上海市莘格高级中学高二数学理上学期摸底试题含解析

上海市莘格高级中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义一种运算，令(为常数),且，则使函数的最大值为的的集合是

(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：C略2.已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x=0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．?参考答案：A略3.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是A. B.y= C. D.参考答案：A【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，故选A.【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.

4.设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是

（）A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.已知A(1,－2,3)，B(4,－4,－3)，则向量在向量＝(6,2,3)的方向上的投影是A．－

B．－

C．

D．参考答案：B6.已知数列，3，，…，，那么9是数列的(

)A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项参考答案：C【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】计算题．【分析】令通项公式=9，解出n，由此即可得到么9是数列的第几项．【解答】解：由=9．解之得n=14由此可知9是此数列的第14项．故选C．【点评】本题考查数列的概念及简单表示法，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．7.已知，则函数的零点的个数为（

）个.（A）3

（B）4

（C）5

（D）6参考答案：C略8.若向量（），则“”是“”的（

）

A．充分不必要条件

B.必要不充分条件C．充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A9.已知椭圆：+=1（0＜b＜2），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若||+||的最大值为5，则b的值是（）A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】利用椭圆的定义，结合∵的最大值为5，可得当且仅当AB⊥x轴时，|AB|的最小值为3，由此可得结论．【解答】解：由题意：+|AB|=4a=8∵的最大值为5，∴|AB|的最小值为3当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A（﹣c，），B（﹣c，﹣）代入椭圆方程可得：∵c2=4﹣b2∴∴b=故选D．10.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A． B．1 C． D．参考答案：C【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，如图所示，孩子已经出生_______天．参考答案：46812.若直线过点，则直线的纵截距为____________.参考答案：略13.已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，从F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，交F2P的延长线于M，则点M的轨迹方程是________．参考答案：略14.若椭圆与双曲线在第一象限内有交点A，且双曲线左、右焦点分别是F1，F2，，点P是椭圆上任意一点，则面积的最大值是

．参考答案：

15.两等差数列和,前项和分别为,且则等于______________。参考答案：略16.设数列的前项和为,若．则

▲

.参考答案：略17.正四面体ABCD的棱长为1，E在BC上，F在AD上，BE=2EC，DF=2FA，则EF的长度是

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn且；（Ⅰ）写出数列{an}的前三项；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式，并写出推证过程；（Ⅲ）令，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】（I）把n=1，2，3分别代入递推公式中可求（II）由已知可得8Sn=an2+4an+4，8Sn+1=an+12+4an+1+4，两式相减结合an+1+an＞0可得an+1﹣an=4，利用等差数列的通项公式可求（III）由（II）可得，利用裂项求和【解答】解：（Ⅰ）∵n=1时可得，∴a1=2把n=2代入可得a2=6，n=3代入可得a3=10；（Ⅱ）8Sn=an2+4an+4…（1）8Sn+1=an+12+4an+1+4…（2）（2）﹣（1）得8an+1=an+12﹣an2+4an+1﹣4an（an+1+an）（an+1﹣an﹣4）=0∵an+1+an＞0∴an+1﹣an﹣4=0an+1﹣an=4∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．an=a1+（n﹣1）d=4n﹣2（III）∴Tn=b1+b2+…+bn==．【点评】本题主要考查了利用递推公式求解数列中的项及构造求解数列的通项公式，要注意裂项求和在解决本题中的应用时，裂项时容易漏．19.已知sinα=，0＜α＜，求cosα和sin（α+）的值．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求得sin（α+）的值．【解答】解：因为：sinα=，0＜α＜，所以：cosα==，…（3）所以：sin（α+）=sin==…20.（本小题满分12分）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数.（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e］上的最大值为-3，求a的值；（3）当a=-1时，试推断方程=是否有实数解.参考答案：解：(1)当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数=f（1）=-1………4分

(2)∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈①若a≥，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0,e］上增函数∴=f（e）=ae+1≥0.不合题意…………………6分②若a<，则由f′(x)>0>0，即0<x<由f(x)<0<0，即<x≤e.从而f(x)在上增函数,在为减函数∴=f=-1+ln令-1+ln=-3，则ln=-2∴=，即a=.∵<,∴a=为所求……………8分(3)由（Ⅰ）知当a=-1时=f（1）=-1，∴|f（x）|≥1又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,当0<x<e时，g′(x)>0,g(x)

在(0,e)单调递增；

当x>e时,g′(x)<0，g(x)在(e,+∞)单调递减∴=g（e）=<1,∴g(x)<1

∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>∴方程|f（x）|=没有实数解.…………………12分略21.（本小题满分9分）3个人坐在一排6个座位上，问：（Ⅰ）3个人都相邻的坐法有多少种？（Ⅱ）空位都不相邻的坐法有多少种？（Ⅲ）空位至少有2个相邻的坐法有多少种？参考答案：3个人排有＝6种，3人排好后包含两端共有4个“间隔”可以插入空位。（Ⅰ）若从第一个位置开始相邻坐下，有种坐法若从第二个位置开始相邻坐下，有种坐法同理，综上可知，共有4·＝24种坐法 3分（Ⅱ）空位都不相邻相当于将3个空位安插在4个“间隔”中，有种故有种 6分（Ⅲ）3个空位至少有2个相邻的情况有两类：①3个空位恰有2个相邻，另有1个不相邻有种②3个空位都相邻，有·＝24种综上可知，有72+24＝96种坐法 9分22.当实数m为何值时，复数z=（m2+m﹣2）+（m2﹣1）i是：①实数；

②虚数；

③纯虚数．参考答案：【考点】A2：复数的基