数学(新高考Ⅰ卷02)-学易金卷2024年高考第一次模拟考试含答案

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷(选择题)A．54B．5C．2D．1A．RB．(-w,1)C．(1,2)D．(2,+w)3．某戏曲学院图书馆藏有四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本．若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取 ()A．25本B．30本C．35本D．40本气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)的关系A．103hB．93hC．83hD．63h5．如图，在DABC中，三BAC=，AD=3DB，P为CD上一点，且满足AP=AC=3，AB=4，则AP.CD的值为()A3B．3323D．2y=AsinOx的简单正弦型函数之和，这些正弦型函数各项的频率是最低频率的正整数倍(频率是指如，某小提琴演奏时发出声音对应的震动模型可以用如下函数表达：1称为第一泛音、第二泛音、第三泛音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+2sinOx(x仁R)(从左至右依次为第一泛音、第二泛音)，给出下列结论：4其中正确结论的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为23，高为3，截去该三棱柱的三个角(如图1所示，D，E，F分别是△A1B1C1三边的中点)，得到几何体如图2所示，则所得几何体外接球的表面积是()AA．20πB．25πC．29πD．32π171118339．如图，在棱长为9．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，则下列说法正确的是()1A．四面体A1EB1D1的体积为12一B．向量D1B在DC方向上的投影向量为DCC．直线A1E与直线BD1垂直D．直线A1E与平面BB1E所成角的正弦值为310．已知函数f(x)=ecosx-esinx，其中e是自然对数的底数，则下列说法中正确的有()A．f(x)为周期函数D．关于x的方程f(x)=e-1有实数解e5(1)若C=，求B；3于P,Q两点，则下列结论正确的是()A．抛物线C的准线方程为y=1B．直线AB与抛物线C相切C．OP.OQ为定值3D．BP.BQ>BA足2f(x)+f,(x)=2，则()A．函数F(x)=exf(x)为奇函数2第II卷(非选择题)16．已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A,B两点，连接AF并延长，交抛物nn．nn．18．(12分)已知DABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足=.b19．(12分)如图，ABCDA1B1C1D1是四棱柱，侧棱AA1」底面ABCD，底面ABCD是梯形，(1)求证：平面BDD1B1」平面ABB1A1；(2)E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点，是否存在点E使得DE与平面C1BD夹角的正弦值为4若存在，求点E到平面C1BD距离的最小值；若不存在，请说明理由．1720．(12分)已知函数f(x)=e3x1．x21．(12分)某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：度快慢200头打结完毕视为结束.(i)当n=3，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；(ii)求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为(ii)求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为P(K2>k)0.1000.0500.0250.010k6.635的垂直平分线交线段TG于点R，动点R的轨迹为曲线C．(2)M，N是曲线C上的两个动点，O为坐标原点，直线OM、ON的斜率分别为k1和k2，且2k1k2=，则△MON的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；3(3)设P为曲线C上任意一点，延长OP至Q，使OQ=3OP，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线l1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷(选择题)A．54B．5C．2D．1A．RB．(-w,1)C．(1,2)D．(2,+w)部戏曲产浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本．保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍()A．25本B．30本C．35本D．40本4．某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过该设备过滤后排放，以减少对空气染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)的关系为P(t)=P0e A．103hB．93hC．83hD．63hAA．20πB．25πC．29πD．32π171118339．如图，在棱长为1的正方体ABCD一A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，则下列说法正确的是()1A．四面体A1EB1D1的体积为12一B．向量D1B在DC方向上的投影向量为DCC．直线A1E与直线BD1垂直5D．直线A1E与平面BB1E所成角的正弦值为53A．f(x)为周期函数e两点，则下列结论正确的是()A．抛物线C的准线方程为y=1B．直线AB与抛物线C相切COP.OQ为定值3D．BP.BQ>BA22f(x)+f,(x)=2，则()ABCDD，AB=(1)求证：平面BDD1B1」平面ABB1A1；4(2)E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点，是否存在点E使得DE与平面C1BD夹角的正弦值为？17在，求点E到平面C1BD距离的最小值；若不存在，请说明理由．x21．(12分)某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：度快慢200毕视为结束.(i)当n=3，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；(ii)求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为(ii)求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为请在各题目的答题区域内作学第一次模拟考试____________________________________________________注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题违纪标记以上标记由监考人员用2B铅选择题填涂样例：确填涂错误填涂[×][√][／]18．(12分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)5[A][B][C][D]65[A][B][C][D]6[A][B][C][D]7[A][B][C][D]8[A][B][C][D]2[A][B][C][D]3[A][B][C][D]4[A][B][C][D]9[A][B][C][D]11[A][B][C][D]10[A][B][C][D]12[A][B][C][D]三、填空题(每小题5分，共20分)14．____________________四、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)区域内作一次模拟考试注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案违纪标记选择题填涂样例：正确填涂错误填涂[×][√][／]是符AB][C][D]2.[A][B][C][D]3.[A][B][C][D]4.[A][B][C][D].[A][B][C][D][A][B][C][D].[A][B][C][D].[A][B][C][D]目要9.[A][B][C][D]AB][C][D]AB][C][D]AB][C][D]13.________________14.________________15.________________16.________________17．(10分)18．(12分)19．(12分)20．(12分)第一次模拟考试I析1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷(选择题)A．54B．5【分析】根据复数除法运算结合共轭复数的概念即可.z=z=1-2i(1-2i)(1+2i)5，1-7i1+7i5055251-7i1+7i5055253．某戏曲学院图书馆藏有四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本．若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍 ()D【分析】根据题意，设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，由古典概型公式可得P=10+x>0.6，解x出x得出答案.【详解】解：设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，则购买后该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共(40+x)本，从中任取1本有(10+x)种取法，从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为P=，能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为P=，即该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍35本.PmgLth)的关系物减少到原来的10%还需要的时长大约为(参考数据：log25如2.322)()【分析】根据题中条件，可求得k=-ln0.8，则当P(t)=10%P0时，可求得t的值，即可得到答案.10【详解】因为经过10h过滤后减少了20%的污染物，10.10.故还需要大约93h.34323D．2【分析】由已知可得AP=mAC+AD，由三点共线有m33最后应用向量数量积的运算律求AP.CD即可.【详解】因为AD=3DB，所以AB=AD，3432因为C，P，D三点共线，所以m+=1，即m=23334416341634222形如y=AsinOx的简单正弦型函数之和，这些正弦型函数各项的频率是最低频率的正整数倍(频率是指单位时间内完成周期性变化的次数，是描述周期运动频繁程度的量)，其中频率最低的一项所代表的2如，某小提琴演奏时发出声音对应的震动模型可以用如下函数表达：1称为第一泛音、第二泛音、第三泛音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+2sinOx(x=R) (从左至右依次为第一泛音、第二泛音)，给出下列结论：4其中正确结论的个数有()【答案】A11112222221【详解】对于①，y=sinx的最小正周期为T=2π，故频率为，2π111由题意得y=sinOx的频率为人2=，故最小正周期为π，22ππ1因为y=sinx的最小正周期为T=2π，y=sinOx的最小正周期为π，211123323332322224222447．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为23，高为3，截去该三棱柱的三个角(如图1所示， ()【答案】A球的球心O在直线O1O2上，33217111833【答案】D【分析】先利用导数证明当x仁(0,)时，tanx>x>sinx，再分别利用作商，作差比较法可判断a，2【详解】先来证明当x仁(0,)时，tanx>x>sinx.2222222所所以当x(0,)时，tanx>x>sinx.213sinc311π11131711711111nsinab183186618618 ()1A．四面体A1EB1D1的体积为12BD1B在DC方向上的投影向量为DCC．直线A1E与直线BD1垂直D．直线A1E与平面BB1E所成角的正弦值为【答案】AB3积公式判断A；利用空间向量法判断BCD.2211111一2222所以BD1与A1E不垂直，即直线A1E与直线BD1不垂直，故错误；ABCDABCDACBDDBAC」平面BB1E，一一CA1E.n1210．已知函数f(x)=ecosx-esinx，其中e是自然对数的底数，则下列说法中正确的有()D．关于x的方程f(x)=e-1有实数解e4【答案】ABC【分析】根据函数的周期性、对称性、导数与单调性以及方程思想，可得答案.A22故选：ABC.于P,Q两点，则下列结论正确的是(A．抛物线C的准线方程为y=1)B．直线AB与抛物线C相切A【答案】ABDAA，代入方程待定系数，求出抛物线C方程，则得到准线方程；选项B，利用导数求出切线斜率，与直线AB斜率相同即可说明相切；选项C，设出直线AB表示，再代入韦达定理，结合判别式编>0得出的k2的范围，即可判断得出答案．【详解】对于A：因为点A(-2,-1)在抛物线C：x2=-2py(p>0)上，对于B：令f(x)=-x2，AAB斜率相同，对于C：由题意可知，直线PQ斜率存在，(y=kx+1联立方程〈2，消去y得：x2+4kx+4=0，lx=一4y (4)(4) (4)(4)222216所以BP.BQ>BA2，故D正确.故选：ABD．足2f(x)+f,(x)=2，则()A．函数F(x)=exf(x)为奇函数D．f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=4x【答案】ACAe2xf(x)一e2x=c,进而可求解f(x)=1，即可求解BD，根据二次函数的图象性质，即可求解C.所以f(x)=1，xxax1<a<x2,，又f(x)=1一ex为单调递增函数，所以由2f(x)+f,(x)=2得2f0+f,(0)=2亭f,(0)=2，所以f(x)在(0,0)处的切线方程为y=2x，D错第II卷(非选择题)x等式，即可解得实数a的取值范围.15．已知曲线f(x)=x与曲线g(x)=alnx(a仁R)相交，且在交点处有相同的切线，则a=.【答案】【答案】2【分析】可先设交点为P(x0,y0)，利用利用两函数在该点处的函数值和切线斜率相同列方程，可求a的值.x0alnx02xx设两曲线的交点为Px0,y0，fx1，gxax0，由题意：1a，2xx2x0x0两式相除得：2x0x0lnx0，∵x00，∴lnx02x0e2.e故答案为：216．已知抛物线C:x24y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A,B两点，连接AF并延长，交抛物【分析】由AB中点的纵坐标为AB1，可知AFBF2AB，又由余弦定理结合不等式可得理可得答案.【详解】由题可得抛物线焦点为0,1，准线为y1，则由抛物线定义可得AFBFy1y22，即AFBF1y1y2，22由题意可得AB中点的纵坐标为y1y2AB1，则AFBF2AB，2222cosAFB由余弦定理可得222cosAFB2AFBF3AF2BF22AFBF6AFBF2AF8AFBF8AFBFAF2BF2AFBF242AFBFBF1，223则cosAFB1，且AFB0,π，可得AFBπ，当且仅当AFBF取等号，23ABF三角形，AB//x轴，直线AD斜率为3或3，如图，设此时AD方程为y3x1，((|y=3x+1必要的文字说明、证明过程及验算步骤。(1)求数列{an}的通项公式；【答案】(2)1n2+2【分析】n2n．2 (2)利用分组求和法计算可得. 218．(12分)已知DABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,3(2)b63联立方程组得到c=3b，再由余弦定理求得cosB=，即可求解；32 (2)由(1)得到c2=b2+ab，求得a+c=c+c一1，结合三角形的边的关系，得到b想c想2b，设bbbbxb【详解】(1)解法一：因为=，由正弦定理得=，【详解】(1)解法一：因为=，由正弦定理得=，cb又因为C=π，由余弦定理得c2=a2+b2一2abcosπ，即c2=a2+b2一ab，33(c2=ab+b2lcababa2ab，即a=2b，所以c=3b，弦定理定理得cosB=2ac=43b2弦定理定理得cosB=2ac=43b2=2，因为B=(0,π)，所以B=π.6解法二：因为=，由正弦定理得=，解法二：因为=，由正弦定理得=，B因为0<B<2π，所以-π<2B-π<π，所以2B-π=0，所以B=π.33336 (2)由(1)知c2=b2+ab，可得a=c2-b2，且c>b，bbb2bbbb2bbb(1)求证：平面BDD1B1」平面ABB1A1；(2)E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点，是否存在点E使得DE与平面C1BD夹角的正弦值为4若存在，求点E到平面C1BD距离的最小值；若不存在，请说明理由．174(2)存在点E使得DE与平面C1BD夹角的正弦值为，点E到平面C1BD距离的最小值为1717平面BDD1B1」平面ABB1A1. (2)以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，设E(x,y,2)，求出DE和平面C1BD的法向量，令coscos即可求出E点坐标，然后由点到平面的距离公式向量表示d=BE一×n即可，根据式17|n|子即可求点到平面的最小值.【详解】(1)取AD中点F，连接BF，则AB=BC=CD=AF=DF=1，所以平面BDD1B1」平面ABB1A1 (2)以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，|ln.BC1=0la2b+2c=044因为DE与平面C1BD夹角的正弦值为，所以|cosn,DE|=，174y+24因为DE与平面C1BD夹角的正弦值为，所以|cosn,DE|=，174y+2420(12分)．已知函数f(x)=e3-x-1．x【分析】(1)求导，然后利用导函数的正负确定原函数的单调性；x2x2 (2)将f(x)>ax变形为e3-x-1>a，构造函数求e3-x-x2x2 (2)由f(x)>ax在(0,+w)上恒成立，即e3-x2-1>a在(0,+w)上恒成立，x121．(12分)某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：度快0慢200把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？Nn头打结完毕视为结束. (i)当n=3，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望； (ii)求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为 (ii)求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为n(ad一bc)2118P5P(K2>k)0.1000.0500.0250.010【答案】(1)有99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关23(2)(i)分布列见解析，；(ii)证明见解析【分析】(1)利用计算卡方进行检验即可； (2)(i)依题意，先得到X的所有可能取值，再依次求得对应的概率即可得解；(ii)利用分步计数原理，结合数列的累乘法与古典概型的概率公式即可得解.【详解】(1)依题意，完善22列联表如下，度快慢502009011010010099故有99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关. (2)(i)由题知，随机变量X的所有可能取值为1,2,3，33A3333A33A所以X的分布列为X1232aa82123 nnNan，an一1an一2a111nn!2n.n!2n.n!所以N(2n)!(2n)!.【点睛】关键点睛：本题第二小问第二步的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果.H的垂直平分线交线段TG于点R，动点R的轨迹为曲线C．k2k1k2=一，则△MON的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；3------(3)设P为曲线C上任意一点，延长OP至Q，使OQ=3OP，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线l320(3)83．【分析】(1)由已知得RT+RH=RT+RG=23>TH=2，动点R的轨迹为椭圆，待定系数法 (2)设M,N两点的坐标，表示出△MON的面积，利用椭圆的参数方程结合三角函数的运算，求△MON的面积. (3)求出点Q的轨迹方程曲线E，S△AQB=2S△AOB，分类讨论设直线方程，利用韦达定理表示SAOB，由直线与曲线C有交点确定参数范围，求面积最大值.【详解】(1)因为线段GH的中垂线交线段TG于点R，则RH=RG，所以，RT+RH=RT+RG=23>TH=2，ab所以曲线C的方程为x2+y2=132 yMxN一xMyNOM=xM2+yM2，N到直线OM的距离d=22，xM+yM112所以S△OMN=OM.d=yMxN一xM2另一方面，因为M，N是椭圆x2+y2=1上的动点，32222222 代入C：x2+y2=1得x2+y2=1，所以曲线E的方程为x2+y2=1.3227182718由OQ=3OP知S△AQP=2S△AOP，同理S△BQP=2S△BOP，：S△AQB=2S△AOB，m162k2(一m2+18+27k2)m2令m2=t，则t仁(0,1]，222322232323综合①②得AOB面积的最大值为43，所以AQB面积的最大值为83．第I卷(选择题)66A7A8D4B2C3C1C5CABDABCAC9AB第II卷(非选择题)2222(2)利用分组求和法计算可得.21-22266【详解】(1)解法一：因为=，由正弦定理得=，……………1分sinA【详解】(1)解法一：因为=，由正弦定理得=，……………1分sinBsinCbb+cbcababcoscabab33由余弦定理定理得cosB=2ac=43b2=2，由余弦定理定理得cosB=2ac=43b2=2，………………5分BB…………6分6解法二：因为=，由正弦定理得=，…………1分解法二：因为=，由正弦定理得=，…………1分33336(2)由(1)知c2=b2+ab，可得a=c2-b2，且c>b，bbb2bbbb2bbbb4的最小值为17【详解】(1)取AD中点F，连接BF，则AB=BC=CD=AF=DF=1，所以四边形BCDF是菱形，△ABF是正三角形，D因为AA1」底面ABCD，BD仁平面ABCD，所以AA1」BD，……………3分又因为AA1仁平面ABB1A1，AB仁平面ABB1A1，AA1nAB=A，所以BD」平面ABB1A1，因为BD仁平面BDD1B1，………4分所以平面BDD1B1」平面ABB1A1………5分(2)以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，44因为DE与平面C因为DE与平面C1BD夹角的正弦值为，所以|cosn,DE|=，……9分17所以当x=3时，点E到平面C1BD距离的最小，最小值为d=17………………12分 (2)由f(x)>ax在(0,+w)上恒成立，即e3-x2-1>a在(0,+w)上恒成立，…5分x所以X的分布列为所以g(x)min=g(2e32)=e3(2e32)1所以a4(1e3).……………12分【答案】(1)有99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关23(2)(i)分布列见解析，；(ii)证明见解析【详解】(1)依题意，完善22列联表如下，度慢0200快5………………1分所以K2=200(65553545)2=800必8.08>6.635.…………………2分90110100