高数同济六版课件D93全微分

高数同济六版课件d93全微分全微分概念及性质多元函数微分法全微分在几何中的应用全微分在经济学中的应用数值计算与误差估计总结与展望contents目录01全微分概念及性质全微分定义与几何意义全微分定义设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域内有定义，如果函数在点P的全增量Δz可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A和B是与Δx和Δy无关的常数，ρ=√[(Δx)²+(Δy)²]，则称函数z=f(x,y)在点P可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点P的全微分，记作dz，即dz=AΔx+BΔy。几何意义全微分描述了函数在一点附近的变化率，其几何意义是切平面上的增量。当函数在某点的全微分存在时，该点处的切平面与函数图像近似重合。函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)可微分的充分必要条件是函数在该点的偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)存在，且函数在该点的全增量Δz可以表示为Δz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy+o(ρ)。可微条件如果函数在某点可微分，那么该函数在该点的偏导数必定存在。但是，偏导数存在并不一定是可微分的充分条件。必要条件可微条件与必要条件全微分是线性运算，即d(k*f+g)=k*df+dg，其中k是常数，f和g是可微函数。线性性全微分符合微分法则，包括乘积法则、链式法则等。微分法则在同一坐标系下，全微分与坐标变换无关。不变性全微分基本性质VS如果函数在某点的偏导数存在，那么该函数在该点沿着坐标轴方向的变化率存在。偏导数与连续性关系偏导数存在并不保证函数在该点连续，但函数在该点连续且偏导数存在则可以保证函数在该点可微分。同时，如果函数在某点可微分，那么该函数在该点必定连续。偏导数存在性偏导数存在与连续性关系02多元函数微分法链式法则若$z=f(u,v)$，$u=g(x,y)$，$v=h(x,y)$，则$z$对$x$的偏导数$frac{partialz}{partialx}=frac{partialz}{partialu}frac{partialu}{partialx}+frac{partialz}{partialv}frac{partialv}{partialx}$。全微分形式不变性无论中间变量如何选取，全微分的形式保持不变。复合函数的高阶偏导数可以通过连续应用链式法则求得。复合函数微分法则若由方程$F(x,y)=0$能确定$y$是$x$的函数，则$y$对$x$的导数$frac{dy}{dx}=-frac{F_x}{F_y}$。一个方程的情形对于方程组$begin{cases}F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0end{cases}$，若能确定$u,v$是$x,y$的函数，则可通过解方程组求得$u,v$对$x,y$的偏导数。方程组的情形隐函数微分法则若函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，且在该点取得极大值或极小值，则称$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的极值点。若函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微，且在$(x_0,y_0)$取得极值，则$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$。设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内具有二阶连续偏导数，且$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$。记$A=f_{xx}(x_0,y_0)$，$B=f_{xy}(x_0,y_0)$，$C=f_{yy}(x_0,y_0)$，则当$AC-B^2>0$时，若$A>0$，则$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$取得极小值；若$A<0$，则$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$取得极大值。无条件极值一阶必要条件二阶充分条件多元函数极值问题要点三条件极值求函数$z=f(x,y)$在条件$varphi(x,y)=0$下的极值问题。要点一要点二拉格朗日乘数法构造函数$L(x,y,lambda)=f(x,y)+lambdavarphi(x,y)$，将条件极值问题转化为无条件极值问题，即求$L(x,y,lambda)$的极值点。必要条件若函数$z=f(x,y)$在条件$varphi(x,y)=0$下在点$(x_0,y_0)$取得极值，且$varphi_y(x_0,y_0)neq0$，则存在常数$lambda$，使得$begin{cases}f_x(x_0,y_0)+lambdavarphi_x(x_0,y_0)=0f_y(x_0,y_0)+lambdavarphi_y(x_0,y_0)=0varphi(x_0,y_0)=0end{cases}$成立。要点三条件极值与拉格朗日乘数法03全微分在几何中的应用

空间曲线切线与法平面方程空间曲线的一般方程了解空间曲线的一般表示方法，如参数方程、向量方程等。切线方程掌握求空间曲线在某一点的切线方程的方法，理解切线的几何意义。法平面方程了解法平面的概念，掌握求法平面方程的方法，理解法平面与切线的关系。空间曲面的一般方程了解空间曲面的一般表示方法，如显式方程、隐式方程等。切平面方程掌握求空间曲面在某一点的切平面方程的方法，理解切平面的几何意义。法线方程了解法线的概念，掌握求法线方程的方法，理解法线与切平面的关系。空间曲面切平面与法线方程梯度的概念与性质了解梯度的定义、性质及其几何意义，掌握求梯度的方法。方向导数理解方向导数的概念，掌握求方向导数的方法，了解方向导数与梯度的关系。最大变化率了解最大变化率的概念，掌握求最大变化率的方法，理解最大变化率与方向导数的联系。梯度、方向导数与最大变化率等高线图掌握绘制等高线图的方法，理解等高线图在表示多元函数图像中的作用。透视图与立体图了解透视图与立体图的概念，掌握绘制透视图与立体图的方法，以便更直观地展示多元函数的图像。多元函数图像的绘制方法了解绘制多元函数图像的基本步骤和技巧，如选择适当的视角、使用颜色区分不同高度等。多元函数图像绘制技巧04全微分在经济学中的应用边际分析研究经济变量变动所引起的其他变量的边际变化，常用于分析成本、收益、效用等。弹性分析研究一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度，即因变量变化的百分比与自变量变化的百分比之比。边际分析与弹性分析概念介绍消费者在购买一定数量的某种商品时愿意支付的最高价格与这些商品的实际市场价格之间的差额。生产者在提供一定数量的某种商品时实际接受的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。消费者剩余与生产者剩余计算生产者剩余消费者剩余价格弹性与收入弹性估计商品价格变动所引起的该商品需求量的变动率，用于衡量需求对价格变动的反应程度。价格弹性消费者收入变动所引起的该商品需求量的变动率，用于衡量需求对收入变动的反应程度。收入弹性在生产过程中，如何调整生产要素的投入量，使得在产出一定的情况下，成本达到最小。生产成本最小化利润最大化效用最大化在完全竞争市场中，企业如何确定产量和价格，以实现利润最大化。消费者在有限的收入下，如何选择商品组合，使得自己的效用达到最大。030201最优化问题在经济学中应用05数值计算与误差估计数值计算的定义与特点01数值计算是研究数学问题的数值解法，通过数值近似和迭代过程来求解数学问题。数值计算方法分类02包括直接法和迭代法两大类，其中直接法如高斯消元法、矩阵求逆等，迭代法如雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等。数值计算的应用领域03广泛应用于科学计算、工程设计、经济分析等领域。数值计算方法简介误差是指数值计算结果与真实值之间的差异，可分为截断误差、舍入误差和传播误差等。误差的定义与分类主要来源于数学模型、数值方法和计算机硬件等方面。误差的来源包括选择合适的数值方法、提高计算精度、进行误差分析和估计等。减小误差的方法误差来源及分类讨论迭代法求解非线性方程组迭代法的基本思想通过构造一个迭代序列，逐步逼近非线性方程组的解。常见的迭代法包括简单迭代法、雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。迭代法的收敛性判断根据迭代矩阵的谱半径或迭代序列的收敛速度来判断迭代法是否收敛。牛顿迭代法的基本思想通过构造一个以非线性方程组的解为根的线性方程组，然后用迭代法求解该线性方程组，从而逼近非线性方程组的解。牛顿迭代法的步骤首先给出初始近似值，然后计算函数值和导数值，构造线性方程组并求解，得到新的近似值，重复以上步骤直至满足精度要求。牛顿迭代法的收敛性判断根据牛顿迭代法的局部收敛性定理，当初始近似值足够接近真实解时，牛顿迭代法具有平方收敛速度。此外，还可以通过判断迭代矩阵的谱半径或构造收敛性因子来判断牛顿迭代法的收敛性。牛顿迭代法及其收敛性判断06总结与展望课程重点内容回顾利用全微分，我们可以在已知函数在某点的偏导数时，近似计算出函数在该点附近的变化量。全微分在近似计算中的应用全微分是多元函数微分学中的重要概念，它表示函数在一点附近的变化量可以近似地用一个线性函数来表示。几何上，全微分表示了切平面与函数图像的切近程度。全微分的定义与几何意义全微分的计算主要依赖于偏导数，通过求偏导数再乘以自变量的微分，最后相加即可得到全微分。全微分的计算法则难点问题剖析及解决思路偏导数表示函数对某一自变量的偏导数，而全微分则表示函数对所有自变量的偏导数之和。理解这一关系是全微分计算的关键。复合函数的全微分计算对于复合函数，需要先求出中间变量的偏导数，再代入全微分的计算公式中进行计算。隐函数的全微分计算对于隐函数，需要先求出隐函数对各个自变量的偏导数，再利用全微分的计算公式进行计算。偏导数与全微分的关系理解多元函数的泰勒公式泰勒公式是多元函数微分学中的重要工具，它可以用来近似计算函数在某点附近的值。方向导数与梯度方向导数表示函数在某一点沿某一方向的变化率，而梯度则表示函数在该点的最大变化率方向。了解这些概念有助于深入理解全微分的几何意义。微分中值定理与推广微分中值定理是微分学中的基本定理之一，它揭示了函数值与导数之间的关系。了解这些定理及