对利率未来的变动满足一随机过程。比较常用的模型有Cox-Ingersoll-Ross模型，Hull-White-Vasicek模型。由于利率期限结构理