数学选修4-1高考题组合

选修4-1平面几何选讲1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。推论2:经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕所得的对应线段____________。3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________；相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项。5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______。推论2：半圆〔或直径〕所对的圆周角是_______；90o的圆周角所对的弦是________。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆的内接四边形的对角_______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_________。如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点__________；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________。7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________。推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过________；经过切点且垂直于切线的直线必经过______。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的__________。8.相交弦定理：圆内两条相交弦，________________________________的积相等。割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，________________________________的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是________________________________的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_____;圆心和这点的连线平分_______的夹角。知识演练1.如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，那么________．2.如图，PAB、PCD是圆的两条割线，PA＝6，AB＝2，PC＝CD．那么PD＝________．3.如下图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，PA=2，PC=1，那么PB等于.4.〔2008·宁夏〕如下图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.〔1〕证明：OM·OP=OA2；〔2〕N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM=90°.5.〔2008·江苏〕如下图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2=EC·EB.6.〔2010宁海卷〕如图：圆上的弧AB=BD，过C点的圆的切线与BA的延长线于E点，证明：〔Ⅰ〕=。〔Ⅱ〕.解:〔Ⅰ〕因为AB=BD,所以.又因为与圆相切于点，故所以.……5分〔Ⅱ〕因为,,所以,故.即.……10分7.〔2010·辽宁〕如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点〔Ⅰ〕证明：∽△;〔Ⅱ〕假设的面积，求的大小.证明：〔Ⅰ〕由条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.〔Ⅱ〕因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.那么sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.4-1高考题汇编1.2010·北京〕如图，圆O的弦ED，CB的延长线交于点A。假设BDAE，AB＝4,BC＝2,AD＝3,那么DE＝；CE＝。【命题立意】此题考查几何证明的知识。运用割线定理是解决本题的突破口。【思路点拨】此题可由相交弦定理求出DE，再利用三个直角三角形中求CE。【标准解答】由割线定理得，，即，得。。连接BE，因为，所以BE为直径，所以。在中，。在中。在中，。【答案】52EQ\r(,7)2.〔2010·广东〕如图，是半径为的图3圆的两条弦，他们相交于AB的中点P，，图3，那么＝_________．．【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，.在中，.由相交弦定理知，，即，所以．3.〔2010·江苏〕AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，假设DA=DC，求证：AB=2BC。【命题立意】此题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。【思路点拨】利用圆心角和圆周角之间的关系证明OB=BC=OD=O即可.【标准解答】方法一：连结OD，那么：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。方法二：连结OD、BD。因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2OB。因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=900。又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。4.〔2010·天津理〕如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，假设,那么的值为【答案】【解析】此题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题。因为A,B,C,D四点共圆，所以,因为为公共角，所以⊿PBC∽⊿PAB,所以.设OB=x，PC=y，那么有，所5.〔2010·天津文〕如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。假设PB=1，PD=3，那么的值为。【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。【思路点拨】利用相似三角形的性质转化。【标准解答】由题意可知∽相似，所以。【答案】6.〔2010·陕西理〕如图,的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,那么；.【命题立意】此题考查几何证明选做题的解法，属送分题【思路点拨】条件结论【标准解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以，【答案】7．〔2010·陕西文科〕如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，那么BD＝cm.【命题立意】此题考查几何证明选做题的解法，属送分题【思路点拨】条件【标准解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以，【答案】8.〔2010·湖南〕如图1所示，过圆O外一点P作一条直线与圆O交于两点．PA=2，点P到圆O的切线长PT=4，那么弦的长为．解析：由圆的切割线定理得：，，故．9.如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.解：本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。总分值10分。证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。10.〔2009·辽宁〕ABC中，AB=AC,D是ABC外接圆劣弧AC上的点〔不与点A,C重合〕，延长BD至E。求证：AD的延长线平分CDE；假设BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积。(1〕如图，设F为AD延长线上一点，∵A，B，C，D四点共圆，=，又AB＝AC，∴，且，∴，对顶角，故，故AD的延长线平分。---------------5分.(2〕设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，那么AH⊥BC,连接OC，由题意OAC＝OCA=，，∴，设圆半径为r，那么，得：r=2，故外接圆面积为。---------10分11.〔2009·宁海〕如图，ABC中的两条角平分线和相交于，B=60，在上，且。〔1〕证明：四点共圆；〔2〕证明：CE平分DEF。〔Ⅰ〕在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因为AD,CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆。〔Ⅱ〕连结BH，那么BH为的平分线，得30°由〔Ⅰ〕知B，D，H，E四点共圆，所以30°又60°，由可得，可得30°所以CE平分12.〔2008·广东〕是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，那么圆的半径．【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。13.如图5所示，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点，那么，线段的长为