第一章 空间向量与立体几何 章末重难点归纳总结（解析版）

第一章空间向量与立体几何章末重难点归纳总结考点一空间向量的线性运算及数量积【例1】（2023春·江苏连云港）平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则（

）A． B．2 C． D．10【答案】A【解析】由图可得，则，故,故选：A【一隅三反】1．（2023河南新乡）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（

）

A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】连接，由棱柱性质，侧棱平面，平面，则，故，又，.故选：C2．（2023北京）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（）①与是一对相反向量；②与是一对相反向量；③与是一对相反向量；④与是一对相反向量．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】

对于①，，，，与是一对相反向量，①正确；对于②，，，又，与不是相反向量，②错误；对于③，，，，，,与是一对相反向量，③正确；对于④，，，又，与是一对相反向量，④正确.故选：C.3．（2022·高二课时练习）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，由，，故,所以．故选:A．4．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期末）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】为正三棱椎，为的中心，∴平面，平面，∴，，△ABC是等边三角形，∴，，故，，则．故选：D.

考点二空间向量的基本定理【例2-1】（2023春·江苏南通）已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如下图所示：因为为的中点，则，所以，，又因为，且、、不共面，则，，故，，故选：A.【例2-2】．（2023春·高二单元测试）已知是空间的一个基底，若，，则（

）A．是空间的一个基底B．是空间的一个基底C．是空间的一个基底D．与中的任何一个都不能构成空间的一个基底【答案】C【解析】对A，因为，所以，则共面，不能作为空间的一组基底，故A不正确；对B，因为，所以，则共面，不能作为空间的一组基底，故B不正确；对C，假设共面，因为作为了空间的一组基底，所以不共线，又，故不共线，则可设，所以.因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即向量不共面,能作为空间的一组基底，故C正确；对D，有选项C知，向量与可以构成空间的一组基底，故D不正确.故选：C.【一隅三反】1．（2023春·河南周口）三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】

如图所示，因为点M在平面BCD内，可设，则有，即用向量，，表示，三个基向量的系数之和为1，显然A符合题意．故选：A．2．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】当共面时，不妨设，变形得到，则，设，若点与点共面，则，只有选项中符合题意.故选：.3．（2022秋·高二单元测试）（多选）下列各组向量中共面的有（）A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）【答案】ABC【解析】选项A中，设，则解得故存在实数使得，因此共面.选项B中，选项C中.故B，C中三个向量也共面.选项D中，设，则显然无解，故不共面.故选：ABC.4．（2023甘肃）（多选）下列命题正确的是（）A．若，则与共面B．若与共面，则C．若＝x＋y，则M，P，A，B共面D．若M，P，A，B共面，则＝x＋y【答案】AC【解析】AC：由向量共面定理知，则与共面；＝x＋y，则M，P，A，B共面，正确；B：若共线，与不共线，则就不成立；D：若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确．故选：AC考点三空间向量运算的坐标表示【例3】（2023广西）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A． B．C．） D．与夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】因为，且，故A不正确；因为，，则，故B正确；因为，，故C正确；由于，，所以，所以D正确.故选:BCD.【一隅三反】1．（2023广东）若，且为共线向量，则的值为（

）A．7 B．C．6 D．8【答案】C【解析】因为为共线向量，且它们均为非零向量，故存在实数，使得，故，所以，故，故，故选：C.2．（2023福建）已知，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，，所以.故选：C3．（2023秋·高一单元测试）设，则AB的中点M到点C的距离（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为的中点，所以故选：C．考点四空间向量与立体的综合运用【例4-1】（2023春·新疆阿勒泰）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．

(1)证明：平面平面PBC；(2)当时，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为底面，平面，所以．因为，，所以．所以，所以．又因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又平面EAC，所以平面平面PBC．（2）解法一：以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．

设点E的坐标为，因为，所以，即，，，所以．所以，．设平面ACE的一个法向量为，则．所以，取，则，．所以平面ACE的一个法向量为．又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．设平面PAC与平面ACE的夹角为，则．所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为．解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．

设点E的坐标为，因为，所以，即，，，所以．所以，．设平面ACE的一个法向量为，则．所以，取，则，．所以，平面ACE的一个法向量为．又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．设平面PAC与平面ACE的夹角为，则．所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为【一隅三反】1．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，二面角的大小为，是中点.

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）取中点，连接，因为直角梯形中，，且，所以四边形是平行四边形，平面平面，平面.又是中点平面平面，平面，又平面，平面平面，平面平面.（2）连接，由知：，由（1）知：且，，在平面内过点作交于点，则两两互相垂直，以为坐标原点，以方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，

则，从而，设平面的法向量为，即，令，得，易知平面的一个法向量为，，由题意知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.2．（2023春·浙江）在四棱锥中，底面为正方形，平面，．

(1)求证：平面平面；(2)若是中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为平面，平面，所以，因为底面为正方形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）将题干图形调整一下位置，记的中点为，的中点为，连接，如图，

因为，是的中点，所以，又由（1）知平面，平面，所以，又平面，所以平面，又是的中点，底面为正方形，所以，故以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，因为平面，平面，所以，不妨设，则在中，，则，因为是中点，则，故，设平面的一个法向量为，则，取，则，故，记直线与平面所成角为，则，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.3．（2023春·重庆长寿）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点．(1)求证：EF∥平面PBC；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC．(3)若，求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3).【解析】（1）取PC的中点为G，连接FG，BG，则因为F，G分别是PD，PC的中点，所以，且，又因为点E是AB的中点，，，所以且，所以且，即四边形BEFG是平行四边形，所以平面PBC，平面PBC，所以EF平面PBC.（2）取AC与BD的交点为点O，连接PO，因为PB=PD，点O是BD的中点，所以，又因为四边形ABCD是菱形，所以，由，，，平面，平面，得平面.又因为平面，所以平面PBD⊥平面PAC.（3）因为，为的中点，所以又由（2）知，又，平面，平面，所以平面，以点O为原点，OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为，所以在等边中，，在直角中，，所以，设平面PAB的法向量为，则，，，由，得，取，得.设平面PBC的法向量为，则，，，由，得，取，得，所以，由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的平面角的余弦值为.考点五动点和轨迹问题【例5-1】（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为.

【答案】【解析】取的中点，连接，如图所示：

因为，平面，平面，所以平面.因为，平面，平面，所以平面.又因为平面，，所以平面平面.因为平面，平面，所以点在平面的轨迹为.所以.故答案为：【例5-2】（2023春·上海宝山）已知、分别是正方体的棱、的中点，求：

(1)与所成角的大小；(2)二面角的余弦值；(3)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，请判断点的位置，并说明理由.【答案】(1)；(2)；(3)点是线段靠近点的三等分点，理由见解析.【解析】（1）在正方体中，令，以点D为原点，以的方向分别为,,轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，则,，设与所成角为，，所以与所成角的大小是.

（2）平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，则，令，得，设的夹角为，，（3）设，则，平面的一个法向量为，设与平面所成角为，即，所以当，即点是线段靠近点的三等分点时,与平面所成角的的正弦值为【一隅三反】1．（2023春·河北保定）（多选）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，P为底面ABCD内（包括边界）一动点，则下列结论正确的是（

）A．若直线与平面没有公共点，则点P的轨迹长度为B．若，则点P的轨迹长度为C．二面角B—EF—D的正切值为D．过E，F，C的平面截该正方体所得截面为五边形【答案】ACD【解析】对于A，连接，在正方体中，由可得四边形为平行四边形，所以；因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为，平面，所以平面平面；因为直线与平面没有公共点，所以点P的轨迹线段，其长度为，A正确.

对于B，取的中点，连接，设交于点，在正方形中，与全等，所以，所以，即；又分别为中点，所以平面，而平面，所以；因为，所以平面.因为，所以点P的轨迹线段，其长度为，B不正确.

对于C，延长，延长交的延长线于，过点作于，连接，由正方体的性质可得平面，平面，所以；因为，，所以平面，所以；所以为二面角的平面角；在直角三角形中，，所以；在直角三角形中，，所以，C正确.

对于D，延长，利用延长线与的交点作出截面图，如图，五边形即为过E，F，C的平面截该正方体所得截面，D正确.

故选：ACD.2．（2023春·山东枣庄），分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为.

【答案】【解析】取中点，连接，设，则，，，所以，所以，因为，所以，所以，即，因为正方体中面，面，所以，因为面，，所以面，因为正方体中面，面，所以，所以点的轨迹为矩形，在直角中，所以矩形面积为.即点的轨迹所围成图形的面积为.故答案为：3．（2023·山西晋中·高二统考期末）在正方体中，为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，为直线上的动点.

(1)点在棱上，当时，平