2023年江西省中考一轮复习数学专题练-11圆

2023年江西省中考数学专题练——11圆一、选择题（共9小题）1．如图，△ABC中，AC=6，点O是AB边上的一点，⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，点F为⊙O上一点，连AF，若四边形ACEFA．3-π3 B．2π3-3 C2．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠BAO的度数是（）A．54° B．27° C．36° D．108°3．如右图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝90°，连接PD，则PD的最小值为（）A．8 B．221 C．10 D．724．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是圆周上两点，若∠ABD＝66°，则∠BCD＝（）A．54° B．56° C．24° D．46°5．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为8，则弦AB长为（）A．8 B．4 C．22 D．6．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（）A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝6，则S阴影等于（）A．12π B．π C．32π 8．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为90°的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是1cm，按如图所示的方法依次画，第6步所画扇形的弧长为（）cm．A．72π B．4π C．92π9．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．32π﹣16 B．16π﹣32 C．8π﹣16 D．4π﹣16二、填空题（共10小题）10．如图，在边长为63的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为．11．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有．12．如图，有一块半径为4dm，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为dm．13．如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B，D，C为⊙O上一点，且∠BCD＝125°，则∠A的度数是．14．如图，M，N分别是正六边形ABCDEF的对角线BE，AD上的点，则△CMN为等腰直角三角形时，∠BCM的度数为．15．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，将四边形ABCF绕点C顺时针旋转到四边形A'B'CF'处，若此时点A'落在对角线CF上，A'F'与EF交于点G，则六边形A'B'CDEG的周长为．16．如图，AB和OC分别是⊙O的直径和半径，∠BOC＝60°，点P是直径AB上的一个动点，射线CP与⊙O相交于点Q，若△POQ是等腰三角形，则∠CPB＝．17．如图，在半径为1的⊙O中，直线l为⊙O的切线，点A为切点，弦AB＝1，点P在直线l上运动，若△PAB为等腰三角形，则线段OP的长为．18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则cos∠ACB的值是．19．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，M，N分别为AB，BC的中点，点P在正六边形的边上，且在直线MN的右侧，则当△MNP为等腰三角形时，MP长为．三．解答题（共9小题）20．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与CD围成阴影部分的面积．21．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AC于点D，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连接AD，CD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若OA＝AE＝2时，①求图中阴影部分的面积；②以O为原点，AB所在的直线为x轴，直径AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段AC上求一点P，使得直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分．22．如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE＝CE，∠C＝70°，求∠DOE的度数．23．已知⊙O与正方形ABCD如图放置，点A，B在⊙O上．（1）如图1，连接OC，OD，求证：OC＝OD；（2）如图2，点M在⊙O上，连接DM，已知⊙O的半径为5，DM＝47，AB＝8；求证：DM是⊙O的切线．24．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）已知半径为3，BC＝4，求阴影部分的面积．25．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，OD⊥AC于点G，交⊙O于点D，过点D作EF⊥AB，分别交BA，BC的延长线于点E，F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若AE＝2，tanB=43，求⊙26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠CAB交BC于点O，以OC为半径作⊙O．（1）求证：直线AB是⊙O的切线．（2）若AB＝5，tan∠OAC=12，求⊙27．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，若点E为AC的中点．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）连接OE、CD交于点F，若AB＝5，BC＝3，求OF的长．28．如图，AC是半径为1的⊙O的一条弦，点D是⊙O直径AB延长线上一点，AC＝CD，BC＝BD．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）点P在AEB上运动，过点C作CP的垂线，与PA的延长线交于点F．①当点P运动到与点C关于直径AB对称时，求PF的长；②当点P运动到何处，PF取到最大值？请直接写出此时点P的位置以及PF的长．

2023年江西省中考数学专题练——11圆参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，△ABC中，AC=6，点O是AB边上的一点，⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，点F为⊙O上一点，连AF，若四边形ACEFA．3-π3 B．2π3-3 C【解答】解：∵四边形ACEF是菱形，∴∠C＝∠AFE，由圆周角定理得：∠AFE=12∠∵⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，∴OA⊥AC，OE⊥CE，∴∠C+∠AOB＝180°，∴∠C＝60°，∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∴OB＝2OE，BC＝2AC＝26，∠BOE＝60°，∴AB=BC2∴OA＝OE=2OB＝22∴BE=O∴S阴影部分=1故选：A．2．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠BAO的度数是（）A．54° B．27° C．36° D．108°【解答】解：∵∠ACB＝54°，AB=∴∠AOB＝108°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝36°．故选：C．3．如右图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝90°，连接PD，则PD的最小值为（）A．8 B．221 C．10 D．72【解答】解：如图，以AB为直径作⊙O，连接OD在矩形ABCD内部交⊙O于点P，则此时PD有最小值．矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，∴OP＝AO＝5，∠BAD＝90°，∴OD=A∴PD＝OD﹣OP＝13﹣5＝8，即PD的最小值为8．故选：A．4．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是圆周上两点，若∠ABD＝66°，则∠BCD＝（）A．54° B．56° C．24° D．46°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝66°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣66°＝24°，∵BD=∴∠BCD＝∠A＝24°．故选：C．5．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为8，则弦AB长为（）A．8 B．4 C．22 D．【解答】解：作直径AC，连接BC，如图，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵∠C＝∠P＝30°，∴AB=12AC=12故选：B．6．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（）A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO＝∠OQD＝90°，∵PC＝OQ，OC＝OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP＝DQ＝y，∴S阴＝S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ=12（x+y）2-12•（y﹣a）y-12（x+a）x＝xy+∵PC∥DQ，∴PCDQ∴xy∴a＝y﹣x，∴S阴＝xy+12（y﹣x）（y﹣x）=12（x2+故选：B．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝6，则S阴影等于（）A．12π B．π C．32π 【解答】解：∵CD⊥AB，CD＝6，∴CE＝DE=12CD＝在Rt△ACE中，∠C＝30°，则AE＝CEtan30°=3在Rt△OED中，∠DOE＝2∠C＝60°，则OD=EDsin60°∴OE＝OA﹣AE＝OD﹣AE=3S阴影＝S扇形OAD﹣S△OED+S△ACE=60故选：D．8．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为90°的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是1cm，按如图所示的方法依次画，第6步所画扇形的弧长为（）cm．A．72π B．4π C．92π【解答】解：由题意得：第6步所画扇形的半径＝3+5＝8（cm），∴第6步所画扇形的弧长=90π×8180=故选：B．9．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．32π﹣16 B．16π﹣32 C．8π﹣16 D．4π﹣16【解答】解：连接OA、OB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∠OAB＝45°，∴OA＝ABcos45°＝4×22=所以阴影部分的面积＝S⊙O﹣S正方形ABCD＝π×（22）2﹣4×4＝8π﹣16．故选：C．二．填空题（共10小题）10．如图，在边长为63的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为9或10或18．【解答】解：连接DF,DB,BF．则△DBF是等边三角形．设BE交DF于J．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴由对称性可知，DF⊥BE,∠JEF＝60°,EF＝ED＝63,∴FJ＝DJ＝EF•sin60°＝63×∴DF＝18,∴当点M与B重合，点N与F重合时，满足条件，∴△DMN的边长为18，如图，当点N在OC上，点M在OE上时，等边△DMN的边长的最大值为63≈10.39，最小值为9∴△DMN的边长为整数时，边长为10或9，综上所述，等边△DMN的边长为9或10或18．故答案为：9或10或18．11．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有10．【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4＝10个．故答案为：10．12．如图，有一块半径为4dm，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为15dm．【解答】解：设底面半径为rdm，则2πr=90解得：r＝1，所以其高为：42-1故答案为：15．13．如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B，D，C为⊙O上一点，且∠BCD＝125°，则∠A的度数是70°．【解答】解：过点B作直径BE，连接OD、DE．∵B、C、D、E共圆，∠BCD＝125°，∴∠E＝180°﹣125°＝55°，∴∠BOD＝110°．∵AB、AD与⊙O相切于点B、D，∴∠OBA＝∠ODA＝90°．∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故答案为：70°．14．如图，M，N分别是正六边形ABCDEF的对角线BE，AD上的点，则△CMN为等腰直角三角形时，∠BCM的度数为75°或90°或15°．【解答】解：当MN＝MC时，连接AC，∵正六边形ABCDEF，∴BE垂直平分AC，当MN＝MC时，此时N与A重合，∴∠BCM＝∠BCA+∠ACM＝30°+45°＝75°；当NC＝NM时，同理可知M与E重合，∴∠BCM＝∠BCD﹣∠DCE＝120°﹣30°＝90°；当CM＝CN时，则CF垂直平分MN，∴∠BCM＝∠BCF﹣∠MCF＝60°﹣45°＝15°，综上：∠BCM＝75°或90°或15°，故答案为：75°或90°或15°．15．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，将四边形ABCF绕点C顺时针旋转到四边形A'B'CF'处，若此时点A'落在对角线CF上，A'F'与EF交于点G，则六边形A'B'CDEG的周长为83-4【解答】解：由正六边形的性质可得：EF＝CD＝ED＝A′B′＝B′C′＝2，CF＝CF′＝4，∠D＝∠DEF＝120°，∴∠CED＝∠DCE＝30°，∴∠CEF＝90°，∴CE=CF2∴EF′＝CF′﹣CE＝4﹣23，在Rt△GEF′中，∠GEF′＝90°，∠F′＝∠AFC＝60°，∵tanF′=GE∴GE＝EF′•tanF′，∴GE＝（4﹣23）×3=43同理可求GA′＝43-6∴六边形A'B'CDEG的周长＝A′B′+B′C+CD+DE+EG+GA′＝4×2+43-6+43-6＝83故答案为：83-416．如图，AB和OC分别是⊙O的直径和半径，∠BOC＝60°，点P是直径AB上的一个动点，射线CP与⊙O相交于点Q，若△POQ是等腰三角形，则∠CPB＝100°或40°或80°．【解答】解：当OP＝QP时，点P在OB上时，∴∠Q＝∠POQ，设∠Q＝∠POQ＝α，∵OC＝OQ，∴∠C＝∠Q＝α，∵∠C+∠COQ+∠Q＝180°，∴α+α+60°+α＝180°，解得α＝40°，∴∠Q＝∠POQ＝40°，∴∠CPB＝∠OPQ＝100°；当OP＝QP时，点P在OA上时，∴∠Q＝∠POQ，设∠Q＝∠POQ＝β，∵OC＝OQ，∵∠BOC＝60°，∴∠COP＝120°，∴∠C＝∠Q＝β，∵∠C+∠COQ+∠Q＝180°，∴β+β+120°+β＝180°，解得β＝20°，∴∠Q＝∠POQ＝20°，∴∠CPB＝40°；当OQ＝QP时，∴∠POQ＝∠OPQ，∵OC＝OQ，∴设∠C＝∠Q＝γ，∴∠POQ＝∠OPQ＝γ+60°，∵∠C+∠COQ+∠Q＝180°，∴γ+γ+60°+γ+60°＝180°，解得γ＝20°，即∠C＝20°，∴∠CPB＝∠C+∠COP＝20°+60°＝80°；当OP＝OQ，∵点P是直径AB上的一个动点，当OP＝OQ时，点P，Q重合，∴此情况不存在．综上所述，若△POQ是等腰三角形，则∠CPB＝100°或40°或80°．17．如图，在半径为1的⊙O中，直线l为⊙O的切线，点A为切点，弦AB＝1，点P在直线l上运动，若△PAB为等腰三角形，则线段OP的长为2或2或233【解答】解：连接OB，如图，∵OB＝OC＝AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，∵直线l为⊙O的切线，点A为切点，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，当PA＝PB时，如图1，∴PO垂直平分AB，∴∠AOP＝30°，∴PA=33OA∴OP＝2PA=2当AP＝AB＝1，如图2，∵OA＝AP＝1，∠OAP＝90°，∴OP=2OA=当BP＝BA＝1，如图3，∵∠BAP＝∠OAP﹣∠OAB＝30°，∴∠ABP＝120°，而∠OBA＝60°，∴点O、B、P共线，∴OP＝2．综上所述，线段OP的长为：2或2或23故答案为：2或2或2318．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则cos∠ACB的值是55【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠ABD＝90°，∠ACB＝∠ADB，∵AO=2∴AD=25∵AB＝4，∴BD=∴cos∠ACB＝cos∠ADB=BD故答案为：5519．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，M，N分别为AB，BC的中点，点P在正六边形的边上，且在直线MN的右侧，则当△MNP为等腰三角形时，MP长为33或313或9．【解答】解：当MN＝MP时，如图1，连接AC、OB，则OB⊥AC于点Q，由正六边形的性质可知，∠ABO＝60°，AB＝6，∴AQ＝CQ＝sin60°•AB＝33=1又∵M，N分别为AB，BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12∴MN＝MP＝33；当MP＝NP时，如图2，此时，点P与点E重合，连接AE，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠AFE=(6-2)×180°6=120°，AF∴∠FAE＝∠FEA=180°-120°2∴∠MAE＝120°﹣30°＝90°，由正六边形的性质可知，AE＝AC＝63，在Rt△MAE中，MA＝3，AE＝63，由勾股定理得，ME=MA2即MP＝313，当NP＝NM时，如图3，此时点P是CD的中点，即CP＝DP＝3，如图3，延长AB、DC交于点Q，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝6，∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠QBC＝∠QCB＝180°﹣120°＝60°，∴△QBC是正三角形，∴QC＝QB＝BC＝6，又∵M是正六边形ABCDEF的边AB的中点，∴BM＝3＝CP，∴QM＝QP＝6+3＝9，∵∠Q＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△QMP是正三角形，∴PM＝QM＝9，综上所述，PM的长为33或313或9，故答案为：33或313或9．三．解答题（共9小题）20．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与CD围成阴影部分的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠D，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；（2）①四边形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∵CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB＝∠COD＝60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，∴BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴▱ABCO是菱形；②由①知，四边形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝2，∴AD＝2OA＝4，由①知，∠COD＝60°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝2，AC＝23，∴AD，AC与CD围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD=12S△ACD+S=12×12=3+21．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AC于点D，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连接AD，CD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若OA＝AE＝2时，①求图中阴影部分的面积；②以O为原点，AB所在的直线为x轴，直径AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段AC上求一点P，使得直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分．【解答】解：（1）证明：连接OC∵OA＝OC，F为AC的中点，∴OD⊥AC，又∵DE∥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（2）①由（1）得OD⊥DE，∴∠EDO＝90°，∴OA＝AE＝2，∴AD=∴OA＝OD＝AD＝2．∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝∠DAO＝60°，∴∠ACD又∵AC⊥OD，∴∠CAO＝∠CAD＝30°，∴∠ACD＝∠CAO，∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∴S阴＝S扇形OCD，∵∠CAD＝∠OAD﹣∠OAC＝60°﹣30°＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∴S阴②由已知得：A(∴直线AC的表达式为y=过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥AD，垂足分别为M，N，由①得AC平分∠OAD，∴PM＝PN，设P(x，∵直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分，若S△APD=解得：x=23若S△APD=综上所述：满足条件的点P的坐标为P(2322．如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE＝CE，∠C＝70°，求∠DOE的度数．【解答】解：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵BE＝CE，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，∠BAC＝2∠CAE，∴∠BAC＝40°，∴∠DOE＝2∠CAE＝∠BAC＝40°．23．已知⊙O与正方形ABCD如图放置，点A，B在⊙O上．（1）如图1，连接OC，OD，求证：OC＝OD；（2）如图2，点M在⊙O上，连接DM，已知⊙O的半径为5，DM＝47，AB＝8；求证：DM是⊙O的切线．【解答】证明：（1连接OA、OB，如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠ABC，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴OAB+∠BAD＝∠OBA+∠ABC，即∠OAD＝∠OBC，在△OAD和△OBC中，OA=∴△OAD≌△OBC（SAS），∴OD＝OC；（2）过O点作OH⊥CD于H点，交AB于E点，连接OM、OD、OB，如图2，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴AE＝BE＝4，在Rt△OBE中，OE=OB∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝AB＝AD＝8，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵∠BAD＝∠ADC＝∠EHD＝90°，∴四边形AEHD为矩形，∴DH＝AE＝4，EH＝AD＝8，在Rt△OHD中，∵DH＝4，OH＝11，∴OD=4∵OM＝5，DM＝47，OD=137∴OM2+DE2＝OD2，∴△OMD为直角三角形，∠OMD＝90°，∴OM⊥DM，∵OM为⊙O的半径，∴DM是⊙O的切线．24．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）已知半径为3，BC＝4，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图，连接OA、OD，过点O作OF⊥AC，垂足为F，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AD，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴∠OAD＝∠OAF，∴OD＝OF，即点O到AC的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵点O是BC的中点，BC＝4，∴OB＝OC＝2，在Rt△BOD中，OB＝2，OD=3∴∠BOD＝30°，同理∠COF＝30°，∴∠DOF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，在Rt△AOD中，OD=3，∠AOD＝60∴AD=3OD＝3∴S阴影部分＝S四边形ODAF﹣S扇形DOF＝3×＝33-π答：阴影部分的面积33-π25．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，OD⊥AC于点G，交⊙O于点D，过点D作EF⊥AB，分别交BA，BC的延长线于点E，F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若AE＝2，tanB=43，求⊙【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴AB⊥AC，∵EF⊥AB，∴AC∥EF，∵OD⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵BC⊥AC，EF⊥AB，OD⊥AC，∴∠EAG＝∠E＝∠AGD＝90°，∴四边形AGDE是矩形，∴DG＝AE＝2，OD∥AE，∴OD＝OG+DG＝OG+2，∵∠B＝∠DOC，∴tan∠DOC=CGOG=tan设CG＝4x，则OG＝3x，∴OC=CG2∵OD＝OG+2＝3x+2，∴3x+2＝5x，∴x＝1，∴OC＝5x＝5，∴⊙O的半径为5．26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠CAB交BC于点O，以OC为半径作⊙O．（1）求证：直线AB是⊙O的切线．（2）若AB＝5，tan∠OAC=12，求⊙【解答】（1）证明：过O作OH⊥AB于H，∴∠BHO＝∠BCA＝90°，∵AO平分∠CAB，∴∠CAO＝∠BAO，∵AO＝AO，∴△CAO≌△HAO（AAS），∴OC＝OH，∴AB与⊙O相切；（2）解：∵tan∠OAC=OC∴设OC＝OH＝r，则AC＝AH＝2r，∵∠BHO＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BHO∽△BCA，∴BHBC∴BH=12BC＝r，BO=1∴BC＝BO+CO=52在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即：（2r）2