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数学思想方法的灵魂-------化归化归思想是中学数学最根本的思想方法之一,数学中很多问题的解决都离不开化归:数形结合思想表达了数于形的相互转化,函数方程思想表达了函数、方程、不等式间的相互转化，分类讨论思想表达了局部与整体的相互转化。化归思想也是高考的重要考查对象，数学中的各种变换多离不开化归，化归是数学思想方法的灵魂。那么，如何在解题中应用化归思想？一、特殊和一般转化设都是正数，求证：。解析：此题是一多元不等式，从整体上考虑一时难以入手，现行教材只学过均值不等式；对于三个以上的式子不等式关系未作介绍，能否从学过的不等式入手呢？事实上：，，……，，各式相加即得即二、正与反的互化例2、抛物线，，中至少有一条与轴相交，求实数的取值范围。解：由解得，再求它的补集，那么的取值范围是：或三、变量与常量的转化例3、对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的取值范围。解：原不等式化为，令，它是关于的一次函数，定义域为。由依次函数的单调性知解得：或例4、求证：解：把看作变量，、看作常量，有，所以因为，又因为，所以，所以，所以同理，所以在上恒大于0，所以，即。四、数与形的转化例5、函数的最大值。解：用待定系数法、配方为转化为几何问题。几何意义是抛物线上动点到点和到点距离之差。由解得：的最大值为。还可以考虑用向量的知识解此题：可考虑……eq\o\ac(○,1)，令可知和，可知和，由eq\o\ac(○,1)式可得：，当且仅当与共线同向时等号成立。所以的最大值是。点评：，当且仅当共线同向时取得最大值反向时取得最小值。五、相等与不等的转化例6、假设正数、满足，那么的取值范围。解：由均值不等式得：，将不等式转化为：令，。所以，解得：〔舍去〕，所以，即的取值范围是例7、为使不等式对任意实数、恒成立，试求实数、应满足的条件。解：为使不等式成立，必须且只需为一个实数的平方加上一个增量。令，即，由多项式恒等的条件有解得：。所以，当时，不等式恒成立。应用柯西不等式实现:相等与不等的转化例8、，求证：分析：由，联想到柯西不等式。当且仅当：，代入得：例9、且，试求的值。分析：不等式…………eq

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