空间图形表面积体积

13.3空间图形的表面积和体积13.3.1空间图形的表面积1.了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念.2.知道柱、锥、台体的表面积的计算公式.3.能用公式解决简单的实际问题.课标要求素养要求在计算柱、锥、台体的表面积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算和直观想象素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.几种特殊的多面体(1)直棱柱：侧棱和底面______的棱柱.(2)正棱柱：底面为__________的直棱柱.(3)正棱锥：棱锥的底面是__________，并且顶点在底面的射影是__________.正棱锥的侧棱长都______.(4)正棱台：________被平行于底面的平面所截，______和______之间的部分.垂直正多边形正多边形底面中心相等正棱锥截面底面2.几种简单几何体的侧面展开图与侧面积ch几何体直观图侧面展开图侧面积直棱柱

S直棱柱侧＝___正棱锥

S正棱锥侧＝______正棱台

S正棱台侧＝___________cl2πrlπrlπ(r＋r′)l圆柱

S圆柱侧＝___＝_____圆锥

S圆锥侧＝_____＝_____圆台

S圆台侧＝_______________＝_________点睛旋转体侧面积的关系：1.思考辨析，判断正误 (1)三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长.(

)

提示

如果侧棱和底面垂直，则可以；否则不可以. (2)若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形.(

)

提示

设圆柱的底面圆的半径为r，所以圆柱的侧面展开图的两边分别为2πr，2r，二者不相等，故侧面展开图不是正方形. (3)圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.() (4)对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图不一定相同，但其表面积是唯一确定的.()××√√2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(

)A解析

设底面圆半径为r，母线长为h，3.一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a，则它的表面积是(

)B4.已知正四棱台的上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，则它的侧面积为________.解析设正四棱台为ABCD－A1B1C1D1，如图.过B1作B1F⊥BC于点F，则B1F为斜高.课堂互动题型剖析2题型一棱柱、棱锥或棱台的表面积解如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O分别为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：(1)高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；(2)高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.思维升华B题型二圆柱、圆锥、圆台的表面积【例2】

如图所示，已知直角梯形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π·42＋π·162＝532π(cm2).求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.思维升华【训练2】

(1)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的________倍. (2)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________.27(2)设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r，S侧＝π(r＋3r)·3＝84π，∴r＝7.题型三简单组合体的表面积角度1由多面体组合成的组合体问题【例3】

如图①所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图②所示的几何体，那么此几何体的表面积为___________.角度2由旋转体组成的组合体问题【例4】

已知圆锥的高和其底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和其底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.角度3由平面图形旋转形成的组合体问题【例5】

一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积.

解

如图，在梯形ABCD中，AD＝2，AB＝4，BC＝5.作DM⊥BC，垂足为点M，则DM＝4，MC＝5－2＝3.在旋转形成的旋转体中，AB形成一个圆面，AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面，设其面积分别为S1，S2，S3，则S1＝π·42＝16π，S2＝2π·4×2＝16π，S3＝π·4×5＝20π，故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π.组合体一般由多面体组合而成，或由旋转体组合而成，对于旋转体一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求各元素之间的关系，再利用相应表面积公式计算.思维升华【训练3】

如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积.一、牢记2个知识点1.直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念.2.棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积.二、掌握一种方法——割补法三、注意一个易错点平面图形与立体图形的切换不清楚.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(

) A.4π B.3π C.2π D.π

解析所得几何体是底面圆半径为1，高为1的圆柱，其侧面积S＝2πrh＝2π·1×1＝2π.C2.正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为(

)C3.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于(

)C4.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(

)C解析圆台的轴截面如图，由题意知，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.5.正三棱台的两底面边长分别为6和8，侧面积与两底面面积之和的比为21∶25，则正三棱台的斜高为(

)B解析设正三棱台的斜高为h′，二、填空题7.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.2∶1∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.8.如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为________和________.32cm248cm2解析正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE.∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，解如图所示，所得几何体的表面积为解如图，设O，O1分别是两底面的中心，则OO1是高，E，E1分别是其所在边的中点，则EE1是斜高，过E1作E1F⊥OE于F.故制造该下料斗约需铁板2.8×105mm2.11.设圆柱的一个底面面积为S，若其侧面展开图为一个正方形，则这个圆柱的侧面积为(

)A.πS B.2πS C.3πS D.4πSD12.(多选题)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(

)AB解析如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，13.圆台的母线长为8cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.AH＝A1A·cos60°＝4(cm).设O1A1＝r1，OA＝r2，则r2－r1＝AH＝4cm.①设A1B与AB1的交点为M，则A1M＝B1M.又∵A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.∴O1M＝O1A1＝r1.同理OM＝OA＝r2.14.一个正三棱锥P－ABC的底面边长为a，高为h，