2023年中考数学一轮练习 图形的平移、折叠和旋转(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习一一图形的平移、折叠和旋

转1

一、单选题（本大题共10小题）

1.（湖南省永州市2022年）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人

民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（）

A爱B我,中0华

3.（湖南省益阳市2022年）如图，已知AABC中，ZCAB=20°,ZABC=30°,将

△ABC绕A点逆时针旋转50。得到以下结论：①BC=BC,②AC〃。夕，

③C'B'_LBB',©ZABB'^ZACC,正确的有（）

4.（2022年西藏）如图，在菱形纸片ABC。中，E是BC边上一点,将/A8E沿直线

AE翻折，使点8落在？上，连接已知，C=120。，^BAE=50°,则N4D9的度

数为（）

5.（2022年西藏）下列图形中是轴对称图形的是（)

B.

6.（黑龙江省大庆市2022年）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落

在E处.若Nl=56。，N2=42。，则ZA的度数为（）

C.110°D.Ill0

7.（广东省河源市2021）下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

8.（辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的

9.（江苏省无锡市2022年）雪花、风车.…展示着中心对称的美，利用中心对称，可

以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称

图形的为（）

A.扇形B.平行四边形C.等边三角形D.矩形

10.（江苏省扬州市2022年）如图，在AABC中，AB<AC,将,ABC以点A为中心逆

时针旋转得到,ADE,点。在3C边上，DE交AC于点F.下列结论：①

AAFEADFC；②D4平分/瓦坦；③NCDF=NBAD,其中所有正确结论的序号是

（）

A

E

/\

BDC

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空题（本大题共6小题）

11.（湖南省湘西州2022年）在平面直角坐标系中，已知点尸（-3,5）与点。（3,m

-2）关于原点对称，则机=.

12.（湖南省益阳市2022年）如图，将边长为3的正方形A3CD沿其对角线AC平移，

使A的对应点4满足A4=|AC,则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是

B,C

13.（湖北省仙桃2021）在平面直角坐标系中，点A（a,2）与点B（6,b）关于原点

对称，则ab=___.

14.（湖南省永州市2022年）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A为网格

线的交点.若线段绕原点。顺时针旋转90。后，端点A的坐标变为.

15.（辽宁省盘锦市2022年）如图，四边形ABC。为矩形，AB=四,AD=3,点、E为边

BC上一点，将，OCE沿DE翻折，点C的对应点为点凡过点尸作DE的平行线交AD

于点G,交直线3C于点H.若点G是边AZ）的三等分点，则尸G的长是.

16.（黑龙江省大庆市2022年）如图，正方形ABCD中，点E,尸分别是边A3,3C上的

两个动点，且正方形ABCD的周长是BE万周长的2倍，连接9分别与对角线

AC交于点M,N.给出如下几个结论：①若AE=2,C尸=3,则旅=4；②

MN

/EFN+NEMN=180°；③若AM=2,CN=3,贝|MV=4；④若——=2,BE=3,贝|

AM

EF=4.其中正确结论的序号为.

三、解答题（本大题共7小题）

17.（湖南省湘潭市2022年）如图，在平面直角坐标系中，己知ABC的三个顶点的坐

标分别为A（-M）,8（-4,0）,C（-2,2）.将ABC绕原点。顺时针旋转90。后得到

⑴请写出4、耳、C]三点的坐标：A,,B,,C]

(2)求点8旋转到点与的弧长.

18.(江苏省无锡市2022年)如图，已知四边形ABC。为矩形42=20,BC=4,点E

在BC上，CE=AE,将△ABC沿AC翻折到△AEC,连接E?

(1)求E下的长;

(2)求sin/CEP的值.

19.(江苏省常州市2022年)如图，点A在射线OX上，OA=a.如果。4绕点0按逆时

针方向旋转«°(O<n<360)到OA,那么点4的位置可以用(a,/°)表示.

(1)按上述表示方法，若。=3,a=37,则点4的位置可以表示为

(2)在(1)的条件下，已知点2的位置用(3,74。)表示，连接A'A、A'B.求证：

AA=AB.

20.(吉林省2022年)图①，图②均是4x4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格

点.其中点A,B,C均在格点上.请在给定的网格中按要求画四边形.

图①图②

(1)在图①中，找一格点。，使以点A,B,C,。为顶点的四边形是轴对称图形；

(2)在图②中，找一格点E，使以点A,B,C,E为顶点的四边形是中心对称图形.

21.(辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年)在ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,线段A8绕点

A逆时针旋转至A。(AD不与AC重合)，旋转角记为a,/DAC的平分线AE与射线

6。相交于点E,连接EC.

AA

图①图②备用图

(1)如图①，当夕=20。时，NA£B的度数是；

(2)如图②，当0。＜夕＜90。时，求证：BD+2CE=eAE;

⑶当0。＜。＜180。,4?=2庭时，请直接写出些的值.

ED

22.(湖北省荆州市2022年)如图1,在矩形ABC。中，AB=4,A0=3,点。是边A3

上一个动点(不与点A重合)，连接。。，将沿折叠，得到△。££)；再以

。为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线于G,连接AE并延长交射线BC于乩

连接EG,设OA=x.

DCD

(1)求证：是半圆。的切线；

(2)当点£落在2。上时，求x的值；

(3)当点E落在2。下方时，设△AGE与△面积的比值为y,确定y与x之间的函

数关系式；

(4)自谈可比：当半圆。与△BCD的边有两个交点时，尤的取值范围.

23.(江西省2022年)问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问

题：将足够大的直角三角板尸砂(4=90。,4=60。)的一个顶点放在正方形中心O

处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板P印与正方形ABCD重叠部分的面积变化

情况(已知正方形边长为2).

图一图二图三备用图

(1)操作发现：如图1,若将三角板的顶点尸放在点。处，在旋转过程中，当。尸与。8

重合时，重叠部分的面积为;当。尸与2C垂直时，重叠部分的面积为;一般

地，若正方形面积为S,在旋转过程中，重叠部分的面积H与S的关系为：

(2)类比探究：若将三角板的顶点厂放在点。处，在旋转过程中，分别与正方

形的边相交于点N.

①如图2,当=时，试判断重叠部分OMN的形状，并说明理由；

②如图3,当CM=C7V时，求重叠部分四边形OMCN的面积(结果保留根号)；

(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心。处，该锐角记为/GOH(设

ZGOH=a),将NG。“绕点。逆时针旋转，在旋转过程中，NGQH的两边与正方形

ABCD的边所围成的图形的面积为其，请直接写出其的最小值与最大值(分别用含a

的式子表示)，

(参考数据：sin15°=,cos15°=+,tan15°=2-)

44

参考答案

L【答案】A

【分析】根据中心对称图形的定义判断即可；

【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原

来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；

...是中心对称图形的是：①②③；

故选：A.

【点睛】本题主要考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关

键.

2.【答案】C

【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，故此选项符合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直

线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

3.【答案】B

【分析】根据旋转的性质可得，BC=BC,NCN夕=NCA3=20。，ZAB'C'^ZABC

=30。，再根据旋转角的度数为50。，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即

可.

【详解】解：①:△ABC绕A点逆时针旋转50。得到"方。，

：.BC=B'C.故①正确；

②；△43(?绕A点逆时针旋转50°,

^BAB'=50°.

,：ZCAB=20°,

：.ZB'AC=ZBAB'-ZCAB=30°.

'：ZAB'C'^ZABC^30°,

：.ZAB'C'=ZB'AC.

：.AC//C'B'.故②正确；

③在△BAB'中，AB^AB',ZBAB'^50°,

：.ZAB'B^ZABB'^~(180°-50°)=65°.

NBBC=ZAB'B+ZAB'C=65°+30°=95°.

与B夕不垂直.故③不正确；

④在AACC中，

AC^AC,NCAC=50。，

/ACC=?(180°-50°)=65。.

AZABB'^ZACC.故④正确.

①②④这三个结论正确.

故选：B.

【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的

形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识.熟练掌握旋

转的性质是解题的关键.

4.【答案】C

【分析】由翻折的性质知AB'=AB,再由菱形的性质得

ZBAD=120°,AB'=AD,最后利用三角形内角和定理可得答案.

【详解】解：：四边形ABC。是菱形，ZC=120°,

ZBAD=ZC=nO°,AB=AD,

:将AABE沿直线AE翻折，使点2落在"上，

/.ZBAE=ZB'AE=5Q°,AB'=AB,

：.XBAB=100°,AB'=AD,

：.ZDAB'=20°,

ZAB'D=ZADB'=(180°-20°)4-2=80°,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，求出

NZM夕=20。是解题的关键.

5.【答案】B

【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断.如果一个图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【详解】解：A,C,D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线

折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，所以是轴对称图形；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形

两部分折叠后可重合.

6.【答案】C

【分析】

先根据平行四边形的性质，得出他CD,根据平行线的性质，得出

NASE=/1=56。，根据折叠得出/ABO=g/A8E=28。，根据三角形内角和得出/A的

度数即可.

【详解】

解：：四边形ABC。为平行四边形，

ABCD,

:.ZABE=Z1=56°,

根据折叠可知，ZABD=ZEBD,

：.ZABD=-/ABE=1x56°=28°,

22

22=42。，

AZA=180O-ZABD-Z2=110°,故C正确.

故选：C.

7.【答案】D

【分析】

根据中心对称图形和轴对称图形的定义，即可求解.在平面内，如果一个图形沿一条

直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，

如果把一个图形绕某个点旋转180。后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对

称图形.

【详解】

解：A、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B＞是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

。、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：D.

8.【答案】D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可.

【详解】

A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；

C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：D.

9.【答案】B

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】

解：A^扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

10.【答案】D

【分析】

根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解.

【详解】

解：•.•将ABC以点A为中心逆时针旋转得到，ADE,

/.ADE^ABC,

:.NE=NC,

ZAFE=ZDFC,

•••AAFEADFC,故①正确；

ADEqABC,

,'.AB=AD>

:.ZABD=ZADB,

ZADE=ZABC,

:.ZADB=ZADE,

DA平分NBDE,故②正确；

ADE^ABC,

:.NBAC=NDAE,

:.ZBAD^ZCAE,

AAFEADFC,

:.NCAE=NCDF,

:./CDF=/BAD,

故③正确

故选D

11.【答案】—3

【分析】平面直角坐标系中任意一点尸（尤，y）,关于原点的对称点是（-x,-

y）,即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数.

【详解】解：根据P、Q两点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，

m—2=-5,

/.m=-3,

故答案为：-3.

【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相

反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键.

12.【答案】4

【分析】由正方形边长为3,可求AC=3&,则A4=（AC=0,由平移可得重叠

部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积.

【详解】解：•••正方形ABC。的边长为3,

:.AC=3叵,

.,.A4=：AC=&,

；.4C=2后，

由题意可得重叠部分是正方形，

.••重叠部分的正方形的边长为也x2夜=2,

2

S重叠部分=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了正方形的性质，平移的性质，关键是灵活运用这些性质解决问

题.

13.【答案】12

【分析】

根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即可求出a和b的

值，从而求出结论.

【详解】

解：：点A（a,2）与点B（6,b）关于原点对称，

a=-6,b=-2

ab=12

故答案为：12.

14.【答案】（2,-2）

【分析】根据题意作出旋转后的图形，然后读出坐标系中点的坐标即可.

【详解】解：线段OA绕原点。顺时针旋转90。后的位置如图所示，

，旋转后的点A的坐标为（2,-2）,

故答案为：（2,-2）.

【点睛】题目主要考查图形的旋转，点的坐标，理解题意，作出旋转后的图形读出点

的坐标是解题关键.

15.【答案】且或逅

33

【分析】

过点E作于点M,根据题意可得四边形HEDG是平行四边形，证明

HE=FE,等面积法求得ME,勾股定理求得可得的长，进而即可求解.

【详解】

••・四边形血）G是平行四边形

:.HE=GD=-AD^l

3

折叠

ZFED=Z.CED

NMED=90。

即ZFEM+ZFED^90°

:.ZCED+ZHEM^90°

:.ZHEM=ZFEM

ZEMF=ZEMH=90°,ME=ME

HEM冬FEM

:.HM=MF,EF=HE=1

；.EF=EC=\

四边形ABCD是矩形

:.ZC=90°,DC=AB=y/2

RtEDC中，DE=dDC、EC。=J（拒）Hl2=73

GH=DE=6

ME1HG,HG//DE

S=—MEDE=S=—DCEC

DntFLFrxD匕CnFrx

DCxECV2xl_76

ME=

DE

RtHME中,HMHE2-ME2

:.FG=HG-HF=HG-2HM=j3--^=—

33

②如图，当AG=；AO=1时,

同理可得〃E=GO=AD—AG=3—1=2,

EC=EF=HE=2,

:.DE=J?+（何=瓜,

:.FG=HF-HG=2HM-HG=^--y/6=—

33

故答案为：旦或显

33

16.【答案】②

【分析】

根据已知条件可得EF=AE+R7,即可判断①，进而推出ZEZ星=45。导角可得②正

确，作。G_LE产于点G,连接GM,GN,证明GMN是直角三角形,勾股定理验证

③，证明/3E尸=NMNG=30。，即可判断④求解.

【详解】

解：：正方形ABCD的周长是£麻户周长的2倍，

BE+BF+EF^AB+BC,

EF=AE+FC,

①若AE=2,C尸=3,则所=5,故①不正确；

如图，在54的延长线上取点H,使得AH=CF,

//

四边形A5CD是正方形，

/.ADAH=ZDAE=ZDCF=90°,AD=CD,

...ADH缘CDF,

:.ZCDF=ZADH,HD=DF,/H=/DFC,

EF=AE+CF=AE+AH=EH,DE=DE,

,DHE^DFE(SSS),

:.ZHDE=ZFDE,/H=/EFD,ZHED=/FED,

ZCDF+ZADF=ZADH+ZADF=ZHDF=90°,

..ZEDF=ZHDE=45°f

ZH=ZDFC=ZDFEf

NEMN=ZHED+NEAM=45。+ZDEF,

AEFN+AEMN=ZDFC+45O+ZDEF=ZDFC+ZEDF+ZDEF=180。

即NE7W+NEMN=18O。，故②正确；

如图，作于点G,连接GM,GN,

则NDGE=Nn4E=90。，

ZAED=NGED,DE=DE,

AED^GED,

同理可得GDFgCDF,

AG=DG=CF,ZADE=ZGDE,ZGDF=ZCDF,

二•AG关于。E对称轴，C,G关于。产对称，

:.GM=AM,GN=CN,

NEGM=ZEAM=45。,/NGF=/NCF=45°,

ZMGN=180。—45°-45°=90°,

/.GMN是直角三角形，

③若AM=2,C7V=3,

GM=2,GN=3,

:.MN=[MG+GN2=店"故③不正确,

MG=AM,

若端=2，BE=3,

即sinZMNG=­=~,

MN2

.\ZMNG=30°,

/EFN+/EMN=180。,Z£W+zWE=180°,

又/CFN=/EFN,

:.ZAME=ZCFN,

:.2ZAEM=2/CFN,

即NWG:NCFG,

:"GMN=/BFE,

:"BEF=ZMNG=30°,

cosZBEF=—=cosZGNM=cos30°=—,

EF2

BE=3,

EF==273,

V3

故④不正确.

故答案为：②.

17.【答案】⑴(1,1)；(0,4)；(2,2)

⑵27r

【分析】

(1)将AA3C绕着点。按顺时针方向旋转90。得到点4,Bi,C的坐标

即为点A,B,C绕着点。按顺时针方向旋转90。得到的点，由此可得出结果.

(2)由图知点B旋转到点片的弧长所对的圆心角是90。，OB=4,根据弧长公式即可

计算求出.

(1)

解：将△ABC绕着点。按顺时针方向旋转90。得到△A/8/C/,点4,Bi,。的坐标即

为点A,B,C绕着点。按顺时针方向旋转90。得到的点，

所以A/(1,1)；Bi(0,4)；Ci(2,2)

(2)

解：由图知点B旋转到点片的弧长所对的圆心角是90度，。2=4,

90

点3旋转到点B、的弧长=石式%x4=2兀

180

18.【答案】(1)旧

⑵g取

【分析】

⑴先由R/AABE可求得AE的长度，再由角度关系可得NE4E=90,即可求得所的长;

(2)过F作EWLCE于利用勾股定理列方程，即可求出现f的长度，同时求出

的长度，得出答案.

(1)

设BE=x,贝UEC=4—x,

AE=EC=4—x,

222

在mAABE中，AB-^-BE=AE,

/.(2A/2)2+X2=(4-.X)2,

••X-1?

***BE=1,AE=CE=3,

,:AE=EC,

：.Z1=Z2,

*.*ABC=90,

ZG4B=90-/2,

・•・ZG4B=90-Zb

由折叠可知^FAC=ABAC,

AZFAC=ZCAB=90-Zl,AF=AB=2①,

ZMC+Z1=9O,

ZFAE=90,

(2)

过尸作/M_LBC于M,

：.ZFME=ZFMC=9Q°,

设EAf=a，则EC=3-a,

在RNFME中，FM2=FE2-EM2,

在RiFMC中，FM2=FC2-MC2，

FE2-EM-=FC2-MC2,

：.(5/17)2-a2=42-(3-fl)2,

a=—,

3

19.1答案］(1)(3,37°)

(2)见解析

【分析】

(1)根据点的位置定义，即可得出答案；

(2)画出图形，证明△A04也ABOA，(SAS),即可由全等三角形的性质，得出结

论.

(1)

解：由题意，得4(。,〃°),

'."a=3,n=37,

.,.A<3,37。)，

故答案为：(3,37。)；

(2)

证明：如图，

：A(3,37。)，8(3,74。)，

ZAOA'=37°,NAOB=74。，OA=OB=3,

：.ZA'0B=ZA0B-ZA0A'=14°-31o=31°,

：04=04,

AAAOA'^/\BOA'(SAS),

：.A'A=A'B.

20.【答案】(1)图见解析

(2)图见解析

【分析】

(1)以AC所在直线为对称轴，找出点B的对称点即为点。，再顺次连接点ARC,。

即可得；

(2)根据点B平移至点A的方式，将点C进行平移即可得点E,再顺次连接点

A&CE即可得.

(1)

解：如图①，四边形ABCD是轴对称图形.

图①

(2)

解：先将点8向左平移2格，再向上平移1个可得到点A,

则将点C按照同样的平移方式可得到点E，

如图②，平行四边形ABCE是中心对称图形.

图②

21.【答案】(1)45°

(2)见解析

⑶20+2或2四-2

【分析】

(1)根据旋转的性质可知=当£=20。时可根据等腰三角形的性质计算NAZ汨

的角度，再由NB4C=90。，AE是/D4c的平分线可知/D4E=35。，由三角形外角的

性质，通过NAEB=NAZ汨-NZME■即可得出答案；

(2)延长。B至1］凡使BF=CE,连接AF,先证明八位)石至A4CE,可推导

NDEA=NCEA、ZADE=ZACE,NDE=CE,再由已知条件及等腰三角形的性质推导

NDEA=NCEA=45°,然后证明△ABF之ZkACE,推导/泣=90。，在RtAFE中，由三

角函数可计算EF=0AE,即可证明2D+2CEM&E;

(3)分两种情况讨论：①当0。＜/＜90。时，借助(2)可知8。=(2应-2)CE,再求

—的值即可；②当90。4。＜180。时，在线段8。上取点F，使得BF=CE,结合（2）

ED

中△ADE/ZXACE,可知DE=CE、ZADE=ZACE,易证明△ABf'/△ACE,可推导

NBAF=NCAE、AE=AF,ZEAF=90°,ZAEF=ZAFE=45°,在RtAFE中，由三角

函数可计算=即可推导5O=(20+2)CE,再求"的值即可.

(1)

解：由旋转可知，AB=ADf当二=20。时,

180。—。180°-20°

可知/ABO=/AO3==80°,

22

VABAC=90°,AE是/D4c的平分线,

ABAC-a90°-20°

ZDAE=---------------=5J

2

：.ZAEB=ZADB-ZDAE=80°-35°=45°.

故答案为：45°；

(2)

证明：延长想到/，使BF=CE,连接相\

VAB=AC,AD=AB,

AD=AC,

平分/ZMC,

JZDAE=ZCAE,

*.*AE=AE,

AADE^AACE,

：・/DEA=/CEA,ZADE=ZACE,NDE=CE,

,:AB=AD,

:.ZABD=ZADB,

,/ZAZ)E+ZADB=180°,

・・・ZACE+ZAB£)=180°,

•・・ABAC=90°,

：.NBEC=360°-(ZACE+ZABD)-ABAC=360°-180°-90°=90°,

■:ZDEA=ZCEA

：.ZDEA=ZCEA=-x90°=45°,

2

,/ZABF-^-ZABD=180°,ZACE+ZABD=180°,

・•・ZABF=ZACEf

VAB=AC,BF=CE,

・•・AABF^AACE,

AAF=AE,ZAFB=ZAEC=45°f

：.ZFAE=180。—ZAFB-ZDEA=180。—45。—45。=90。，

在RtAFE中，XFAE=90°,

Ap

VcosZAEF=—,

EF

AE

EF=———=y/2AE,

cosZAEFcos45°

:EF=BF+BD+DE=CE+BD+CE=BD+2CE,

BD+2CE=y[2AE;

(3)

①当0°<tz<90。时，由(2)可知，

DE=CE,BD+2CE=y[2AE，

BD=y/2AE-2CE，

当AE=2CE时，可知8。=-Jix2CE-2CE=(2正一2)CE,

.BD_(2四-2)CE(20-2)CK

=20-2；

"ED-ED-CE

②当90。《0＜180。时，如下图,在线段8。上取点凡使得3P=CE,

由(2)可知，/\ADE^AACE,

：.DE=CE,ZADE^ZACE,

,：AB=AC,

•••ZABF=ZADE,

：.ZABF^ZACE,

BF=CE,

：.AABF^AACE(SAS),

ZBAF=ZCAE,AE=AF,

：.ZEAF=ZCAF+ZCAE=ZCAF+ZBAF=ZBAC=9Q°,

180°/£A/

ZAEF=ZAFE==45°

2

在RtAFE中,cosZAEF=—

EF

：.EF=———=AE=A/2A£,

cosZAEFcos45°

BD=BF+EF+DE=CE+应AE+CE=-J1AE+ICE，

当AE=2CE时，可知3D=&x2CE+2CE=(2/+2)CE,

.BD(2忘+2)CE(2忘+2)CE

=2-\/2+2.

ED~ED~CE

综上所述，当。°＜。＜180。,4石=2庭时，些=2a+2或些=2应-2.

EDED

22.【答案】（1）见详解

(2)i

9r23

(3)y=^(0<x<-)

4/+362

3?5

(4)—<xW3或一<x<4

28

【分析】

(1)根据切线的判定定理求解即可；

(2)如图，在&AOEB,根据勾股定理列方程求解即可；

(3)先证AZMOSAAEG,求出AE,然后证明AAEGsAABF,根据相似三角形面积比

等于相似比的平方即可求解；

(4)结合图形，分情况讨论即可求出x的取值范围.

(1)

证明：在矩形A8C。中，ZDAB=90°,

AOED是4沿OD折叠得到的，

:.ZOED=ZDAB=90°,BPOE1DE,

是半圆。的切线；

(2)

解：△OED是404。沿0D折叠得到的,

:.DE=AD=3,OA=OE=x,

OB=AB—OA=4—x,

在咫AZMB中，DB=^AD2+AB2=732+42=5-

:.EB=DB—DE=5—3=2,

在松OEB中，OE1+EB1=0B\

.-.%2+22=(4-X)2,解得X=；,

答：尤的值为：3.

2

(3)

解：在R/AZMO中，DO=JQ+AO2="+犬=反，，

AOED是小沿OD折叠得到的，

:.AELOD,

.AG是。的直径，

ZAEG=90°,即AE_LEG,

:.OD//EG,/ZMO=ZAEG=90。

:.ZAOD=NEGA,

AZM8MEG,

DODA

y/92+x23,L6x

-----------=——,AE=,,

2xAEA/92+X2

ZAEG=ZABC=90°,NEAG=ZBAF,

.".AAEG^AABF,

AxOGB

(4)

3

解：由(2)知，当E在。B上时，x=-,

2

如图，当点E在。C上时，x=3,

当半圆。经过点C时，半圆。与△的边有两个交点,

连接OC,在MA03C中，。8=4—x,OC=x,3C=3,

OB2+BC2=OC2,

.-.(4-X)2+32=X2,解得x=丑，

8

25

，当时，半圆。与△BC。的边有两个交点;

8

3

综上所述，当半圆。与△8C0的边有两个交点时，元的取值范围为：或

2

25//

——<x<4.

8

23.【答案】(1)1,1,H=；S

(2)①“OMN是等边三角形，理由见解析；②石-1

(3)tan1,l-tan^45°-1^|

【分析】

(1)如图1,若将三角板的顶点尸放在点。处，在旋转过程中，当。尸与。8重合

时，。£与0C重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积二:1■正方形A3CZ)的面积

4

=1；当。尸与8c垂直时，OE_L8C,重叠部分的面积=!正方形ABC。的面积=1；一

般地，若正方形面积为s,在旋转过程中，重叠部分的面积s与s的关系为s尸;

S.利用全等三角形的性质证明即可；

(2)①结论：AOMN是等边三角形.证明OM=ON,可得结论；

②如图3中，连接。C,过点。作0JL3C于点J.证明△OCMZ^OCN(SAS),推

出/COM=NCON=30。，解直角三角形求出OJ,即可解决问题；

(3)如图4-1中，过点。作OQJ_8c于点Q,当BM=CN时，AOMN的面积最小，

即S最小.如图4-2中，当CM=CN时，出最大.分别求解即可.

(1)

如图1,若将三角板的顶点尸放在点。处，在旋转过程中，当。尸与重合时，OE

与OC重合，此时重叠