考点巩固卷12 平面向量（十二大考点）（解析版）

考点巩固卷12平面向量（十二大考点）考点01 平面向量的基本概念1．下列说法错误的是（

）A．向量与的长度相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点相同C．共线的单位向量都相等 D．只有零向量的模等于0【答案】C【分析】根据相反向量、相等向量、单位向量和零向量的定义判断各个选项．【详解】对于A，向量与互为相反向量，其长度相等，故A正确；对于B，因为相等向量的方向相同，长度相等，则两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，故B正确；对于C，共线的单位向量可以是相反向量，故C错误；对于D，因为模长为0的向量为零向量，所以只有零向量的模长等于0，故D正确．故选：C．2．给出下列3个命题，①相等向量是共线向量；（2）若与不相等，则向量与是不共线向量；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；其中真命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据相等向量、共线向量的定义判断即可.【详解】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故相等向量一定是共线向量，即①正确；若与不相等，则向量与也可以共线，只要与模不同即可，故②错误；平行于同一个向量的两个向量不一定是共线向量，如，，，此时，，但是与不一定共线，故③错误；即真命题只有个.故选：B3．（多选）下列叙述中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．已知非零向量与且//，则与的方向相同或相反D．对任一非零向量是一个单位向量【答案】CD【分析】A注意即可判断；B根据向量的性质判断；C由共线向量的定义判断；D由单位向量的定义判断.【详解】A：若时，不一定有，错误；B：向量不能比较大小，错误；C：非零向量与且//，则与的方向相同或相反，正确；D：非零向量，则是一个单位向量，正确.故选：CD4．（多选）下列说法正确的有（

）A．B．λ、μ为非零实数，若，则与共线C．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有【答案】BCD【分析】利用向量数量积的定义可判断A；利用向量共线定理可判断B；根据向量的概念可判断C；利用向量的减法运算可判断D.【详解】对于A选项，，故错误；对于B选项，因为为非零实数，且，与一定共线，故正确；对于C选项，向量不能比较大小；向量的模可比较大小，故正确；对于D选项，由，所以，故正确.故选：BCD.5．（多选）下列关于平面向量的说法中不正确的是（

）A．已知非零向量，，，若，，则B．若，则为平行四边形C．若且，则D．若点G为的重心，则【答案】BC【分析】根据向量共线的概念可判断选项A,B；利用向量垂直的数量积关系即可判断C错误；利用三角形重心的结论即可判断选项D.【详解】对于选项A，对于非零向量，，，由，，且为非零向量，可知，选项A正确；对于选项B，因为，则四点可能共线，所以不一定为平行四边形，故选项B错误；对于选项C，由可得，则，不一定，故选项C错误；对于选项D，由平面向量中三角形重心的结论可知，若点G为的重心，则，故选项D正确，故选项：BC.考点02 平面向量的线性运算6．如图，向量，，，则向量（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的加减法求解即可.【详解】依题意，得，故选：C．7．在正六边形中，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量运算求得正确答案.【详解】依题意，.故选：C

8．（福建省普通高中2022-2023学年高二6月学业水平合格性考试数学试题）如图所示，，，M为AB的中点，则为（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量的加法列式作答.【详解】，，M为AB的中点，所以.故选：B9．在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且，设，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】将转化为，结合已知可得.【详解】在五角星中，，，则，，，，.故选：C.10．（多选）如图，是正六边形的中心，则（

）

A． B．C． D．在上的投影向量为【答案】CD【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A、B不正确，结合向量的数量积的定义域运算，可判定C正确，结合向量的投影的定义与运算，可判定D正确.【详解】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得：对于A中，由，所以A不正确；对于B中，由，所以B不正确；对于C中，设正六边形的边长为，可得，，所以，所以C正确；对于D中，如图所示，连接，可得，可得，所以在向量上的投影向量为，所以D正确.故选：CD.

11．在中，E为AC上一点，，P为线段BE上任一点，若，则的最小值是（

）A． B． C．6 D．8【答案】B【分析】由题可得，后由基本不等式可得答案.【详解】由题可得B，P，E三点共线，则.又，，则，则.当且仅当，即时取等号.故选：B

考点03 向量共线与三点共线12．设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有________．（填序号）【答案】①②③【分析】根据向量共线的条件对各选项逐一判断即可.【详解】①，共线；②，共线；③，共线；④和无法表示成，所以不共线.故答案为：①②③13．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设.

(1)用向量与表示向量；(2)若，求证：三点共线.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；（2）利用向量的线性运算及向量共线的充要条件即可求解.【详解】（1）是的中点，；.（2），与平行，又与有公共点，三点共线.14．设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为__________.【答案】【分析】根据三点共线可得向量共线，由此利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案.【详解】因为三点共线，故,则，使得，又，故，则，解得，故答案为：15．在中，，且，则________．【答案】【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.【详解】，，即，，．故答案为：.16．已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分性必要性的定义，结合向量共线的结论进行判断.【详解】因为分别表示与方向相同的单位向量，所以由可知，方向相同；“存在实数，使得”即共线，包含方向相同或方向相反两种情况．所以，“存在实数，使得”不能推出是“”；“”可以推出“存在实数，使得”，所以“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件．故选：B.17．已知是不共线的向量，且，则（

）A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线【答案】D【分析】利用平面向量共线向量定理求解.【详解】因为，所以，若A、B、D三点共线，则，而无解，故A错误；因为，所以，若A、B、C三点共线，则，而无解，故B错误；因为，所以，若B、C、D三点共线，则，而无解，故C错误；因为，所以，即，所以A、C、D三点共线，故D正确.故选：D考点04 平面向量共线定理的推论18．如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用共线定理的推论可得.【详解】因为，所以，所以，因为P，B，N三点共线，所以，解得.故选：D19．如图，在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则实数的值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】结合向量的运算可得，然后由三点共线得，可得答案.【详解】由题意知：，又，，即，由三点共线，可得，即.故选：B.20．已知长方形中，，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，线段，交于点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，根据平面向量线性运算及平面共线定理的推论以，结合平面向量基本定理，即可求得的值，从而得结论.【详解】由题可知，

设则,又，所以，解得，所以.故选：A.21．在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可得.【详解】由题可知，，因为，，所以，，又，所以，所以，因为三点共线，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故选：A

22．已知A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】根据已知等式，结合向量减法法则化简，而三点共线，可得，解得的值，设，可得，所以，从而求出的值．【详解】，，整理得，，当时，显然不成立，故，所以，，，是直线上不同的三点，，解得，，设，，，，解得，即．故选：A．23．在中，点是边所在直线上的一点，且，点在直线上，若向量，则的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．9【答案】B【分析】由题意可得，又点，，三点共线，所以，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解即可．【详解】，，，点，，三点共线，，又，，，当且仅当，即，时，等号成立，的最小值为4．故选：B．考点05 平面向量基本定理24．（多选）已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得，故A正确；由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以，又，所以，故B正确；，故C正确；，，又，所以，故D错误.

故选：ABC25．如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足，那么______.

【答案】1【分析】可作单位向量，从而可用表示向量，根据平面向量基本定理即可得出关于的方程组，求解即可.【详解】如图所示，作单位向量,

则，，所以.又，所以,所以，解得，所以.故答案为:1.26．在中，点为与的交点，，则（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量基本定理得到，，从而列出方程组，求出，得到，求出答案.【详解】因为，所以为中点，三点共线，故可设，即，整理得，因为，所以，即，三点共线，可得，所以，解得，可得，则，.故选：B27．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（

）A．、 B．、C．、 D．、【答案】C【分析】利用平面向量基底的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，设，因为、不共线，则，显然不成立，A中的两个向量可作一个基底；对于B选项，设，因为、不共线，则，显然不成立，B中的两个向量可作一个基底；对于C选项，因为，C中的两个向量不能作一个基底；对于D选项，设，因为、不共线，则，显然不成立，D中的两个向量可作一个基底.故选：C.28．如图，在梯形ABCD中，，E，F分别是AB，BC的中点，AC与DE相交于点O，设，．

(1)用，表示；(2)用，表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题设知且，根据用表示出即可；（2）由题意可得，再用表示出即可.【详解】（1）在中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，且，故.（2）因为，所以，则，故.29．如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】利用表示，结合平面向量基本定理确定其表达式.【详解】设，，所以，又，所以，因为，所以，所以，解得，所以，故选：B.考点06 平面向量的坐标运算30．已知向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】因为，且，所以，所以.故选：C.31．若，，C为AB的中点，D为AB上更靠近A的三等分点，则C的坐标为______，D的坐标为______．【答案】【分析】根据中点的坐标公式求的坐标，利用求的坐标.【详解】根据中点坐标公式，的坐标为，，则．因为，所以的坐标为．故答案为：，32．在平面直角坐标系xOy中，，，．(1)若，求实数x，y的值；(2)若，求实数m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量坐标化的线性运算即可得到关于的方程组，解出即可；（2）首先计算得，再利用向量共线得到关于的方程，解出即可.【详解】（1）由，有，有解得故；（2）由，，又由，有，解得，故．33．已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标及点C的坐标．

【答案】，，，．【分析】根据题意，得，．由此结合三角函数的定义，算出点、两点的坐标，进而可得到与的坐标．由向量相等即可求解.【详解】由题意，点在原点，与轴正半轴成,可得，．设，，，．则，，，．同理可得，，，．，，，．由于34．已知，，．(1)若，求的值；(2)若，且，，三点共线，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；（2）首先求出，的坐标，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】（1）因为，，所以，因为，所以，解得.（2）因为，，因为，，三点共线，所以，所以，解得，故的值为．35．在矩形中，，，E为CD的中点，若，，则________．【答案】【分析】建立如下图的平面直角坐标系，求出各点坐标，由平面向量线性运算的坐标表示可得的坐标，由，列方程组，解方程组可得和的值即可求解.【详解】建立如下图的平面直角坐标系，由已知得，，，，由得，设，则，可得，解得，所以，，又因为，所以，解得，，则.故答案为：.考点07 求数量积36．在平面直角坐标系中，设向量，(1)当时，求，的值；(2)若且，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据特殊角的三角函数值代入计算可得；（2）根据数量积的坐标表示，利用二倍角公式、辅助角公式将式子化简，即可得到，从而求出，即可得解.【详解】（1）因为，当时，，所以，，（2）∵，，∴，∴，∵，，∴，解得，∴.37．已知，，.(1)若，求；(2)设，求的单调递增区间.【答案】(1)(2)，.【分析】（1）当时，写出向量、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值；（2）利用平面向量数量积的坐标运算以及辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间.【详解】（1）解：当时，则，，所以，.（2）解：因为，由，，解得，.所以的单调递增区间为，.38．已知，，且与夹角为求：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）由平面向量的数量积的定义求解即可；（2）由平面向量的数量积的运算律求解即可.【详解】（1）因为，，且与夹角为，所以.（2）.39．如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则______.

【答案】【分析】利用平面向量数量积的定义可求得的值，由题意得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】由平面向量数量积的定义可得，由题意可得，，所以，.故答案为：.40．已知四边形是矩形，，，则（）A． B．-7 C． D．-25【答案】B【详解】利用平面向量数量积的运算律计算求值即可．【分析】.故选：B41．如图所示，正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】先将用表示，再根据数量积的运算律即可得解.【详解】由题意，，所以.故选：D.考点08 垂直关系的判断及应用42．已知平面向量，，向量与的夹角为．(1)求与；(2)求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）代入向量数量积，以及模的计算公式，即可求解；（2）要证明向量垂直，转化为证明.【详解】（1）由题意，，；（2）证明：由（1）得，所以，故．43．已知平面向量，，，，，则的值是______.【答案】【分析】先利用向量垂直数量积为0求出的值，再根据向量的平方等于模长的平方即可求解.【详解】，因为，所以，解得，又因为，所以，故答案为：44．已知向量，．(1)若，求；(2)若，求实数的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由数量积坐标表示求解即可；（2）计算，由垂直向量的坐标表示求解即可.【详解】（1）时，，，所以．（2），，因为，所以整理得，故．45．已知向量.(1)若点A，B，C不能构成三角形，求实数应满足的条件；(2)若为直角三角形，求实数的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）当三点共线时，点A，B，C不能构成三角形，即共线，利用向量共线的坐标公式计算即可得出答案.（2）为直角三角形，分为直角，为直角和为直角，利用垂直向量的坐标表示即可得出答案.【详解】（1）因为点A，B，C不能构成三角形，所以，因为，，，所以，，，所以，解得，综上可得，当时，A，B，C不能构成三角形；（2）①若为直角，则，所以，解得；②若为直角，则，所以，解得；③若为直角，则，所以，即，因为，所以方程无解；综上可得，当或时为直角三角形.46．已知，，与的夹角是，求：(1)(2)当为何值时，【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，从而得到；（2）利用向量垂直与数量积的运算律得到关于的方程，从而得解.【详解】（1）因为，，与的夹角是，所以，故，则.（2）因为，所以，则，即，所以.47．已知向量，，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出的值，利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】已知向量，，且，则，即，若，则，这与矛盾，所以，，故，因此，.故选：A.考点09 向量的模48．已知向量与满足，，与的夹角为.(1)求；(2)求；(3)当为何值时，？【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用数量积的定义直接计算作答.（2）利用数量积的运算律，结合（1）的结论求解作答.（3）利用垂直关系的向量表示不解作答.【详解】（1）因为，，与的夹角为，所以.（2）由（1）知，所以.（3）由，得，解得，所以当时，.49．已知三个不共线的平面向量，，两两所成的角相等，，，，则______.【答案】5【分析】由平面向量两两所成角相等可得两两所成角为，再利用数量积运算性质即可得出.【详解】由题知三个不共线的平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是，因为，，，所以，所以.故答案为：550．如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足，AD的中点为E，，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为___________.

【答案】【分析】建立坐标系，利用向量法结合基本不等式得出，进而得出AB边长.【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系.设，则.因为，所以，即，当且仅当时，取等号.筝形ABCD的面积为即当时，筝形ABCD的面积最大.此时AB边长为.故答案为：

51．如图，在平面四边形中，，，，则的最小值为__________．

【答案】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，利用垂直关系和模的坐标公式可得，故可求模的最小值.【详解】以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设，

因为，且，故，故，，故，而，故，故，即，所以，当时，.故答案为：52．（2023·河南驻马店·统考三模）已知平面向量满足,且，则=_________________．【答案】【分析】由数量积的运算律求出，再由向量的模长公式即可得出答案.【详解】由,得,所以.故答案为：53．已知两点，，且在线段AB上，若，则点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设点，表示出，由条件可得，再利用在线段AB上可得，联立即可求得答案.【详解】设点，则，由得，即①，又在线段AB上，故共线，则②，①②联立得，而在线段AB上，则，故，解得，（舍去），则，故,故选：C考点10 求两个向量的夹角54．已知为坐标原点，点，则__________.【答案】【分析】利用向量的坐标运算得到点坐标，然后利用数量积求夹角即可.【详解】设点，所以，，，，因为，所以，解得，，因为，所以.故答案为：.55．向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的坐标运算求解.【详解】因为，则，且，所以.故选：A.56．设两个向量，满足，．(1)若，求，的夹角；(2)若，的夹角为60°，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)且.【分析】（1）根据数量积运算以及结果，结合模长，即可求得，再根据数量积求得夹角；（2）根据夹角为锐角则数量积为正数，求得的范围，再排除向量与不为同向共线向量对应参数的范围，则问题得解.【详解】（1）因为，所以，又，，所以，所以，又，所以向量、的夹角是.（2）因为向量与的夹角为锐角，所以，且向量与不同向共线，即，又、夹角为，所以，所以，解得，又向量与不同向共线，所以，解得，所以的取值范围是且.57．已知向量，．(1)若，求实数k的值；(2)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．【答案】(1)k＝(2)．【分析】（1）先求出，然后再根据垂直关系即可求出；（2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数k的取值范围.【详解】（1），因为，所以，解得：.（2）若与的夹角是钝角，则且与方向不相反，即，且解得：且，故实数k的取值范围是.58．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量夹角公式结合数量积公式计算求解.【详解】设向量与的夹角为θ.由，左右两边平方得,得.由，得，从而.故选:B.59．已知单位向量与互相垂直，且，记与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数量积的运算律可得出，.然后根据数量积的定义，即可得出答案.【详解】由已知可得，，，所以，.根据数量积的定义可知，.故选：D.考点11 求投影向量60．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断出为直角三角形，再结合求出，最后根据投影向量的计算方法计算即可得正确的选项.【详解】

因为，故为的中点，而为外心，故为直角三角形，且，取的中点为，连接，则，因为，故，故，而为锐角，故，故，所以，而向量在向量上的投影向量为，故选：B.61．已知向量，，则在上的投影向量的模为______．【答案】【分析】根据数量积以及模的坐标表示，求出数量积以及模，然后根据投影向量的概念，即可得出答案.【详解】由已知可得，，，所以，在上的投影向量的模为.故答案为：.62．已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据求出，再根据投影向量公式可求出结果.【详解】因为，所以，得，所以，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C63．已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用在方向上投影向量公式计算即可得出结果.【详解】在方向上的投影向量为，故选：C64．（多选）若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形均为正方形，则下列结论正确的是（

）

A．在上的投影向量为B．在上的投影向量为C．在上的投影向量为D．在上的投影向量为【答案】AC【分析】过作于，连接，设，由可得，求出可得，可得在上的投影向量；根据向量加法的平行四