高三数学第一学期期中考模拟卷01（解析版）

高三数学第一学期期中考模拟卷01一、单选题1．（2023秋·海南海口·高三海口一中校考期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合交集的定义求解判断.【详解】因为，，根据交集的定义，可得.故选：C.2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）设i为虚数单位，复数满足，则（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】先求出复数，再求.【详解】∵，∴.故选：A3．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由对数型复合函数的单调性判断即可得出结果.【详解】作出函数，的图象如图所示：则的单调递增区间为：，单调递减区间为：.，，.,.故选：A4．（2023春·海南省直辖县级单位·高三校考期末）已知为等边三角形，点分别是的中点，连接并延长到点使得，则=（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量的加法法则以及数乘运算即可.【详解】.故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的加法法则以及数乘运算.属于较易题.5．（2024·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.【详解】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.6．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行服务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根先将四人平均分成两组，再安排服务工作共有种，再根据全排求甲、乙安排一起服务的种数，结合古典概型即可求解.【详解】将四人分成两人两组共有种，再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有种，又甲、乙安排在一起共有种，所以甲、乙安排在一起的概率为，故选：B.7．（2023秋·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】先令，求出，再判断函数的奇偶性，然后利用函数的单调性的定义结合已知条件判断其单调性，再利用单调性可求出函数的最大值.【详解】令，则，得，令，则，所以，所以为奇函数，任取，且，则，，所以，所以，所以在上递减，所以当时，的最大值为，因为，所以，所以，故选：D8．（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】过作于，设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，由求解判断.【详解】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，过作于，如图所示：

则由题可得，设平面截得球的截面圆的半径为，当EF在底面圆周上运动时，到平面的距离所以所以平面截得球的截面面积最小值为，故D正确；故选：D.二、多选题9．（2023春·海南三亚·高三校考期中）某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加“网络安全知识竞赛”，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）A．乙的成绩的极差为7B．甲的成绩的平均数与中位数均为7C．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D．甲从第二次到第三次成绩的上升速率要大于乙从第六次到第八次的上升速率【答案】BD【分析】结合折线图，找到甲乙每次的成绩，然后逐项分析即可.【详解】对A：找到乙的成绩的最小值为2.最大值为10，所以极差为8，故A错误；对B：甲的十次成绩从小到大排列：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为，平均数为，故B正确；对C：从折线图可以看出乙的成绩比甲的成绩波动更大，所以甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故C错误；对D：从折线图可以看出甲从第二次到第三次成绩上升速率要大于乙从第六次到第八次的上升速率，故D正确.故选：BD.10．（2023秋·海南儋州·高三校考期中）设正实数a，b满足，则（

）A．有最小值4 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值【答案】ACD【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.【详解】选项A：，当且仅当时取等号，故A正确；选项B：，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B错误；选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C正确；选项D：由，化简得，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD.11．（2023秋·海南儋州·高三海南省洋浦中学校考阶段练习）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍得到的图象，则下列说法正确的有（

）

A． B．C． D．是的一个对称中心【答案】ACD【分析】根据图象可得函数的周期，即可求出，再利用待定系数法求出即可，根据平移变换和周期变换求出的解析式，即可判断C，根据正弦函数的对称性即可判断D.【详解】由图可知函数得周期，所以，故A正确；则，又，所以，所以，则，又，所以，故B错误；则，将的图象向左平移个单位，得，再将横坐标扩大为原来的2倍得，，则，故C正确；因为，所以是的一个对称中心，故D正确.故选：ACD.12．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，则（

）

A．B．PB与平面ABCD所成角为C．异面直线AB与PC所成角的余弦值为D．平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为【答案】ABC【分析】由线面垂直的判定定理及异面直线所成角的求法，结合空间向量的应用逐一判断即可得解．【详解】对于选项A，因为，，由余弦定理可得，从而，即，由底面，底面，可得，又面，即面，又面，即，故选项A正确；对于选项B，因为底面，所以就是与平面所成的角，又，即，故选项B正确；对于选项C，显然为异面直线与所成的角，易得，故选项C正确；对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则,0,，,0,，,,，,,，,0,，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，即，设平面的一个法向量为，则，则，令，则，，即，则，即平面与平面夹角的余弦值为，故选项D不正确.故选：ABC．三、填空题13．（2023·海南·统考模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则.【答案】10【分析】首先根据平面向量数量积的定义求出，再根据向量数量积的运算律计算可得；【详解】解：因为向量和的夹角为，且，，所以，所以故答案为：14．（2023春·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为.【答案】【分析】由双曲线方程，得到焦点坐标为（±3，0），渐近线为y＝±x．由点到直线的距离公式进行计算，结合双曲线基本量的关系化简，即可求出焦点F到其渐近线的距离．【详解】∵双曲线方程为∴双曲线的焦点坐标为（±3，0）渐近线为y＝±x，即x±y＝0可得焦点F到其渐近线的距离为d．故答案为．【点睛】本题考查了点到渐近线的距离，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．15．（2024·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是．【答案】【详解】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围.16．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】对不等式进行合理变形同构得，构造函数利用函数的单调性计算即可.【详解】易知，由可得，即，则有，设，易知在上单调递增，故，所以，即，设，令，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，则有，解之得．故答案为：.四、解答题17．（2023秋·海南·高三海南中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可；（2）根据余弦定理结合三角形面积公式求解即可.【详解】（1）因为，由正弦定理有：，所以，所以，因为，所以，所以.又，所以；（2），又由（1）知由余弦定理得，即，则所以的面积为.18．（2023秋·海南海口·高三校考阶段练习）从“①；②，；③，是，的等比中项”三个条件任选一个，补充到下面的横线处，并解答.已知等差数列的前项和为，公差不等于0，______，.(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求【答案】(1)，；(2).【分析】(1)选①，由取可求，再根据可求数列的通项公式；选②，结合等差数列得通项公式及的意义，列关于，的方程，解方程可得，，由此确定数列的通项公式；选③，结合等比中项的定义，列关于，的方程，解方程可得，，由此确定数列的通项公式；(2)先确定数列的通项公式，再利用分组求和法求其前项和.【详解】（1）选①：，令，得，所，所以，当时，，所以，，又，所，，选②：由，得因为，所，所，选③：因为，是，的等比中项，所以，即又，所以解得，所以，（2）由(1)可得，所以，又，所以，所以，所以.19．（2023春·海南三亚·高三校考开学考试）（理）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：三级为合格等级，为不合格等级.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示.，（1）求和频率分布直方图中的的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的名学生中为等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）；，（2）（3）分布列见解析，期望为【分析】1）根据茎叶图得人数，再根据频率分布直方图得概率，最后根据频数、总数与频率关系得根据茎叶图得人数，根据频数、总数与频率关系得概率，最后根据频率分布直方图求根据所有频率和为1得概率，再根据频率分布直方图频率求（2）先求无合格等级的事件概率，再根据对立事件求结果，（3）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1）；，（2）设至少有1人成绩是合格等级的事件为（3）由题意可知等级的学生人数为人，等级的学生人数为3人，故的取值为，，，.所以的分布列为：【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.20．（2023春·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知、是椭圆：的左、右焦点，且椭圆经过点，又轴.(1)求椭圆的方程；(2)经过点的直线l与椭圆E相交于点C，D，并且，求直线l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件可得、，然后结合可解出答案；（2）设直线的方程为，它与椭圆交于、，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，，然后由得，然后可解出答案.【详解】（1）由轴，得，又由椭圆的通径知，即，代入中，得，得，得，，所以椭圆E的方程为；（2）设直线的方程为，它与椭圆交于、，联立直线与椭圆得：，①，②，又由，得③，将③代入①②得：④，⑤，再④将代入⑤并约分化简得：，即，将代入（*）中得，故这样的直线存在，且其方程为.21．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．

(1)求证：；(2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）由已知条件，先证明，再利用平面平面，可证平面，得到，又，可得平面，从而可证；（2）由题意，建立空间直角坐标系，由向量法求出平面和平面的法向量，进而求出点坐标，确定点位置，求出四棱锥的体积.【详解】（1）证明：在长方形中，，为中点，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，平面，.（2）

如图，取的中点，的中点，连接，由题意可得两两互相垂直，以为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则，设平面的一个法向量为，则，，令，得，，又平面，是平面的一个法向量，，令，解得或（舍）.即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为，平面，且，到平面的距离为，又四边形的面积为3，四棱锥的体积22．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数在上单调递增.(1)求的取值范围；(2)若存在正数满足（为的导函数），求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意可知在上恒成立，即在上恒成立．结合二次函数的性质即可求解；（2）由题意可得，是方程的两根，则，利用基本不等式得.根据换元法，令，设，利用导数研究函数的性