高数同济六版课件D21导数概念

高数同济六版课件D21导数概念导数概念引入导数基本计算公式导数应用举例高阶导数概念及计算隐函数和参数方程所确定函数求导方法总结与拓展contents目录01导数概念引入在实际问题中，经常需要研究某个量相对于另一个量的变化率，如速度、加速度、密度等。变化率问题导数可以描述函数在某一点的局部性质，即函数在该点附近的变化趋势。局部性质实际问题背景几何意义导数的几何意义是曲线在某一点的切线的斜率。对于一元函数，导数就是函数图像上某一点切线的斜率；对于多元函数，导数则是梯度向量的一个分量。物理意义在物理学中，导数有着广泛的应用。例如，速度就是位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。几何意义与物理意义导数定义导数定义为函数值的变化量与自变量变化量的比值在自变量变化量趋于0时的极限。即$f'(x_0)=lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax)-f(x_0)}{Deltax}$。导数性质导数具有一些基本性质，如常数函数的导数为0、加法法则、乘法法则、链式法则等。这些性质在求解复杂函数的导数时非常有用。导数定义及性质02导数基本计算公式基本初等函数导数公式幂函数对数函数若f(x)=x^n（n为实数），则f'(x)=nx^(n-1)若f(x)=loga(x)（a>0且a≠1），则f'(x)=1/(xlna)常数函数指数函数三角函数若f(x)=C（C为常数），则f'(x)=0若f(x)=a^x（a>0且a≠1），则f'(x)=a^x*lnasin(x)、cos(x)、tan(x)等的导数公式加法法则减法法则乘法法则除法法则四则运算求导法则01020304[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)[f(x)*g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2（g(x)≠0）参数方程求导法则对于参数方程x=x(t)、y=y(t)，其导数dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)链式法则若h(x)=f[g(x)]，则h'(x)=f'[g(x)]*g'(x)反函数求导法则若y=f(x)在某区间内单调、可导且f'(x)≠0，则其反函数x=φ(y)在对应区间内也可导，且φ'(y)=1/f'[φ(y)]隐函数求导法则对于方程F(x,y)=0确定的隐函数y=y(x)，其导数dy/dx可以通过方程F(x,y)=0两边对x求导得到复合函数求导法则03导数应用举例通过导数可以求得曲线在某一点的切线斜率，进而确定切线的方程。已知切线斜率，可以求得法线的斜率，进而确定法线方程。这在几何学和物理学中有广泛应用。切线斜率与法线方程求解法线方程切线斜率0102瞬时速度计算问题导数在物理学中的应用：导数不仅可以用于计算瞬时速度，还可以用于加速度、力等物理量的计算和分析。瞬时速度是物体在某一时刻的速度，可以通过求位移函数的导数来得到。在经济学中，边际分析是研究经济变量变化率的一种方法。通过求导数，可以得到经济函数在某一点的边际值，如边际成本、边际收益等。边际分析弹性是经济学中一个重要概念，表示因变量对自变量变化的敏感程度。通过求导数，可以计算各种弹性系数，如价格弹性、收入弹性等，进而分析市场供求关系和经济政策效果。弹性分析经济学中边际分析与弹性分析04高阶导数概念及计算高阶导数定义及性质高阶导数定义函数f的n阶导数记为f^(n)，表示f的导数f'的n-1阶导数，其中n为正整数。高阶导数性质高阶导数具有线性性、乘积法则和链式法则等性质，但与一阶导数不同的是，高阶导数不一定具有单调性。

常见函数高阶导数求解方法多项式函数多项式函数的高阶导数可以通过逐次求导得到，最终结果为相应次数的多项式。三角函数正弦函数sinx和余弦函数cosx的n阶导数具有周期性，可通过归纳法得到通项公式。指数函数与对数函数指数函数e^x的任意阶导数均为其本身，而对数函数lnx的n阶导数则需要通过换底公式和逐次求导得到。泰勒公式泰勒公式是用多项式逼近复杂函数的一种方法，它将函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，级数的每一项都与函数在该点的各阶导数有关。麦克劳林公式麦克劳林公式是泰勒公式在x=0处的特例，它将函数展开成幂级数的形式，级数的每一项都与函数在x=0处的各阶导数有关。麦克劳林公式在求解一些定积分和级数求和等问题时具有重要应用。泰勒公式与麦克劳林公式简介05隐函数和参数方程所确定函数求导方法隐函数是由一个方程所确定的函数，该方程中包含两个或多个变量，且这些变量之间的关系不是显式的。隐函数定义对于隐函数$F(x,y)=0$，其对$x$的导数$frac{dy}{dx}$可以通过公式$-frac{F_x}{F_y}$求得，其中$F_x$和$F_y$分别表示$F$对$x$和$y$的偏导数。隐函数求导法则在求隐函数的导数时，需要注意方程是否可导以及导数的存在性。注意事项隐函数求导方法参数方程定义参数方程是通过引入一个或多个参数来表示变量之间关系的方程。参数方程求导法则对于由参数方程$x=varphi(t)$，$y=psi(t)$所确定的函数，其对$x$的导数$frac{dy}{dx}$可以通过公式$frac{psi'(t)}{varphi'(t)}$求得，其中$varphi'(t)$和$psi'(t)$分别表示$varphi$和$psi$对$t$的导数。注意事项在求参数方程的导数时，需要注意参数的变化范围以及导数的存在性。参数方程所确定函数求导方法求解方法对于相关变化率问题，需要先列出两个变量的关系式，然后对其中一个变量求导，得到另一个变量的变化率。相关变化率定义相关变化率是指两个相关联的变量之间的变化率关系。应用场景相关变化率问题在实际生活中有广泛的应用，如经济学中的边际分析、物理学中的速度加速度关系等。相关变化率问题06总结与拓展导数描述了函数在某一点的变化率，即函数值随自变量变化的快慢程度。导数的定义导数在几何上表示曲线在某一点处的切线的斜率。导数的几何意义包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本导数公式。基本初等函数的导数公式包括四则运算、复合函数求导法则等。导数的运算法则本章知识点总结回顾典型例题分析与解答求函数在某一点的导数，并解释导数的意义。利用导数求曲线的切线方程和法线方程。讨论函数的单调性和极值问题，利用导数判断函数的增减性和凹凸性。求复合函数的导数，利用链式法则求解。例题1例题2例题3例题4微分是函数改变量的线性部分，即在一个数集中，当一个数靠近时，函数在这个数处的极限被称为函数在该处的微分。微分的定义微分在几何上表示曲线在某一点处的微小变化量，可以