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第5章曲线拟合的最小二乘法5.1最小二乘法原理5.2超定方程组的最小二乘解5.3可线性性化模型的最小二乘拟合5.4多变量的数据拟合5.5多项式拟合5.6正交多项式及其最小二乘拟合5.1最小二乘原理设已知某物理过程y=f(x)在m个互异点的观测数据求一个简单的近似函数φ(x)，使之“最好”地逼近f(x)，而不必满足插值原则。称函数y=φ(x)为经验公式或拟合曲线。这就是曲线拟合问题。

xi

x1x2…..xmyi

y1y2…..ym5.2超定方程组的最小二乘解设线性方程组

(m>n)

即

如果有向量x使得

达到最小，则称x为超定方程组的最小二乘解。

定理超定方程组Ax=b存在最小二乘解，且即为方程组ATAx=ATb

的解。当A的列向量线性无关时ATA非奇异，这时有唯一的解。

称方程组ATAx=ATb

为方程组Ax=b的正则方程组、正规方程组、法方程组

曲线拟合的最小二乘法可以看成求下述超定方程组的最小二乘解的问题

简写为

一般计算步骤(1)计算

，其中

(2)计算ATA,ATb

，形成法方程组ATAx=ATb(3)求解法方程组，输出

a1,a2,…,an,构成

5.3可线性性化模型的最小二乘拟合

例已知观测数据(1,–5),(2,0),(4,5),(5,6)，试用最小二乘法求形如的经验公式。

解

作超定方程组即法方程组为求得a=1.537650114

b=－6.432976311所求经验公式为5.5多项式拟合1直线拟合

作超定方程组

n记号

指对i从1到n取和法方程组

2二次拟合、抛物拟合

作超定方程组

有法方程组

3一般情形

超定方程组的系数矩阵

例给定函数y=f(x)的实例数据表。试用最小二乘法求二次拟合多项式。解设二次拟合多项式写出其正则方程组x1234678y2367532将计算结果代入正则方程组解得

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