工程力学弯曲应力

弯曲应力北方交通大学蒋永莉26三月2024

主要内容及重点：纯弯曲的特性弯曲正应力弯曲剪应力提高梁抗弯强度的措施mmFSM横向外力作用于梁上时，其横截面上通常既又弯矩M，又有剪力FS.FSmm

Mmm

与正应力有关的法向内力元素

dFN=

dA可合成弯矩M，无法合成成剪力FS。

与切应力有关的切向内力元素dFS=

dA

可合成剪力FS

，无法合成弯矩M

。结论：梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力。？正应力s切应力t应力剪力FS弯矩M1.纯弯曲

纯弯曲(purebanding)

－梁的横截面上只有弯矩一个内力分量梁的横截面上只有垂直于横截面的正应力

横力弯曲(transversebending)

－横截面上同时产生剪力和弯矩梁的横截面上不仅有正应力，还有剪应力。

弯曲试验与假设弯曲试验纯弯曲的特性试验现象

横线为直线,仍与纵线正交

靠顶部纵线缩短,靠底部纵线伸长

纵线伸长区,截面宽度减小纵线缩短区,截面宽度增大弯曲假设

横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设

各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假设（纯弯与正弯矩作用）纯弯曲的特性中性层中性轴受压区受拉区纵向纤维既不伸长也不缩短的层—中性层中性层与横截面的交线—中性轴

横截面间绕中性轴相对转动

中性轴⊥截面纵向对称轴应力分布应力公式变形应变分布拉压、扭转时横截面上应力分析过程物理关系平面假定静力方程2.纯弯曲时梁横截面上的正应力几何方面:物理方面:静力学方面:(a)

(b)中性轴通过横截面形心(a)

(d)(e)

(a)－抗弯截面系数(e)－惯性矩(c)：y轴为对称轴，成立。（1）当中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdyzy（2）对于中性轴不是对称轴的横截面M

分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式平面假设不再成立3.横力弯曲时梁横截面上的正应力当：纯弯曲的正应力计算公式计算横力弯曲梁横截面上的正应力误差不超过1%。结论中性轴过截面形心

中性轴位置：

正应力公式：

中性层曲率：,对称弯曲,纯弯与非纯弯

应用条件：总

结假设平面假设，单向受力假设综合考虑三方面一些易混淆的概念对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式纯弯曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常数的受力状态中性轴－横截面受拉与受压区的分界线形心轴－通过横截面形心的纵向坐标轴弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力

抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度的影响中性轴与形心轴对称弯曲与纯弯曲截面弯曲刚度与抗弯截面系数课堂讨论：下列说法是否正确？纯弯曲时，不论材料是否处于弹性阶段，变形后横截面保持平面。纯弯曲时，梁变形后横截面保持平面，且其形状大小均保持不变。梁内最大弯曲正应力总是发生在最大弯矩的横截面上。纯弯曲时，梁变形后轴线为一圆弧线。

思考题：

圆轴扭转时，横截面之间产生相对转动；梁平面弯曲时，横截面之间也产生相对转动。两者有何不同？圆轴扭转时，横截面之间绕轴线相对转动梁平面弯曲时，横截面之间绕中性轴相对转动例题1：简支梁受力如图所示，求：m－m截面上点（1）、（2）处的正应力180180+M900N.m30601220zy例题2：梁横截面为空心圆截面，承受正弯矩60KN.m作用。试求：横截面上点a、b和c处的弯曲正应力解：由正应力计算公式：解：1.弯矩计算2.形心位置计算由矩形

1

与矩形

2

组成的组合截面例

3已知：F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm试计算：截面

B-B的最大拉应力st,max与压应力sc,max3.惯性矩计算4.最大弯曲正应力例

4梁用№18工字钢

制成，Me=20kN•m,E=200GPa。试计算：最大弯曲正应力smax

，梁轴曲率半径r解：1.工字钢（GB706-1988）一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材№18工字钢：2.应力计算3.变形计算例

5

已知：钢带厚

d=2mm,宽b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。试计算：带内的smax

与M解：1.

问题分析

应力～变形关系：

内力～变形关系：已知钢带的变形（轴线曲率半径），求钢带应力与内力带厚

d=2mm,宽

b=6mm,D

=

1400mm,E

=

200GPa，求smax

与M2.应力计算3.

弯矩计算正应力强度条件－正应力强度条件

例题6简支梁AB，L＝3mFp=23kNq=4kN/m[σ]=120MPa。试选择此梁的槽钢型号。选16a槽钢例题7求均布载荷q的许用值[q]=3.99kN/m解题分析危险截面?危险点？危险截面危险点例题8螺栓压板夹紧装置计算简图如图示，（A、B、C处为空心截面）。已知板长3a＝150mm，材料的许用正应力[s]＝140MP.试计算压板传给工件的最大压紧力F.CABFa2a20φ30φ14解：（1）作弯矩图（2）惯性矩抗弯截面系数（3）许可载荷最大弯矩为FaM例题9试按正应力强度条件校核该梁的强度安全横截面上任意一点的正应力－正应力强度条件小结：试按正应力强度条件校核该梁的强度求均布载荷q的许用值危险截面危险点课堂讨论：可能的危险点？只需考虑一个危险点需考虑三个可能危险点弯矩：最大值和极值异号中性轴：是截面非对称轴[σt]不等于[σc]80y1y22020120zT形截面铸铁梁的许用拉应力[

t]=30MPa，许用压应力[

c]=160MPa.截面对形心轴z的惯性矩为Iz

=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m课堂练习FRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m解：

B截面C截面80y1y22020120z安全M图？M课下练习

铸铁梁，

y1

=45mm，y2

=95mm，[st]=35MPa

，[sc]=140MPa，Iz=8.84

10-6m4，校核梁的强度解：MD－最大正弯矩MB－最大负弯矩危险截面－截面D,B危险点－a,b,c安全例题10：梁的截面为N010工字钢，右端由圆杆CD支承，已知圆杆的直径d=20mm，梁及圆杆材料相同[

]=160MPa。试求：许用均布荷载[q]=？解：首先求约束反力根据CD杆的轴拉强度条件：ABCD2m1mq做AB的M图确定MmaxABCD2m1mMq/2＋4.弯曲切应力切应力强度计算假设

t

(y)

//

截面侧边，并沿截面宽度均匀分布狭窄矩形截面梁(h>b)Sz(w)－面积

w

对中性轴

z

的静矩弯曲切应力公式FF+dFω截面翘曲与非纯弯推广

切应变非均布

截面翘曲（aba'b'（=，弯曲s仍保持线性分布切应力非均布

当梁上作用横向分布载荷时，只要l>

5h，纯弯s公式仍足够精确当FS=常数时，

4.1矩形截面最大切应力τmax

:中性轴处(y=0)a与c点处－单向应力b点处－纯剪切4.2工字形薄壁梁假设:t//腹板侧边,并沿其厚度均匀分布w－y下侧部分截面对中性轴

z的静矩在腹板与翼缘交界处：在中性轴处：c与d点处－单向应力a点处－纯剪切b点处－s与t联合作用d4.2工字形截面

翼缘上垂直于y轴的切应力dht1t1'4.3盒形薄壁梁w假设:

t//腹板侧边,并沿腹板厚度均布4.4圆形截面yzOC2d/3p4.5圆环形截面由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹板上a点处(图b)的切应力ta

。不计梁的自重。例11梁的剪力图解:求tmaxFS,max=75kN。查表56a号工字钢：Iz=65586cm4Iz/S*

z,max=47.73cm。b=12.5mm2.求ta查表56a号工字钢：Iz=65586cm4Iz/S*

z,max=47.73cm。b=12.5mm例

12FS=15kN,Iz

=8.8410-6m4,b=120mm,d=20mm,yC

=45mm。试求:tmax

；腹板与翼缘交接处切应力

ta解：例题13：由三块木板胶合而成的悬臂梁，如图所示，试求：胶合面上的1、2点处剪应力和总剪力。12P=3KNz150100y1m1求静矩和惯性矩计算剪应力和总剪力剪应力互等定律：截面对称：胶合面上的总剪力：z150100y112P=3KN1m如果改用销钉，销钉的间距？例题14:试计算1-1截面A-A位置上1、2两点处的正应力，(2)此截面最大正应力,(3)全梁最大正应力、最大剪应力。解：12例题14:试计算1-1截面A-A位置上1、2两点处的正应力，(2)此截面最大正应力,(3)全梁最大正应力、最大剪应力。例题15：已知梁的横截面如图所示。横向荷载作用在对称平面内,该截面上的弯矩M=12KN.m，Fs=12KN。试计算该截面上：（1）A、B两点处的正应力，（2）|

|max和|

|max，（3）沿a—a的正应力和剪应力分布图。解：首先确定截面形心位置及截面对中性轴的惯性矩：y129z2801601004080y129z2801601004080（3）沿a—a的正应力和剪应力分布图。例题16：图示简支梁由N020a工字钢制成，在外荷载作用下，测得横截面C处梁底面的纵向正应变为

=3.0

10-4。已知：E=200GPa，a=1m，试计算梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力解：首先求支反力根据虎克定律：qa2qFsM3qa/4qa2/43qa2/4qa2/32-+-+qa/4ABCaa/2a/2又由弯矩图可知：FsM3qa/4qa2/43qa2/4qa2/32-+-+qa/4ABCaa/2a/2剪应力强度条件－剪应力强度条件1.梁的跨度较小或支座处有较大的载荷。2.

焊接或铆接的组合截面钢梁（例如工字形截面梁），其截面腹板的厚度远小于截面的高度时。

3.各向异性材料，例如木材，由于木材在顺纹方向的抗剪能力较差，当中性轴上的切应力较大时，会使梁产生沿中性轴的剪切破坏。例17简易吊车梁，F=20kN，l=6m，[s]=100MPa，[t]=60MPa，选择工字钢型号.解：1.危险工作状态分析移动载荷问题。危险截面？2.按弯曲s强度条件选截面选

№22a,Wz=3.09×10-4m43.校核梁的剪切强度

弯曲正应力与弯曲切应力比较当l>>h时，smax

>>tmax梁危险点处的应力状态实心与非薄壁截面梁a与c点处－单向应力b点处－纯剪切薄壁截面梁c与d点处－单向应力a点处－纯剪切b点处－s与t联合作用dd

弯曲正应力强度条件：

弯曲切应力强度条件：[t]-材料纯剪切许用应力[s]-材料单向应力许用应力

细长非薄壁梁

短而高梁、薄壁梁、M小FS大的梁或梁段梁的强度条件

对一般薄壁梁，还应考虑

s、t

联合作用下的强度问题（参见强度理论）强度条件的应用例题18截面为22a工字钢的简支梁试校核该梁的强度。例题18截面为22a工字钢的简支梁，试校核该梁的强度。不安全可选用型号为25b的工字钢

5.提高弯曲强度的措施1.梁的合理截面衡量截面是否合理的指标:Wz/A圆形截面：Wz/A=0.91矩形截面:Wz/A=1.53工字形:Wz/A=7.36截面面积均为A＝42cm2

的圆形，矩形，工字形截面根据截面几何性质选择合理截面考虑材料力学性质例

19

梯形截面梁，[st]=45MPa，[sc]=80MPa，试求a

与b

的最佳比值。解：1.形心的最佳位置2.a与b的最佳比值2.合理安排梁的受力合理安排加载方式合理安排约束均匀受力！2.合理安排梁的受力均匀受力！6LLPl138.0L4Pl2L8PlL8Pl4L4LL2025.0ql2025.0ql2025.0ql2.合理安排梁的受力3.变截面梁（等强度梁的概念）使梁横截面沿轴线变化，以达到各横截面的最大正应力都等于许用应力，即：L4Pl例20：图示之AB为简支梁，当载荷FP直接作用在梁的跨度中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用应力30％。为减小AB梁内的最大正应力，在AB梁配置一辅助梁CD，CD也可以看作是简支梁。试求辅助梁的长度a。

M＋＋M配辅助梁CD前配辅助梁CD后解：作AB梁配辅助梁CD前后的弯矩图：对于塑性材料制作的矩形横截面悬臂梁，其等强度设计为：－弯曲等强条件等强度梁－各横截面具有同样强度的梁－剪切等强条件－弯曲等强条件等强度梁－各横截面具有同样强度的梁－剪切等强条件等强度梁－各横截面具有同样强度的梁

a=?[F]最大2.合理安排梁的受力力学小问题：宽4m的水沟上横跨一长6m的窄板，板的[M]=600N.m，两体重均为800N的人采用何种办法可安全通过此沟？当一人站在右侧外伸段距右支座0.536m~0.75m之间时，另一人可安全通过。同理，过沟的人站在左侧外伸段距右支座0.536m~0.75m之间时，另一人可安全通过。研究性问题对于图中的吊车大梁，现因移动荷载F增加为50kN，故在20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲正应力[

]=152MPa，许