考研数学北京航天航空大学线性代数-2-4

§2.4初等变换与初等矩阵一初等变换二用初等变换求矩阵的秩三初等矩阵四用初等变换求逆矩阵一矩阵的初等变换初等变换的逆变换也是初等变换,且变换类型不变.定义矩阵的以下变换称为矩阵的初等变换：(1)互换矩阵的两行或两列的位置;(2)用不为零的常数k乘矩阵的某一行或某一列;

(3)用常数k乘矩阵的某一行(或列)加到另一行(列)的对应元素上去.注这三种初等变换分别简称为互换、倍乘、倍加.1.自反性：A≌A;在数学中把具有上述三个根本性质的关系称为“等价关系”.同型矩阵的等价关系具有以下三个根本性质:定义矩阵A经过初等变化而得到新矩阵B,称矩阵A与矩阵B等价.记为:A≌B.2.对称性：A≌

B

B≌

A;3.传递性：A≌

B且B≌C

A≌

C.

注三角形的相似、全等都是等价关系.数之间的“大于”、“小于”不是等价关系.例如(–2)–2–2即A与B等价.矩阵B是阶梯型矩阵.从上述矩阵演算过程中可以看到:任意一个矩阵总可以经过有限次初等变换化成阶梯形矩阵.另外,我们在讲矩阵的秩的时候,知道阶梯形矩阵的秩是很容易确定的,如果初等变换不改变矩阵的秩,那么我们就可以根据阶梯形矩阵求出与其等价的原矩阵的秩.二用初等变换求矩阵的秩即初等变换不改变矩阵的秩.证定理4.1设A,B均为mn矩阵,假设A≌B,那么R(A)=R(B).只要证明对矩阵进行初等行变换不改变秩即可.首先,前两种变换对矩阵的任何阶子式等于零或不等于零的性质不产生影响,因此对矩阵的前两种初等变换不改变其秩.对第三种变换,设k设R(A)=r,R(B)=s.下面证明r=s.对B中任一r+1阶子式B1,可能有以下三种情形:1.如果B1中不含B的第j行元素,那么B1也是A的r+1阶子式.由R(A)=r,得B1=0.2.如果B1中既含B的第i行元素,又含B的第j行元素,那么3.如果B1中含B的第j行但不含B的第i行,那么A的一个r+1阶子式至多与A的r+1阶子式差一符号总之,不管哪一种情形,B中任一r+1阶子式都等于零,因此R(B)

r，即s

r.假设将B的第i行乘(–k)加到第j行的矩阵A.同样可得r

s.因此r=s,即R(A)=R(B).同理结论对列的初等变换也成立.初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例1求矩阵的秩.解21–2

R(A)=2.假设继续对A进行化简(–1)11114称为A在初等变换下的标准形.解分析：练习三初等矩阵逆矩阵是与矩阵的乘法运算密切相关的概念,要利用初等变换求逆矩阵,就需要首先矩阵的初等变换与乘法的运算联系起来,为此我们要引入初等矩阵的概念.三种初等变换对应着三种初等方阵.定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.1.互换E的第i行与第j行用m阶初等矩阵Pm(i,j)左乘A=(aij)m

n,得用初等矩阵P(i,j)左乘A相当于将A的第i行与第j行互换.2.用数k0乘E的第i行用m阶初等矩阵P(i(k))左乘A=(aij)m

n,得用初等矩阵P(i(k))左乘A相当于对A用不为0的数k乘以A的第i行.

3.用数k乘E的第i行加到第j行用m阶初等矩阵P(i(k),j)左乘A=(aij)m

n,得用P(i(k),j)左乘A相当于用数k乘A的第i行加到第j行.同样有列变换对应的初等矩阵三种,右乘矩阵A相当于对A进行列变换.从上面的讨论结果,我们可以得到这样的结论:定理4.2设A是一个m

n矩阵,对A进行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A进行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.(1)根据这个定理,矩阵的等价关系可用矩阵的乘法方式表示出来,即:推论

m

n矩阵A与B等价

有m阶初等矩阵P1,P2,…,Pl与n阶初等矩阵Q1,Q2,…,Qt使得m

n矩阵A的标准形D有以下三种形式:(2)(3)1的个数为矩阵A的秩.1初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵;2初等矩阵都是可逆矩阵;3初等矩阵的逆阵仍为初等矩阵.由推论必存在有m阶初等矩阵P1,P2,…,Pl与n阶初等矩阵Q1,Q2,…,Qt使得初等矩阵的性质定理4.3

n阶方阵A可逆的充分必要条件是:它能表成有限个初等矩阵的乘积即证明必要性即令显然Qi仍为初等矩阵;故必要性得证.充分性由初等矩阵可逆及可逆矩阵的乘积仍可逆即证.由A可逆,那么A≌E.因此A经过有限次初等变换可变为E.因此存在初等矩阵P1,P2,…,Pl,Pl+1,…,Pt使得由定理4.3得因此有推论1可逆矩阵经过有限次行的初等变换可化为单位矩阵.推论2两个矩阵m

n矩阵A,B等价的充分必要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使得A=PBQ.推论3设A为mn矩阵,P,Q分别为m阶及n阶可逆矩阵,那么:R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ).即一个矩阵乘一个可逆矩阵后不改变秩.四用初等变换求逆矩阵利用初等变换求逆阵的方法：假设矩阵A可逆,那么存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pt使得因此说明:如果用有限次行的初等变换把可逆矩阵A化为单位矩阵,那么用同样的行初等变换作用与单位矩阵E,就可以得到A的逆矩阵A-1.从