第五章 三角函数章末题型归纳总结（原卷版）

第五章三角函数章末题型归纳总结模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：三角函数式的化简、求值经典题型二：三角函数的图象与性质经典题型三：三角恒等变换经典题型四：伸缩变换经典题型五：三角函数的应用问题经典题型六：三角函数的综合问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：三角函数式的化简、求值例1．已知，则的值为（

）A． B．1 C． D．例2．已知，则（

）A． B． C． D．例3．已知，则（

）A． B． C． D．例4．若，则（

）A． B． C． D．例5．如图，点A为单位圆上一点，，已知点A沿单位圆按逆时针方向旋转到点，则的值为（

）

A． B． C． D．例6．等于（

）A． B． C． D．例7．在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线对称，若，则（

）A． B． C． D．例8．的值为（

）A． B． C． D．例9．（

）A． B． C． D．例10．若=，则等于（

）A． B． C． D．例11．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．例12．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（

）.

A． B． C． D．例13．已知，，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例14．已知，则（

）A． B． C． D．经典题型二：三角函数的图象与性质例15．已知函数，若，，且在区间上单调，则的值为（

）A． B． C． D．1例16．若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例17．函数的一个单调减区间是（

）A． B． C． D．例18．函数的部分图像如图所示，，且，则（

）

A．1 B． C． D．例19．已知函数，则在上的单调递增区间为（

）A． B．C． D．例20．已知函数在区间上单调，且，则（

）A．， B．，C．， D．，例21．函数的最小值为（

）A． B． C． D．例22．已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．例23．若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例24．（多选题）已知函数，则说法正确的是（

）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．为奇函数 D．为偶函数例25．（多选题）函数在一个周期内的的图象如图示，则下列结论中正确的是（

）

A．B．C．对，都有D．对，都有例26．（多选题）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是（

）A．的一个周期为；B．的图象关于对称；C．是的一个零点；D．在单调递减；例27．（多选题）已知函数，则（

）A．为偶函数 B．的最小正周期为C．在上单调递增 D．在内仅有1个解例28．（多选题）若函数是偶函数，则的值不可能为（

）A． B． C． D．例29．（多选题）设，函数在区间上有零点，则的值可以是（

）A． B． C． D．例30．（多选题）已知函数是奇函数，则的值可以是（

）A．0 B．C． D．经典题型三：三角恒等变换例31．已知，则.例32．已知角A，B是△ABC的内角，且，，则．例33．已知，均为锐角，且，，的值为.例34．化简：．例35．设，且，则．例36．已知α，β都是锐角，，，则.例37．已知，，则.例38．已知​，则​．例39．已知，，且，则．例40．.例41．已知，，，且，则的值为.例42．若，且，则.例43．已知，，，，则.经典题型四：伸缩变换例44．将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（）.A． B．C． D．例45．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（）．A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变例46．已知曲线C1：，C2：，则错误的是（

）A．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动个单位长度，得到曲线C．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线D．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线例47．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将它的图象向右平移个单位长度，得到了一个奇函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．例48．设函数的部分图象如图所示，若，且，则（

）

A． B． C． D．例49．要得到函数的图象，只要将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度例50．为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（

）A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度例51．已知函数的最小正周期为，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应函数解析式为（

）A． B．C． D．例52．函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（

）

A． B． C． D．例53．已知函数在上单调递增，在上单调递减，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则（

）A． B． C． D．例54．要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（

）A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度经典题型五：三角函数的应用问题例55．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，将筒车简化为圆，以为原点，以与水平平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为，动点每秒钟逆时针转过，则盛水筒的高度与时间的关系是.

例56．水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械.根据文献记载，水车大约出现于东汉时期.水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证.图2是一个水车的示意图，它的半径为2m，其中心（即圆心）O距水面1m.如果水车每60s逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是关于时间t（单位：s）的函数.为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时，则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映h随t变化的周期规律.

则.例57．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与时间之间的关系为.①；②点第一次到达最高点需要的时间为；③在转动的一个周期内，点在水中的时间是；④若在上的值域为，则的取值范围是；其中所有正确结论的序号是.例58．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图，一个半径为米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面米.已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点从水中浮现时(图中点)开始计时，经过秒后，水车旋转到点.给出下列结论：

①在转动一圈内，点的高度在水面米以上的持续时间为秒；②当时，点距水面的最大距离为米；③当秒时，；其中所有正确结论的序号是.例59．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.若甲、乙两人分别坐在号和号座舱里且t=0时，1号座舱位于距离地面最近的位置，当时，两人距离地面的高度差（单位：）取最大值时，时间的值是.

例60．如图，在扇形中，半径，圆心角，矩形内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为.

例61．如图点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系式为．

例62．如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为.

例63．一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面1.8米．已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则P点离开水面的高度h关于时间t的函数解析式为．

经典题型六：三角函数的综合问题例64．已知在区间上最大值为6.(1)求单调增区间；(2)当时，关于不等式有解，求实数取值范围.例65．已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)若，求的最大值和最小值.例66．已知函数.(1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，后画图）(2)设，当时，试讨论函数零点情况.例67．已知函数，当时，取得最大值2，的图象上与该最大值点相邻的一个对称中心为点．(1)求的解析式；(2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域．例68．设函数，．(1)求函数的单调增区间；(2)当时，求函数的值域；(3)已知函数的图象与直线有交点，求相邻两个交点间的最短距离．例69．设函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调递减区间；例70．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的单调增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.例71．已知函数的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为.将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.(1)求的解析式.(2)若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围.例72．已知函数，．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若，关于x的方程有三个不等的实根，求a的取值范围．模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例73．已知a为常数，函数在内有且只有一个零点，则常数a的值形成的集合是．（

）A． B． C． D．例74．设函数，则的最小正周期（

）A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关例75．已知，若存在正整数n，使函数在区间内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（

）A．1 B． C．0 D．1或例76．已知函数，满足，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（

）A．5 B．7 C．9 D．11例77．已知函数在区间上的最小值为，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．例78．若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是

（

）A． B．C． D．例79．若，，则终边所在象限为（

）A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限②转化与化归思想例80．函数的最小值为（

）A．