数学选修2-3排列组合

2016年12月31日烟火狸的高中数学组卷一．选择题〔共21小题〕1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为〔〕A．42 B．96 C．48 D．1242．某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且假设甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为〔〕A．1860 B．1320 C．1140 D．10203．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且假设甲乙同时参加，那么他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为〔〕A．360 B．520 C．600 D．7204．一个五位自然，ai∈{0，1，2，3，4，5}，i=1，2，3，4，5，当且仅当a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5时称为“凹数”〔如32014，53134等〕，那么满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为〔〕A．110 B．137 C．145 D．1465．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，那么不同的排法有〔〕A．240种 B．192种 C．120种 D．96种6．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的个数有〔〕A．600 B．464 C．300 D．2107．当行驶的6辆军车行驶至A处时，接上级紧急通知，这6辆军车需立即沿B、C两路分开纵队行驶，要求B、C每路至少2辆但不多于4辆．那么这6辆军车不同的分开行驶方案总数是〔〕A．50 B．1440 C．720 D．21608．为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食平安战略部署，农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者得悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上．山东省某种植基地对编号分别为1，2，3，4，5，6的六种不同品种在同一块田地上进行比照试验，其中编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，那么不同的种植方法的种数为〔〕A．432 B．456 C．534 D．7209．某年数学竞赛请来一位来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个乖僻的习惯：先从最后一题〔第10题〕开始往前看，但凡遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过〔允许跳过所有的题目〕，一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，但凡遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目那么跳过〔例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题〕，这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，那么n的值为〔〕A．512 B．511 C．1024 D．102310．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，那么有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有〔〕A．种 B．种C．种 D．种11．如下图2×2方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中的任何一个，允许重复．假设填入A方格的数字大于B方格的数字，那么不同的填法共有〔〕ABCDA．192种 B．128种 C．96种 D．12种12．4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的放法种数为〔〕A． B．C． D．13．对于任意正整数n，定义“n!!”如下：当n是偶数时，n!!=n•〔n﹣2〕•〔n﹣4〕…•6•4•2，当n是奇数时，n!!=n•〔n﹣2〕•〔n﹣4〕…•5•3•1现在有如下四个命题：①〔2003！！〕•〔2002！！〕=2003×2002×…×3×2×1；②2002!!=21001×1001×1000×…×3×2×；③2002!!的个位数是0；④2003!!的个位数是5．其中正确的命题有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，那么不同的分配方案有〔〕种．A．A B．CCC34C．43 D．CCC4315．高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，那么不同的安排方案种数为〔〕A．36 B．24 C．18 D．1216．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2…9的9个小正方形，使得任意相邻〔有公共边〕的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，那么符合条件的所有涂法共有〔〕种123456789A．18 B．36 C．72 D．10817．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，假设7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，那么不同的安排方案共有〔〕A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种18．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai〔i=1，2，…，6〕，假设a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，那么不同的排列方法种数为〔〕A．18 B．30 C．36 D．4819．高三〔一〕班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是〔〕A．1800 B．3600 C．4320 D．504020．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有〔〕A．60个 B．48个 C．36个 D．24个21．组合数Cnr〔n＞r≥1，n、r∈Z〕恒等于〔〕A． B．〔n+1〕〔r+1〕C．nr D．二．解答题〔共1小题〕22．规定，其中x∈R，m是正整数，且CX0=1．这是组合数Cnm〔n，m是正整数，且m≤n〕的一种推广．〔1〕求C﹣153的值；〔2〕组合数的两个性质：①Cnm=Cnn﹣m；②Cnm+Cnm﹣1=Cn+1m是否都能推广到Cxm〔x∈R，m∈N*〕的情形？假设能推广，请写出推广的形式并给予证明；假设不能请说明理由．〔3〕组合数Cnm是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cxm∈Z．

2016年12月31日烟火狸的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共21小题〕1．〔2003•北京〕某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为〔〕A．42 B．96 C．48 D．124【分析】方法一：分2种情况：〔1〕增加的两个新节目相连，〔2〕增加的两个新节目不相连；方法二：7个节目的全排列为A77，两个新节目插入原节目单中后，原节目的顺序不变，故不同插法：．【解答】解：方法一：分2种情况：〔1〕增加的两个新节目相连，〔2〕增加的两个新节目不相连；故不同插法的种数为A61A22+A62=42．方法二：7个节目的全排列为A77，两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为，应选A．【点评】此题考查排列及排列数公式的应用．2．〔2016•绵阳校级模拟〕某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且假设甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为〔〕A．1860 B．1320 C．1140 D．1020【分析】分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，假设只有甲乙其中一人参加，有C21•C63•A44=960种情况；假设甲乙两人都参加，有C22•C62•A44=360种情况，其中甲乙相邻的有C22•C62•A33•A22=180种情况；那么不同的发言顺序种数960+360﹣180=1140种．应选C．【点评】此题考查排列、组合知识，考查计数原理，利用加法原理，正确分类是关键．3．〔2016•衡水模拟〕某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且假设甲乙同时参加，那么他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为〔〕A．360 B．520 C．600 D．720【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，假设只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A44=480种情况；假设甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；那么不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，应选C．【点评】此题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．4．〔2016•吉林校级二模〕一个五位自然，ai∈{0，1，2，3，4，5}，i=1，2，3，4，5，当且仅当a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5时称为“凹数”〔如32014，53134等〕，那么满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为〔〕A．110 B．137 C．145 D．146【分析】此题是一个分类计数问题，数字中a3的值最小是0，最大是3，因此需要把a3的值进行讨论，两边选出数字就可以，没有排列，写出所有的结果相加．【解答】解：由题意知此题是一个分类计数问题，数字中a3的值最小是0，最大是3，因此需要把a3的值进行讨论，当a3=0时，前面两位数字可以从其余5个数中选，有=10种结果，后面两位需要从其余5个数中选，有C52=10种结果，共有10×10=100种结果，当a3=1时，前面两位数字可以从其余4个数中选，有6种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有6种结果，共有36种结果，当a3=2时，前面两位数字可以从其余3个数中选，有3种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有3种结果，共有9种结果，当a3=3时，前面两位数字可以从其余2个数中选，有1种结果，后面两位需要从其余2个数中选，有1种结果，共有1种结果，根据分类计数原理知共有100+36+9+1=146．应选D．【点评】此题考查分类计数问题，考查利用列举得到所有的满足条件的结果数，此题要注意在确定中间一个数字后，两边的数字只要选出数字，顺序就自然形成，不用排列．5．〔2016•丰城市校级二模〕七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，那么不同的排法有〔〕A．240种 B．192种 C．120种 D．96种【分析】利用甲必须站正中间，先安排甲，甲的两边，每边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数．【解答】解：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41×A22种站法，余下三人站右侧，有A33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A22×C41×A22×A33=192，应选：B．【点评】此题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是理解题中所研究的事件，并正确确定安排的先后顺序，此类排列问题一般是谁最特殊先安排谁，俗称特殊元素特殊位置优先的原那么．6．〔2016•南充三模〕由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的个数有〔〕A．600 B．464 C．300 D．210【分析】根据题意，按照个位数字的可能情况，分个位数字分别为0，1，2，3，4时进行讨论，分别求出每种情况下六位数的个数，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分5种情况讨论：①个位数为0，十位数必然比个位数字大，将剩下的5个数字全排列即可，那么有A55个符合条件的六位数；②个位数为1，十位数可为2、3、4、5，有A41种情况，首位数字不能为0，在剩余的3个数字中选1个，有A31种情况，将剩下的3个数字全排列，安排在其他3个数位上，有A33种情况，故有A41•A31•A33个符合条件的六位数；③个位数为2，十位数为3、4、5，有A31种情况，首位数字不能为0，在剩余的3个数字中选1个，有A31种情况，将剩下的3个数字全排列，安排在其他3个数位上，有A33种情况，故有A31•A31•A33个符合条件的六位数；④个位数为3，十位数为4、5，有A21种情况，首位数字不能为0，在剩余的3个数字中选1个，有A31种情况，将剩下的3个数字全排列，安排在其他3个数位上，有A33种情况，故有A21•A31•A33个符合条件的六位数；⑤个位数为4，十位数为5，有1种情况，首位数字不能为0，在剩余的3个数字中选1个，有A31种情况，将剩下的3个数字全排列，安排在其他3个数位上，有A33种情况，故有A31•A33个符合条件的六位数．所以共有A55+A31•A33〔A41+A31+A21+1〕=300个符合条件的六位数；应选：C．【点评】此题考查排列、组合的运用，涉及分类讨论的运用，注意分类讨论时按照一定的顺序，做到不重不漏．7．〔2016•达州模拟〕当行驶的6辆军车行驶至A处时，接上级紧急通知，这6辆军车需立即沿B、C两路分开纵队行驶，要求B、C每路至少2辆但不多于4辆．那么这6辆军车不同的分开行驶方案总数是〔〕A．50 B．1440 C．720 D．2160【分析】确定B、C两路军车的量数类型，然后求解这6辆军车不同的分开行驶方案总数．【解答】解：由题意可知B、C两路军车的量数类型有2、4；3、3；4、2；三种类型．由于军车互不相同，排列是有顺序的，2、4；4、2；类型的结果都是：A62A44．3、3类型的结果为：A63A33．那么这6辆军车不同的分开行驶方案总数是：2A62A44+A63A33=2160．应选：D．【点评】此题考查排列组合的实际应用，考查分析问题解决问题的能力．8．〔2016•山东二模〕为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食平安战略部署，农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者得悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上．山东省某种植基地对编号分别为1，2，3，4，5，6的六种不同品种在同一块田地上进行比照试验，其中编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，那么不同的种植方法的种数为〔〕A．432 B．456 C．534 D．720【分析】先分别求出2，4，6插入到1，3，5的所形成的空中，再排除2，4，6都在1，3，5的所形成的空中，问题得以解决．【解答】解：第一类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把2号品种，插入到中间空中，再把4号插入到1，2，3，5，所形成的4个空的中的一个，然后把6号再插入到其中，故有A32A22A41A51=240种，第二类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把4或6号，插入到中间空中，再把剩下的一个插入到所形成的4个空的中的一个，然后把2号插入前面所成的3个空〔不包含两端〕的1个，故有A32A22A21A41A31=288种，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个排列，把2，4，6号捆绑在一起并插入到其中，有A32A22A33=72种，故编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，那么不同的种植方法的种数为240+288﹣72=456种，应选：B．【点评】此题考查了排列中的相邻问题和不相邻问题，关键是优先安排特殊元素，属于中档题．9．〔2016•上海模拟〕某年数学竞赛请来一位来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个乖僻的习惯：先从最后一题〔第10题〕开始往前看，但凡遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过〔允许跳过所有的题目〕，一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，但凡遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目那么跳过〔例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题〕，这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，那么n的值为〔〕A．512 B．511 C．1024 D．1023【分析】由于每道题的都有两种情况，答或者不答，故根据分步计数原理可得．【解答】解：每道题的都有两种情况，答或者不答，从10﹣9，有两种选择，从9﹣8也有两种选择，以此类推8﹣7，7﹣6，6﹣5，5﹣4，4﹣3，3﹣2，2﹣1，而从1题到第10道题只有一种选择，故有1×29=512种，应选：A．【点评】此题考查了分步计数原理，关键是理解题意，属于中档题．10．〔2016•威海一模〕某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，那么有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有〔〕A．种 B．种C．种 D．种【分析】确定参观甲博物馆的年级有种情况，其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，根据乘法原理可得结论．【解答】解：因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有种情况，其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，根据乘法原理可得×54种情况，应选：D．【点评】此题考查排列组合知识的运用，考查乘法原理，比拟根底．11．〔2016•洛阳二模〕如下图2×2方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中的任何一个，允许重复．假设填入A方格的数字大于B方格的数字，那么不同的填法共有〔〕ABCDA．192种 B．128种 C．96种 D．12种【分析】根据题意，先分析A、B两个方格，由于其大小有序，那么可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，那么共有4×4=16种情况，那么不同的填法共有16×6=96种，应选C．【点评】此题考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点．12．〔2016春•平凉校级期末〕4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的放法种数为〔〕A． B．C． D．【分析】正确把4个不同的小球分成三份，再把这不同的三份全排列，利用乘法原理即可得出．【解答】解：把4个不同的小球分成三份有=这些不同的分法，再把这不同的三份全排列有种方法．根据乘法原理可得：4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的放法种数为．应选A．【点评】正确理解排列、组合及乘法原理的意义是解题的关键．13．〔2014春•吉州区校级期中〕对于任意正整数n，定义“n!!”如下：当n是偶数时，n!!=n•〔n﹣2〕•〔n﹣4〕…•6•4•2，当n是奇数时，n!!=n•〔n﹣2〕•〔n﹣4〕…•5•3•1现在有如下四个命题：①〔2003！！〕•〔2002！！〕=2003×2002×…×3×2×1；②2002!!=21001×1001×1000×…×3×2×；③2002!!的个位数是0；④2003!!的个位数是5．其中正确的命题有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用双阶乘的定义判断各个命题是解决该题的关键．关键要理解好双阶乘的定义，把握好双阶乘是哪些数的连乘积．【解答】解：①中〔2003!!〕〔2002!!〕=2003×2002×…×4×2×2009×2007×…×3×1，正确；②2002!!=2002×2000×…×4×2=〔2×1001〕×〔2×1000〕×…×〔2×2〕×〔2×1〕=21001×1001×1000×…×2×1，故②正确，③2002!!=2002×2000×…×4×2有因式10，故2002!!个位数为0，③正确；④2003!!=2003×2001×…×3×1，其个位数字与1×3×5×7×9的个位数字相同，故为5，④正确．正确的有4个．应选D．【点评】此题考查新定义型问题的求解思路与方法，考查新定义型问题的理解与转化方法，表达了数学中的转化与化归的思想方法．注意与学过知识间的联系．14．〔2016•赤峰模拟〕数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，那么不同的分配方案有〔〕种．A．A B．CCC34C．43 D．CCC43【分析】先分组，再分配，最后选组长，根据分步计数原理可得．【解答】解：将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题有C123C93C63C33，最后选一名组长各有3种，故不同的分配方案为：C123C93C6334，应选：B．【点评】此题考查排列、组合的应用，分组分配问题，进行分组分析时要特别注意是否为平均分组，属于中档题．15．〔2016•湖南模拟〕高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，那么不同的安排方案种数为〔〕A．36 B．24 C．18 D．12【分析】由题意，先安排第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最后一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，问题得以解决【解答】解：先安排第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最后一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，故甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，那么不同的安排方案种数为=36种．应选：A【点评】此题考查了分步计数原理，关键是如何分步，特殊位置优先安排的原那么，属于根底题16．〔2016•银川校级一模〕用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2…9的9个小正方形，使得任意相邻〔有公共边〕的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，那么符合条件的所有涂法共有〔〕种123456789A．18 B．36 C．72 D．108【分析】分析图形中的3，5，7，有3种可能，当3，5，7，为其中一种颜色时，共6种可能，即可得出结论【解答】解：首先看图形中的3，5，7，有3种可能，当3，5，7，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能，共6种可能．4，8及9，与2，6及1，一样有6种可能并且与2，6，1，颜色无关．当3，5，7换其他的颜色时也是相同的情况符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种，应选：D．【点评】此题是一个排列组合的应用，考查分别计数原理，考查分类原理，是一个限制元素比拟多的题目，解题时注意分类，做到不重不漏，属于中档题．17．〔2010•重庆〕某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，假设7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，那么不同的安排方案共有〔〕A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种【分析】此题的要求比拟多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两者之间有一个排列，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，那么可以甲乙排1、2号或6、7号，或是甲乙排中间，丙排7号或不排7号，根据分类原理得到结果．【解答】解：分两类：第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2×种，然后排丁，有种，剩下其他四个人全排列有种，因此共有2×A22A41A44=384种方法第二类：甲乙相邻排中间，假设丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，那么有4×种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有种，假设丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，那么有4×种，然后排丙，丙不再1号和7号，有种，接着排丁，丁不排在10月7日，有种，剩下3个人全排列，有种，因此共有〔4A22A44