第二章 一元二次函数、方程和不等式单元综合测试（解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式单元综合测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，且，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】，解得，当且仅当时等号成立，即，时，等号成立，所以的最大值为.故选：C2．已知且，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由且，可得，，A正确；由，可得，B正确；取，，则不成立，C错误；，D正确.故选：C3．已知命题：命题：R，，若命题，都是真命题，实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【解析】∵命题P：为真命题，∴，又∵，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴，∵命题：R，，为真命题，∴，∴或，∵命题p，q都是真命题，∴或，故选：C．4．若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式在时有解，等价于当时，.由二次函数的图象知，当时，，所以.故选：A.5．不等式的解集为，则函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】因为的解集为，所以方程的两根分别为和1，且，则变形可得故函数的图象开口向下，且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.故选：A6．已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，且，故，当且仅当，即时取得等号.故选：B7．已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为一元二次不等式的解集为，所以，，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，的最大值为.故选：A.8．已知正实数，，满足，则下列不等式中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A：∵，当且仅当时取等号，∴A正确；对于B：∵，当且仅当时取等号，∴B正确；对于C，，当且仅当，即，时取等号，∴C正确；对于D，∵，当且仅当时取等号，∴D错误；故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由，得，，则，A正确；由，得，则，即，B正确；当时，，则C错误；由，得，D正确.故选：ABD10．不等式的解集是，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因为不等式的解集是，可得，且，所以，所以，所以A、C正确，D错误．因为二次函数的两个零点为，且图像开口向下，所以当时，，所以B正确．故选：ABC．11．如图，二次函数的图象与x轴交于A､B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论正确的为（

）

A． B． C． D．【答案】CD【解析】对于A，根据图象，可知，又对称轴，则，则，故A错误；对于B，当时，，不能说明y的值是否大于0，故B错误；对于C，设，，将点B代入函数，得，故，故C正确；对于D，当时，，方程的两个根，所以，则D正确.故选：CD.12．已知正实数，满足，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BD【解析】对A，因为，则，解得，则，当且仅当时等号成立；故A错误；对B，因为，则，当且仅当时取得最小值，故B正确；对C，，即，当时显然不合题意，故，则，则或（舍去），则，当且仅当，即，此时时等号成立，故C错误；对D，，令，由A知，则，则当，，此时，故D正确.故选：BD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则关于的不等式的解集为．【答案】【解析】，，则，，或．故答案为：．14．已知：，则大小关系是．【答案】【解析】由，得，因此，显然，则，所以大小关系是.故答案为：15．若，则关于的不等式组，整数解的个数是【答案】【解析】因为，由不等式组可得，，而，则整数解有，所以不等式组的整数解有个.故答案为:16．已知，，则的最小值为．【答案】【解析】，因为，所以当，，上述等号在时成立．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（1）解关于x的不等式；（2）解关于x的不等式.【解析】（1）变形得到，解得或，故解集为或；（2）变形为，故，解得，故不等式的解集为.18．（12分）已知bg糖水中有ag糖，往糖水中加入mg糖，（假设全部溶解）糖水更甜了.(1)请将这个事实表示为一个不等式(2)证明这个不等式【解析】（1）由题可得；（2）因为，，所以，从而，即.19．（12分）已知.(1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意知：只有当二次函数与直角坐标系中的轴无交点时，才能满足题意；其相应方程此时应满足，解得：，实数的取值范围为.（2）若对任意，恒成立，则满足题意的函数的图象如图所示，由图象可知，此时应该满足，则，不等式组无解，不存在实数满足：对任意，恒成立.20．（12分）（1）已知且，求的最小值.（2）已知，且，证明【解析】（1）因为且，则当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以的最小值为.（2）因为且，则，当且仅当，且时，即时,等号成立，所以.21．（12分）已知关于的不等式，其中；(1)当，求不等式的解集；(2)当变化时，试求不等式的解集；(3)对于不等式的解集，满足.试探究集合能否为有限集，若能，求出使得集合中元素最少的的所有取值，并用例举法表示此时的集合，若不能，说明理由.【解析】（1）当时，原不等式即为，即，解得，故.（2）（1）当时，原不等式即为，解得，即；（2）当时，解方程，得或，且.①当时，，则，解原不等式可得，即；②当或时，，即，解原不等式可得或，即；③当时，，原不等式即为，解得，即.综上所述，当时，；当时，；当或时，；当时，.（3）由（2）可知，当时，为无限集，当时，为有限集，此时，，当且仅当时，即当时