分类加法计数原理与分步乘法计数原理一

分类加法计数原理与分步乘法计数原理一分类加法计数原理分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较分类加法计数原理与分步乘法计数原理的练习题及解析contents目录01分类加法计数原理分类加法计数原理是指完成一项任务，需要分成$n$类方法，第$1$类方法有$m_1$种不同的方法，第$2$类方法有$m_2$种不同的方法，第$3$类方法有$m_3$种不同的方法，......，第$n$类方法有$m_n$种不同的方法，那么完成这项任务总共有$N=m_1+m_2+m_3+...+m_n$种不同的方法。定义分类加法计数原理的核心思想是将问题分解为若干个互不重叠的子问题，然后分别对各个子问题求解，最后将各个子问题的解相加得到原问题的解。理解定义与理解排列组合问题排列组合问题中经常使用分类加法计数原理，将问题分解为若干个子问题，然后分别计算各个子问题的解，最后将各个子问题的解相加得到原问题的解。概率计算概率计算中也可以使用分类加法计数原理，将事件分解为若干个子事件，然后分别计算各个子事件的概率，最后将各个子事件的概率相加得到原事件的概率。分类加法计数原理的应用举一个简单的例子，假设我们要从5个不同的班级中选出3个班级参加学校的文艺比赛，那么我们可以将这个问题分解为5个互不重叠的子问题，即从第1个班级中选出1个班级、从第2个班级中选出1个班级、从第3个班级中选出1个班级、从第4个班级中选出1个班级、从第5个班级中选出1个班级。根据分类加法计数原理，完成这个任务总共有5+4+3+2+1=15种不同的方法。分类加法计数原理的实例02分步乘法计数原理分步乘法计数原理是指完成一件事情，需要分成若干个相互联系的步骤，完成每一步都有若干种不同的方法，则完成这件事情的不同方法数是每一种方法都有的不同方法的乘积。理解分步乘法计数原理的关键是明确分步的标准，并理解每一步中方法的独立性。定义与理解分步乘法计数原理的应用在解决排列组合问题时，分步乘法计数原理可以用来计算完成某一任务的不同方法数。在实际生活中，分步乘法计数原理也广泛应用于计划安排、路程规划等方面。实例一某班有10名学生，每个学生有3种不同的运动项目可选择，求该班学生选择运动项目的不同方法数。根据分步乘法计数原理，该班学生选择运动项目的不同方法数是10（学生数）乘以3（每个学生的选择数），即10*3=30种。实例二某快递公司需要将一封信从A地送至B地，中间需要经过3个中转站，每个中转站都有2种不同的传递方式。根据分步乘法计数原理，该信从A地到B地经过3个中转站的不同传递方式数是2（第一个中转站的选择数）乘以2（第二个中转站的选择数）乘以2（第三个中转站的选择数），即2*2*2=8种。分步乘法计数原理的实例03分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是基于组合数学的基本原理，用于解决计数问题。在某些情况下，这两种原理可以相互转化，即通过调整分类或分步的方式，可以使问题更适合用其中一种原理来解决。两者之间的联系两者之间的区别分类加法计数原理强调将问题分为几个互斥的子类别，然后分别对每个子类别进行计数，最后将各个子类别的计数结果相加得到总数。分步乘法计数原理则强调将问题分为若干个有序的步骤，每个步骤可以有多种选择，然后根据各个步骤的可能性，将各个步骤的可能性相乘得到总数。对于涉及互斥事件的问题，分类加法计数原理更为适用，因为它可以直接计算各个互斥事件的可能性之和。具体选择哪种原理取决于问题的特性和具体情境。在解决实际问题时，需要根据问题的具体情况和目标，选择合适的原理来应用。对于涉及有序步骤的问题，分步乘法计数原理更为适用，因为它可以考虑到各个步骤之间的先后顺序和相互影响。在实际问题中的应用选择04分类加法计数原理与分步乘法计数原理的练习题及解析基础练习题从5名学生中选3名参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？题目本题考查分类加法计数原理，属于基础题。从5名学生中选3名参加知识竞赛，可以分成两类情况，一是包含甲的三名学生，二是除去甲的三名学生，根据分类加法计数原理，共有$C_{5}^{3}=10$种情况，甲被选中的情况有$C_{4}^{2}=6$种，所以甲被选中的概率为$frac{6}{10}=frac{3}{5}$。解析题目从5名学生中选3名参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？解析本题考查分步乘法计数原理，属于基础题。从5名学生中选3名参加知识竞赛，可以分成两步，第一步从除去甲的4名学生中选2名，第二步从剩下的3名学生中选1名，根据分步乘法计数原理，共有$C_{4}^{2}timesC_{3}^{1}=18$种情况，甲被选中的情况有$C_{4}^{1}timesC_{3}^{2}=12$种，所以甲被选中的概率为$frac{12}{18}=frac{2}{3}$。基础练习题VS在数字``2013''中，各位数字相加和为7，称该数为``如意四位数''用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2013的用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的``如意四位数''有____个．解析本题主要考查分步乘法计数原理和分类加法计数原理的应用。根据题意可知``如意四位数''的千位数字可以为$2,3,4,5$。若千位数字可以为$2$时，剩余三位数可以为$013,031,103$；若千位数字可以为$3$时，剩余三位数可以为$015,051,105$；若千位数字可以为$4$时，剩余三位数可以为$015,051,105$；若千位数字可以为$5$时，剩余三位数可以为$014,041,104$。所以共有$6+6+6+6=24$个。题目进阶练习题在所有的三位数中，满足其数字和等于$12$的三位数共有多少个？本题主要考查分类加法计数原理的应用。根据题意可知百位数字可以为$3,4,5,6,7,8,9$。当百位数字为$3$时，剩余两位数可以为$99,89,79,69,59,49,39,29,19$共$9$个；当百位数字为$4$时，剩余两位数可以为$98,88,78,68,58,48,38,28,18$共$9$个；同理可知当百位数字为$5,6,7,8,9$时也各有$9$个。所以共有$9+9+9+9+9+9=54$个。题目解析进阶练习题题目在数字``2013''中，各位数字相加和为7，称该数为``如意四位数''用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2013的用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的``如意四位数''有____个．要点一要点二解析本题主要考查分步乘法计数