2023年江西省中考一轮复习数学专题练-12图形的旋转和对称

2023年江西省中考数学专题练——12图形的旋转和对称一、选择题（共10小题）1．如图，将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（）A．3 B．3 C．3-3 D2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．已知点M的坐标是（﹣4，3），则点M关于原点对称的点的坐标是（）A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，﹣3） D．（3，﹣4）4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．平行四边形 B．椭圆 C．正三角形 D．等腰梯形6．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现将△ABC进行旋转操作，要求旋转中心要在格点上，且绕着这个中心旋转后的三角形的顶点也在格点上（不包括旋转后与△ABC重合的情况），那么满足条件的旋转中心有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．20个7．如图1是由20个全等的边长为1的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是20的大正方形，则（）A．甲、乙都不可以 B．甲可以，乙不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲、乙都可以8．如图，把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠后，△BEF恰好是等腰直角三角形，若BC＝1，则AB的长度为（）A．43 B．2 C．5+12 9．小明遇到这样一个问题：如图，矩形纸片ABCD，AB＝2，BC＝3，现要求将矩形纸片剪两刀后拼成一个与之面积相等的正方形，小明尝试给出了下面四种剪的方法，如图①②③④，图中BE=6其中剪法正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④10．如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二、填空题（共10小题）11．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，矩形ABCD绕它的对称中心O旋转一周，边AD扫过的面积是cm2．12．如图，等边△AOB的边长为4，若点C(0，23)绕点O旋转后，恰好与△AOB的某边上的点P重合，则点P的坐标是13．在▱ABCD中，AB＝10，BC＝15，tanA=43．点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．若点Q恰好落在▱ABCD边所在的直线上，则BQ的长为14．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC上一点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DF、CF，若DC＝CF，则△EFC的面积为．15．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝5，将△ABC绕点C旋转，使点A落在BC边上的点D处，点B落在点E处，如果点E恰好在线段AD的延长线上，那么边AB的长等于．16．如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝AD＝2，则BE的长为．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6．矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′．若点B的对应点B′落在边CD上，连接DD′，则△ADD′的面积为．18．如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE．若AB＝4，BF＝2，则AE的长是．19．如图，点E是矩形ABCD边AB上一点，将△ADE沿着DE翻折得到△A′DE，A′E与DC交于F点，若AD=3，AE＝3，则EF＝20．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝22，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点（点F不与点AD重合）．将△AEF沿EF所在直线翻折，点A的对应点为A'，连接A'D，A'C．当△A'DC是等腰三角形时，AF的长为．三、解答题（共9小题）21．旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题．如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′CM′（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2＝MN2．（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，若BC＝4，CD＝3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等）22．在等腰三角形ABC中，AC＝BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）特例感知如图1，当∠C＝90°时，求∠DBA的度数；（2）拓展探究如图2，若∠C＝α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）问题解决如图3，连接AD，若∠C＝α，且tanα=512，AC＝13，∠APC＝135°，求23．如图：直线l1：y=-3x+63与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l1翻折后，设点O的对应点为点C，已知双曲线y=kx（x＞（1）求点A，B的坐标．（2）求k的值．（3）将直线l1绕着点A逆时针旋转得到直线l2．直线l2与y轴交于点B′，将△AOB′沿直线l2翻折得到△AB′C'，当四边形OAC′B′为正方形时停止转动，求转动过程中点C运动到点C′的路径长．24．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰三角形的旋转变换进行研究．[观察猜想]（1）如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系；[探究证明]（2）如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；[拓展延伸]（3）如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BF时，求出DF2的值．25．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，点A关于直线BC的对称点为点A'，连接A'B，点P为直线BC上的动点（不与点B重合），连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PD，连接A'D，BD．[问题发现]（1）如图①，当点P在线段BC上时，线段BP与A'D的数量关系为，∠DA'B＝；[拓展探究]（2）如图②，当点P在BC的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；[问题解决]（3）当∠BDA'＝45°时，求线段AP的长度．26．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画圆交BC于点D，请用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹）（1）如图1，作∠C的平分线CP．（2）如图2，作点M，使得点M与点A关于点D对称．27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝32°，如果△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD，使点D落在AB边上，连接AE，求∠EAB的度数．28．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是，FG与直线BC的位置关系是；【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？①请在图2中补全图形；②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AB＝AC=2，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF29．已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．

2023年江西省中考数学专题练——12图形的旋转和对称参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（）A．3 B．3 C．3-3 D．【解答】解：设C'D'与AD交于M，连接BM，如图：∵边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，∴AB＝BC'，∠A＝∠C'＝90°，∠CBC'＝30°，∵BM＝BM，∴△ABM≌△C'BM（HL），∴∠ABM＝∠C'BM＝30°，在Rt△ABM中，AM=AB3∴S△ABM=12AB•AM=32=S∴S阴影＝（3）2﹣S△ABM﹣S△BC'M＝3-3故选：C．2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A．3．已知点M的坐标是（﹣4，3），则点M关于原点对称的点的坐标是（）A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，﹣3） D．（3，﹣4）【解答】解：点M（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3），故选：B．4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．5．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．平行四边形 B．椭圆 C．正三角形 D．等腰梯形【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．6．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现将△ABC进行旋转操作，要求旋转中心要在格点上，且绕着这个中心旋转后的三角形的顶点也在格点上（不包括旋转后与△ABC重合的情况），那么满足条件的旋转中心有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．20个【解答】解：如图，满足条件的旋转中心有8个，分别是B，C，Q，P，D，E，F，G．故选：C．7．如图1是由20个全等的边长为1的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是20的大正方形，则（）A．甲、乙都不可以 B．甲可以，乙不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲、乙都可以【解答】解：如图所示：可得甲、乙都可以拼一个面积是20的大正方形．故选：D．8．如图，把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠后，△BEF恰好是等腰直角三角形，若BC＝1，则AB的长度为（）A．43 B．2 C．5+12 【解答】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，由第一次折叠得：∠DA'E＝∠A＝90°，∠ADE=12∠ADC＝∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AE＝AD＝1，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE=2AD=由第二次折叠知，CD＝DE=2∴AB=2故选：B．9．小明遇到这样一个问题：如图，矩形纸片ABCD，AB＝2，BC＝3，现要求将矩形纸片剪两刀后拼成一个与之面积相等的正方形，小明尝试给出了下面四种剪的方法，如图①②③④，图中BE=6其中剪法正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【解答】解：如图①中，由题意CF⊥BE于F．∵△BAE∽△CFB，∴BACF∴2CF∴CF=6把△ABE平移到△CDM，把△CBF平移到△MEN，可得正方形CFNM．如图③中，同法可得CG=6，把△CDG平移到△BAM，把△CBE平移到△GMN，可得正方形BENM故选：B．10．如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【解答】解：连接AG，由已知AD＝AF＝AB，且∠AFG＝∠ABG＝∠D＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AFG（HL），∴BG＝GF∵AB＝BC＝CD＝DA＝6，G是BC的中点，∴BG＝GF＝GC＝3，设DE＝x，则EF＝x，EC＝6﹣x，在Rt△ECG中，由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得x＝2，即DE＝2．故选：C．二．填空题（共10小题）11．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，矩形ABCD绕它的对称中心O旋转一周，边AD扫过的面积是9πcm2．【解答】解：过点O作OE⊥AD于点E，∵矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，∴BD=82+62=10（cm），则DO∵OE⊥AD，BA⊥AD，∴EO∥AB，∴EO=12AB＝4故矩形ABCD绕它的对称中心O旋转一周，边AD扫过的面积为以DO为半径和EO为半径组成的圆环面积，故边AD扫过的面积是：π×52﹣π×42＝9π（cm2）．故答案为：9π．12．如图，等边△AOB的边长为4，若点C(0，23)绕点O旋转后，恰好与△AOB的某边上的点P重合，则点P的坐标是（3，3）或（3，3）或（23【解答】解：∵△OAB为等边三角形，∴∠AAOB＝∠ABO＝60°，OA＝OB＝AB＝4，当点P与OA边上的P1点重合时，则OP1＝23，过点P1作P1D⊥x轴于点D，则OD=OPP1∴P1当点P与AB边上的P2点重合时，则OP2＝23，过点P2作P2E⊥x轴于点E，设BE＝a，则P2B＝2a，OE＝4﹣a，由勾股定理得OP即(23解得a＝1，∴OE＝4﹣1＝3，P2E＝BE•tan60°=3∴P2当点P与OB边上的P3点重合时，则OP3＝23，∴P3综上，点P的坐标是（3，3）或（3，3）或（23，0）．13．在▱ABCD中，AB＝10，BC＝15，tanA=43．点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．若点Q恰好落在▱ABCD边所在的直线上，则BQ的长为16或410或82【解答】解：①如图1中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于点E，PF⊥BC于点F，则四边形BEPF是矩形．在Rt△AEB中，∵tanA=BE∵AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∴PF＝BE＝8，∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF＝BF＝FQ＝8，∴BQ＝BF+FQ＝16；②如图2中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．则△PBE≌△QPF（AAS），设PE＝x，∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，∴tan∠FDQ＝tanA=4∴xx-1∴x＝4，∴PE＝4，在Rt△PEB中，PB=42+∴BQ＝410．③如图3中，当点Q落在AD上时，即BP⊥AD，故PB＝PQ＝8，∴BQ＝82．④当点Q在线段CD延长线上时，连接BQ，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由旋转可得△BPQ是等腰直角三角形，∴AQ＝AB＝10，∵tanA=DEAE=43，AD＝BC＝15，设DE＝4x，∴AE2+DE2＝AD2，即（4x）2+（3x）2＝152，解得：x＝3或x＝﹣3（舍去），∴DE＝12，∴PQ＝AQ＝12，而AQ＝AB＝10，∴不合题意．综上所述，BQ的长为：16或410或82．故答案为：16或410或82．14．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC上一点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DF、CF，若DC＝CF，则△EFC的面积为2-1【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于H，∵将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEH＝90°＝∠AEB+∠BAE，∴∠BAE＝∠FEH，在△ABE和△EHF中，∠BAE=∠FEH∠B=∠H=90°∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB＝EH，BE＝FH，∵AB＝BC，∴EH＝BC，∴BE＝CH，∴FH＝CH，∵AB＝CD＝CF＝2，∴FH＝CH=2∴EC＝2-2∴△EFC的面积=12×EC×FH=12×（故答案为：2-115．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝5，将△ABC绕点C旋转，使点A落在BC边上的点D处，点B落在点E处，如果点E恰好在线段AD的延长线上，那么边AB的长等于5．【解答】解：∵将△ABC绕点C旋转，使点A落在BC边上的点D处，∴AC＝DC＝4，∠B＝∠E，CE＝BC＝5，AB＝DE，∴BD＝1，∵∠ADB＝∠CDE，∠B＝∠E，∴△ADB∽△CDE，∴CEAB∴AB2＝5×1，∴AB=5故答案为：5．16．如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝AD＝2，则BE的长为22π【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∵DE＝AD＝2，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE＝45°，AE=AD2∴∠EAB＝45°，∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，∴AB＝AE＝22，∴BE=45π×2故答案为：22π17．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6．矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′．若点B的对应点B′落在边CD上，连接DD′，则△ADD′的面积为545【解答】解：如图，过点D′作D′E⊥AD于点E，∵AB＝10，AD＝6，由旋转的性质可得AB′＝10，在Rt△ADB′中，由勾股定理可得DB′=10又∵∠D′AB′＝90°，∴∠D′AD＝90°﹣∠DAB′＝∠DB′A，∴cos∠D′AD＝cos∠DB′A=B'D∴AEAD'∴AE=24在Rt△D′AE中，由勾股定理，得D′E=AD∴S△ADD′=12AD•D′E=1故答案为：54518．如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE．若AB＝4，BF＝2，则AE的长是52【解答】解：设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝4﹣x，∵折叠后点A恰好落在边BC的点F处，∴EF＝AE＝x，在Rt△BEF中，由勾股定理得，BE2+BF2＝EF2，即（4﹣x）2+22＝x2，解得x=5即AE的长为52故答案为：5219．如图，点E是矩形ABCD边AB上一点，将△ADE沿着DE翻折得到△A′DE，A′E与DC交于F点，若AD=3，AE＝3，则EF＝2【解答】解：过点F作FM⊥AB于点M，则四边形DAMF为矩形，∴DA＝MF=3∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵DA=3，AE＝3∴DE=DA2∴DA=12∴∠DEA＝30°，∵将△ADE沿着DE翻折得到△A′DE，∴∠DEA＝∠DEA'＝30°，∴∠FEM＝60°，∴EF=FMsin60°故答案为：2．20．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝22，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点（点F不与点AD重合）．将△AEF沿EF所在直线翻折，点A的对应点为A'，连接A'D，A'C．当△A'DC是等腰三角形时，AF的长为22或1或2【解答】解：①当A′D＝DC时，连接ED，如图：∵点E是AB的中点，AB＝2，BC＝22，四边形ABCD是矩形，∴AE＝1，AD＝BC＝22，∠A＝90°，∴DE=AE∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，∴A′E＝AE＝1，∵A′D＝DC＝AB＝2，∴DE＝3＝A′E+A′D，∴点E，A′，D三点共线，∵∠A＝90°，∴∠FA′E＝∠FA′D＝90°，设AF＝x，则A′F＝x，FD＝22-x在Rt△FA′D中，A'D2+A'F2＝DF2，∴22+x2＝（22-x）2解得：x=2∴AF=2②当A′D＝A′C时，如图：∵A′D＝A′C，∴点A′在线段CD的垂直平分线上，∴点A′在线段AB的垂直平分线上，∵点E是AB的中点，∴EA′是AB的垂直平分线，∴∠AEA′＝90°，∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，∴∠A＝∠EA′F＝90°，AF＝FA′，∴四边形AEA′F是正方形，∴AF＝AE＝1；③当A'C＝DC时，连接EC，FC，如图：∵点E是AB的中点，AB＝2，BC＝22，四边形ABCD是矩形，∴BE＝1，∠B＝90°，∴CE=BE∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，∴A′E＝AE＝1，∵A′C＝DC＝AB＝2，∴CE＝3＝A′E+A′C，∴点E，A′，C三点共线，∵∠A＝90°，∴∠FA′E＝∠FA′C＝90°，设AF＝x，则A′F＝x，FD＝22-x在Rt△FA′C中，A'C2+A'F2＝FC2，在Rt△DFC中，FD2+DC2＝FC2，∴A'C2+A'F2＝FD2+DC2，即22+x2＝（22-x）2+22解得：x=2∴AF=2综上所述，AF的长为22或1或2故答案为：22或1或2三．解答题（共9小题）21．旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题．如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′CM′（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2＝MN2．（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，若BC＝4，CD＝3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等）【解答】解：（1）旋转后的△A'CM'如图1所示：（2）连接M'N，∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∠ACM+∠BCN＝45°，∵△BCM'是由△ACM旋转得到的，∴∠BCM'＝∠ACM，CM＝CM'，AM＝BM'，∠CBM'＝∠A＝45°，∴∠M'CN＝∠MCN＝45°，∠NBM'＝90°，∵CN＝CN，在△MCN与△M'CN中，CM=CM'∠MCN=∠M'CN∴△MCN≌△M'CN（SAS），∴MN＝M'N，在Rt△BM'N中，根据勾股定理得：M'N2＝BN2+BM'2，∴MN2＝AM2+BN2；（3）如图2，将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，则△AC'C是等腰直角三角形，C'D＝3，∵∠C'＝∠ACB＝45°，∴C'，D'，B，C均在同一直线上，在△DAB与△D'AB中，AD=AD'∠D'AB=∠DAB∴△DAB≌△D'AB（SAS），∴DB＝D'B，在Rt△BCD'中，∵BC＝4，CD＝3，∴DB＝5，∴CC'＝12，∴AC＝62．22．在等腰三角形ABC中，AC＝BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）特例感知如图1，当∠C＝90°时，求∠DBA的度数；（2）拓展探究如图2，若∠C＝α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）问题解决如图3，连接AD，若∠C＝α，且tanα=512，AC＝13，∠APC＝135°，求【解答】解：（1）依题意补全图形，如图1所示，过点P作PE∥AC交AB于点E，∴∠PEB＝∠CAB，∵AB＝BC，∴∠CBA＝∠CAB，∴∠PEB＝∠PBE，∴PB＝PE，∵∠BPD+∠DPE＝∠EPA+∠DPE＝90°，∴∠BPD＝∠EPA，∵PA＝PD，∴△PDB≌△PAE（SAS），∵∠PBA＝∠PEB=12（180°﹣90°）＝∴∠PBD＝∠PEA＝180°﹣∠PEB＝135°，∴∠DBA＝∠PBD﹣∠PBA＝90°；（2）如图2，过点P作PE∥AC交AB于点E，∴∠PEB＝∠CAB，∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB，∴∠PEB＝∠PBE，∴PB＝PE，∵∠BPD+∠DPE＝∠EPA+∠DPE＝α，∴∠BPD＝∠EPA，∵PA＝PD，∴△PDB≌△PAE（SAS），∵∠PBA＝∠PEB=12（180°﹣α）＝90°-∴∠PBD＝∠PEA＝180°﹣∠PEB＝90°+12∴∠DBA＝∠PBD﹣∠PBA＝α；（3）如图3，作AH⊥BC交BC于点H，∵∠ACB＝α°，AC＝13，tanα=512，则sinα∴AH＝AC•sinα＝13×513=5，同理CH∴BH＝BC﹣CH＝13﹣12＝1，根据勾股定理得，AB=A∵∠APC＝135°，∴∠APH＝45°，∴AP=2AH＝52∵∠APD＝∠ACB＝30°，AC＝BC，AP＝DP，∴△PAD∽△CAB，∴ADAB∴AD=521323．如图：直线l1：y=-3x+63与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l1翻折后，设点O的对应点为点C，已知双曲线y=kx（x＞0（1）求点A，B的坐标．（2）求k的值．（3）将直线l1绕着点A逆时针旋转得到直线l2．直线l2与y轴交于点B′，将△AOB′沿直线l2翻折得到△AB′C'，当四边形OAC′B′为正方形时停止转动，求转动过程中点C运动到点C′的路径长．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝63，∴B（0，63），当y＝0时，-3x+63=∴x＝6，∴A（6，0）；（2）如图1，过点C作CM⊥x轴于M，Rt△ABO中，OA＝6，OB＝63，∴AB=62∴∠ABO＝30°，由翻折得：∠ABC＝∠ABO＝30°，∠AOB＝∠ACB＝90°，AC＝OA＝6，∴∠CAM＝60°，∴∠ACM＝90°﹣60°＝30°，∴AM=12AC＝3，CM＝3∴C（9，33），∴k＝9×33=273（3）分两种情况：①如图2，当点B'在y轴的负半轴上时，∵四边形OAC'B'是正方形，∴OA＝AC'＝6，∠OAC'＝90°，∵∠OAC＝2×60°＝120°，∴转动过程中点C运动到点C′的路径长是以A为圆心，AC为半径的210°的弧长，则转动过程中点C运动到点C′的路径长=210π×6180②如图3，当点B'在y轴的正半轴上时，同理得∠CAC'＝120°﹣90°＝30°，则转动过程中点C运动到点C′的路径长=30π×6180综上，转动过程中点C运动到点C′的路径长为7π或π．24．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰三角形的旋转变换进行研究．[观察猜想]（1）如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系BD＝CE；[探究证明]（2）如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；[拓展延伸]（3）如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BF时，求出DF2的值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE；（2）（1）中结论不成立，结论为BD=2EC∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，AC＝BC，AB=2AC∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C＝90°，∠B＝∠ADE＝45°，∴∠A＝∠ADE＝45°，∴AE＝DE，∴AD=2AE∵将△ADE绕点A逆时针旋转，∴∠DAE＝∠CAB，∴∠CAE＝∠BAD，又∵AEAD∴△ACE∽△ABD，∴ECBD∴BD=2EC（3）∵BD是等边△ABC底边AC的中线，∴CD＝AD＝2，BD=3AD＝23，∠CBD＝30°＝∠ABD如图3，当AB⊥BF时，过点F作FH⊥BD于H，由旋转可得：AB＝BF＝4，∵AB⊥BF，∠ABD＝30°，∴∠FBD＝60°，∵FH⊥BD，∴∠BFH＝30°，∴BH=12BF＝2，FH=3BH＝∴DH＝23-2∴DF2＝FH2+DH2＝12+16﹣83=28﹣83如图，同理可得：BH=12BF＝2，FH=3BH＝∴DH＝23+2∴DF2＝FH2+DH2＝12+16+83=28+8325．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，点A关于直线BC的对称点为点A'，连接A'B，点P为直线BC上的动点（不与点B重合），连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PD，连接A'D，BD．[问题发现]（1）如图①，当点P在线段BC上时，线段BP与A'D的数量关系为相等，∠DA'B＝90°；[拓展探究]（2）如图②，当点P在BC的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；[问题解决]（3）当∠BDA'＝45°时，求线段AP的长度．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，点A关于直线BC的对称点为A′，则∠ABC＝∠A′BC＝30°，AB＝A′B．∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∴∠AA′B＝60°．∵∠APD＝60°，∴∠BAP＝∠ABP＝∠PAC＝30°，∴AP＝PB，PC=12∵AP＝PD，∴PC=12∴PC＝CD，又∵AC＝A′C，∠ACP＝∠A′CD，∴△APC≌△A′DC（SAS），∴DA′＝AP，∠CA′D＝∠PAC＝30°，∴PB＝DA′，∠BA′D＝60°+30°＝90°，故答案为：相等；90°；（2）成立，证明如下：如图②，连接AD，∵△AA′B是等边三角形，∴AB＝AA′，由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°，∴△APD是等边三角形，∴PA＝PD＝AD，∴∠BAP＝∠BAC+∠CAP，∠A′AD＝∠PAD+∠CAP，∠BAC＝∠PAD，∴∠BAP＝∠A′AD，在△BAP与△A′AD中，AB=AA'∠BAP=∠A'AD∴△BAP≌△A′AD（SAS），∴BP＝A′D，∠AA′D＝∠ABC＝30°，∵∠BA′A＝60°，∴∠DA′B＝∠BA′A+∠AA′D＝90°；（3）当点P在线段BC的延长线上时，如图②，连接AD，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，∴AB＝4，BC＝23，∵∠A'DB＝45°，∠BA'D＝90°，∴∠A'DB＝∠A'BD＝45°，∴A'B＝A'D，∵BP＝A′D，∠AA′D＝∠ABC＝30°，∴A'D＝BP＝AB＝4，∴CP＝BP﹣BC＝4﹣23，∵AP2＝AC2+CP2＝4+（4﹣23）2，∴AP＝26-22若点P在线段CB的延长线上，如图③，连接AD，∵∠A'DB＝45°，∠BA'D＝90°，∴∠A'DB＝∠A'BD＝45°，∴A'B＝A'D，∴AB＝A'B＝A'D＝4＝BP，∴PC＝23+4∵AP2＝AC2+CP2＝4+（4+23）2，∴AP＝26+22综上所述：AP＝26+22或26-226．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画圆交BC于点D，请用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹）（1）如图1，作∠C的平分线