2024年湖北省高考一模数学试卷附答案解析

2024年湖北省高考一模数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={xp²-3x<0},B={x|log2x>1},则A∩(CRB)=()A.(0,2)B.(0,2)C.(1,2)2.(5分)已知复平面内坐标原点为O,复数z对应点Z,z满足z(4-3i)=3+4i,则|OZ|=()A.B3.(5分)已知正方形ABCD的边长为2,若BP=PC,则AP·BD=()A.2B.-24.(5分)已知椭圆C:则“m=2”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)过点P(-1,1)的直线1与圆C:x²+y²+4x-1=0交于A,B两点，则|AB|的最小值为()6.(5分)已知公差为负数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a₃,a4,a7是等比数列，则当S₄取最大值时，n=()8.(5分)能被3个半径为1的圆形纸片完全掩盖的最大的圆的半径是()二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.(多选)9.(6分)已知A,B为随机大事，P(A)=0.5,P(B)=0.4,则下列结论正确的有()C.若A,B相互独立，则P(A+B)=0.7D.若P(B|A)=0.3,则P(B|A)=0.5(多选)10.(6分)如图，棱长为2的正方体.ABCD-A1B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点，F为正方形C₁CDD₁内一个动点(包括边界),且B₁F//平面A₁BE,则下列说法正确的有()A.动点F轨迹的长度为√2B.三棱锥B₁-D₁EF体积的最小值为第1页(共16页)A.函数f(x)的值域为(0,2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 16.(15分)某高中学校为了解同学参与体育熬炼的状况，统计了全校全部同学在一年内每周参与体育熬炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参与体育熬炼的数据，结果如下表：01234567男生人数12456543女生人数45564321579864(1)若将一周参与体育熬炼次数为3次及3次以上的，称为“经常熬炼”,其余的称为“不经常熬炼”.请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别因素与同学体育熬炼的经常性有关系；性别不经常经常男生女生样本频率估量概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏熬炼”的人数为X,求E(X)和D(X);α(3)若将一周参与体育熬炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”,为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y,求Y的分布列和数学期望.17.(15分)已知各项均不为0的数列{am}的前n项和为Sn,且a₁=1,第4页(共16页)线的准线于点D,设抛物线在B点处的切线为l.(1)若直线1与y轴的交点为E,求证：D|E|=|EF];第5页(共16页)(2)已知函数f(x)=ax²+bx+xlnx,其中a,beR.2024年湖北省高考一模数学试卷1.(5分)设集合A={xp²-3x<0},B={x|logzx>1},则AN(CgB)=()A.(0,2)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,3)解：集合A={xp²-3x<0}={x|0<x<3},B={xl2.(5分)已知复平面内坐标原点为O,复数z对应点Z,z满足z(4-3i)=3+4i,则|OZ|=()A.BA.2B.-2C.4解：∵BP=PC,∴P为BC中点，又正方形ABCD的边长为2,且AB·AD=0,B.5.(5分)过点P(-1,1)的直线1与圆C:x²+y²+4x-1=0交于A,B两点，则A|B|的最小值为()解：圆C的标准方程为(x+2)²+y²=5,圆心C(故当n=2时，Sn取得最大值.故选：B.,),则3sina-sin²a=cos²a=1-sin²α,解得),则3sina-sin²a=cos²a=1-sin²α,解得,所以,8.(5分)能被3个半径为1的圆形纸片完全掩盖的最大的圆的半径是()解：要求出被完全掩盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的状况，设三个半径为1的圆的圆心分别为O₁,O₂,O₃,设被掩盖的圆的圆心为O,如图所示，设圆O₁与O₂交于A,B,O₁O₂,设0O₁=0O₂=00₃=x,∴,所以圆O又OC=OO₃+O₃C=x+1>OA,所以圆O的最大半径为OA,下求OA的最大值，,,,令f(x)<0,解即被完全掩盖的最大的圆的半径此时O₁O₂=O₂O₃=O₃O₁=1,即圆O₁、圆O₂、圆O₃中的任一圆均经过另外两圆的圆心.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.(多选)9.(6分)已知A,B为随机大事，P(A)=0.5,P(B)=0.4,则下列结论正确的有()C.若A,B相互独立，则P(A+B)=0.7D.若P(B|A)=0.3,则P(B|A)=0.5第8页(共16页)解：依据题意，依次分析选项：对于A,若A,B为互斥大事，则P(AB)=0,则P(A+B)=P(A)+P(B)对于B,若A,B为互斥大事，则大事AB不会同时发生，则A+B肯定发生，则P(A+B)=1,B错误；对于C,若A,B相互独立，P(AB)=0.5×0.4=0.2,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4-0.2=0.7,C正确；对于D,若P(B|A)=0.3,即解可得P(AB)=0.15,则P(AB)=P(B)-P(多选)10.(6分)如图，棱长为2的正方体.ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点，F为正方形C₁CDD₁内一个动点(包括边界),且B₁F//平面A₁BE,则下列说法正确的有()C.B₁F与A₁B不行能垂直B.三棱锥B₁-D₁EF体积的最小值解：对A选项，如图，分别取C₁D₁,CC₁的中点G,H,则易知HG//CD₁//BA1,B₁H//A₁E,且HG∩B₁H=H,∴可得平面B₁GH//平面A₁BE,∴当F为GH上的点时，B₁F//平面A₁BE,∴对B选项，由A选项分析可知，当F与G点重合时，△EFD₁的面积取得最小值)对C选项，由A选项分析可知A₁B//GH,又易知B₁G=B₁F=√5,对D选项，依据A选项分析可知，当F为CC₁的中点时，△D₁DF的面积最大，第9页(共16页)RA.函数f(x)的值域为(0,2)B.函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形即函数f(x)的值域为(0,2),A错误；对于B,设h(x)=f(x+1)-1,故f(x)的对称中心为(1,1),B正确；对于C,f(x)的对称中心为(1,1),即f(x)+f(2-x)=2,而f(x)的对称中心为(1,1),则g(x)与函数f(x)的图象的2024个交点也关于(1,1)对称，,,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.满13.(5分)已知双曲线C:的左右顶点分别为A,B,点P是双曲线C上在第一象限内的点，直线PA,解：设P(m,n),依据对称性，不妨设P在第一象限，,∴n²=3(m²-1),又A(-1,0),B(1,0),∴解得m=3,∴n²=3(m²-1)=24,∴n=2V6, 为直线l:为直线l:上任意一点，坐标原点0到直线1的距离；即g(m)mn=g(1)=e,此时所以1的斜率为k=-3t=±2√2,四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图，四棱锥P-ABCDO,F分别是BC,PC的中点，AC与BD交于点E.(1)求证：BD⊥平面PAO;(2)平面OEF与直线PD交于点Q,求直线OQ与平面PCD所成角0的大小.第11页(共16页)解：(1)证明：由于△PBC为正三角形，O是BC中点，所以PO⊥BC,又由于平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,所以PO⊥平面ABCD,PO⊥BD,又由于PO,AO在平面POA内且相交，故BD(2)由于E,O分别为BD,BC的中点，所以EO//DC,又平面PDC过DC且不过EO,所以EO//平面PDC,又平面OEF交平面PDC于QF,故EO//QF,进而QF//DC,由于F是PC中点，所以Q是PD的中点，16.(15分)某高中学校为了解同学参与体育熬炼的状况，统计了全校全部同学在一年内每周参与体育熬炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参与体育熬炼的数据，结果如下表：01234567男生人数12456543女生人数45564321579864(1)若将一周参与体育熬炼次数为3次及3次以上的，称为“经常熬炼”,其余的称为“不经常熬炼”。请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别因素与同学体育熬炼的经常性有关系；性别不经常经常男生,,女生(2)若将一周参与体育熬炼次数为0次的称为“极度缺乏熬炼”,“极度缺乏熬炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估量概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏熬炼”的人数为X,求E(X)和D(X);α(3)若将一周参与体育熬炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”,为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y,求Y的分布列和数学期望.解：(1)列联表如下：性别不经常经常男生7女生零假设为Ho:性别与熬炼状况独立，即性别因素与同学体育熬炼的经常性无关，依据小概率值α=0.1的独立性检验，推断Ho不成立，即性别因素与同学体育熬炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1;(2)因学校总同学数远大于所抽取的同学数，故X近似听从二项分布，随机抽取一人为“极度缺乏熬炼”者的概;(3)10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，Y听从超几何分布，Y的可能取值为0,1,2,3,故所求分布列为：Y0123P第13页(共16页)解：(1)由a₁=1,可得4S₁=4a₁=a₁a₂+1,即4=a₂+1,可得az=3,当