公式法因式分解

15.4.2公式法分解因式

——完全平方公式1.什么叫做因式分解?

把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解2.已学过的因式分解方法有

和

。提取公因式法公式法3.找公因式的方法：(1)系数取

；(2)相同字母取

。最大公约数最低次幂4.因式分解应先考虑

,然后再考虑

,最后要检查每个因式能否

.提取公因式法公式法再分解----利用平方差公式因式分解：

(1)-x3+4x2y(2)2x2y-72y3(3)-16+b4

(4)4(a+2b)2-25(a-b)2

(5)a2(a-2)-a+2(6)a2(x-3)+b2(3-x)

(7)(a-b)n+2-(a-b)n练习:x2+6x+9怎么因式分解？乘法公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．完全平方公式

其中把a2+2ab+b2，a2-2ab+b2叫做完全平方式。完全平方式的特点：1、必须是三项式2、有两项是两个数平方的形式3、还有一项是这两个数的2倍或-2倍

(1)a2-4a+4(2)x2+4x+4y2

(3)4a2+2ab+b2(4)a2-ab+b2

(5)x2-6x-9(6)a2+a+0.25(7)1+4a2(8)-4b2+4b-1√××××××√练一练1.判断下列各式是不是完全平方式。2.填空：练一练3.下列因式分解正确的是()A.B.C.D.D练一练·例1

分解因式：

(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32a22abb2+·+(5)6ab-a2b2-9；(6)-8ab-16a2-b2练一练分解因式：(1)x2+12x+36;(2)4x2－4x+1;(3)a2+2a+1(4)－2xy－x2－y2;例2、把下列各式分解因式（1）3ax2+6axy+3ay2

（2）(a+b)2-12(a+b)2+36练一练分解因式:(1)ax2+2a2x+a3(2)-3x2+6xy-3y2(3)x2y-2xy2+y3因式分解步骤:(1)“一提”：有公因式，先提公因式；(2)“二套”：提公因式后,括号内(套)用公式法分解。(3)“三查”：检查每个括号能否继续分解。（1）-(m+n)2+6(m+n)-9（3）(a+b)4-18(a+b)2+81练一练分解因式:(2)(m2-4m)2+8(m2-4m)+16(1)“一提”(2)“二套”(3)“三查”

[例3]分解因式：

(1)(x+4)2+2x(x+4)+x2(2)a4-2a2b2+b4(3)(x2+3x)2-(x-1)2

（4）-2an+1+2an-an-1小结:a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2a2-b2=(a+b)(a-b)（1）掌握常用公式（2）灵活运用完全平方公式分解因式(3)因式分解的步骤:“一提”：有公因式，先提公因式；“二套”：提公因式后，括号内（套）用公式法分解;“三查”：检查每个括号能否继续分解。

1、分解因式：（1）x3-9x（2）-3x2+6xy-3y2（3）(a2+b2)2-4a2b2（4）(y2-6)2-6(y2-6)+9（5）4x2+20(x-x2)+25(1-x)22、计算：8002-1600×798+7982

练一练练习:1.把下列各式分解因式

[例3]分解因式：

(1)(x+4)2+2x(x+4)+x2(2)a4-2a2b2+b4(3)（x2+3x）2-（x-1）2

（4）-2an+1+2an-an-1练习.2.分解因式：3、计算：8002-1600×798+7982

应用提高、拓展创新1.把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？

（1）

；

（2）（3）

；（4）（5）

.

归纳：(1)先考虑是否能提取公因式(2)再考虑还能否利用公式；(3)分解因式时要分解到不能分解为止．小结:分解有怎样的过程？(1)“一提”：有公因式，先提公因式；(2)“二套”：提公因式后，括号内（套）用公式法分解。(3)“三查”：检查每个括号能否继续分解。完全平方式的特点：1.计算(107)2+(92)2+(107)×(92)×22.已知a+b=3,ab=-2,求a3b-2a2b2+ab3的值3.观察下列各式：

1×2×3×4+1=25=52；

2×3×4×5+1=121=112；

3×4×5×6+1=361=192；……根据上述规律，你能得到什么结论，请你用式子来表示你得到的规律，并用你所学的知识来说明理由。

思考：一个正方形的面积是（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1，你知道这个正方形的边长是多少吗？（x>0）多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的平方，那么加上的单项式可以是

。2.若2x2+5x+1=a（x+1）2+b（x+1）+c，那么a=

，b=

，c=

。3.若多项式x2+px+12可分解为两个一次因式的积，那么整数p的值可以是

。4.1012-202+1=

。±6x或x4或-1或-9x221-2±7或±8或±13100005.已知a、b、c是三角形ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，则此三角形是

三角形。等边练习：1.因式分解（1）a2-12a+36（2）x2y2-10xy+25（3）-4x2+12xy-9y2（4）（x-2y）2-4（x-2y）+4（5）x4-8x2+16（6）a3-2a2+a3.分解因式：(1)3x3-12x2y+12xy2(3)a2(a-1)-4(1-a)2(5)4x2y2-(x2+y2)2(2)an+1-6an+9an-1(4)y2+y+(6)(m2-n2)2-4mn(m-n)2（1）-a2b2+2a2b-a2（2）4ax2-16ay2练习：1.因式分解（1）13×9.98+5.6×99.8+310×0.998（2）9992-9982（3）-3a+6a2-3a3（4）4(a-b)3-9(a-b)（3）172+26×17+1322.计算3.已知，求的值。例3.分解因式：你能直接分解吗？2.计算：1.因式分解(1)(a2+b2)2-4a2b2(2)-2an+1+2an-an-1(3)(a+b)2-2(a2-b2)+(a-b)2(4)ab-a-b+12.若(x2+1)(y2+1)=4xy，则x2-3y+1=

。(5)a4-2a2b2+b4思考题:1、多项式:(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：X4+4x2+()请运用完全平方公式把下列各式分解因式：1.因式分解(1)9-a2-4ab-4b2(2)1+a2b2-a2-b2(3)x2-4xy+4y2-5x+10y2.已知x2+y2-6x-8y+25=0，求xy的值.3.已知a=2005x+2006，b=2005x+2007，c=2005x+2008，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值.例1因式分解(1)x2-6x+8(2)x2+7x-8(1)y2+7y-60(2)a2+13a+36练习:因式分解(3)x2+2x-63例2因式分解(1)2x2-x-15练习因式分解(2)6y2-5y-21(1)4y2-27y+18(2)-3a2-a+10完全平方公式法分解因式：两数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两数的和(或差)的平方。因式分解完全平方公式：(a+b)2=

.(a-b)2=

.a2+2ab+b2a2-2ab+b2a2+2ab+b2=

.a2-2ab+b2=

.(a+b)2(a-b)2思考：你能将多项式a2+2ab+b2

与a2－2ab+