清单02 直线的交点、距离公式与对称、最值问题（8个考点梳理+题型解读+提升训练）（原卷版）

清单02直线的交点、距离公式与对称、最值问题（8个考点梳理+题型解读+提升训练）【知识导图】【考点分布图】【知识清单】1、直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．2、两点间的距离公式两点，间的距离公式为．3、点到直线的距离公式点到直线的距离为．4、两平行线间的距离直线与直线的距离为．5、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为6、点关于直线对称点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．7、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．8、直线关于直线对称求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线第一步：联立算出交点第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点第三步：利用两点式写出方程9、常见的一些特殊的对称点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于点的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．【考点精讲】考点1：两直线的交点问题例1．（2023·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考期中）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．例2．（2023·海南·高二校联考期中）已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．例3．（2023·新疆和田·高二校考期中）已知直线方程为，直线方程为，则两直线交点坐标为（

）A． B． C． D．例4．（2023·湖南·高二校联考期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（

）A．无论，，如何，总是无解B．无论，，如何，总有唯一解C．存在，，，使是方程组的一组解D．存在，，，使之有无穷多解例5．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）直线与直线的交点坐标为（

）A． B． C． D．例6．（2023·四川凉山·高二统考期中）已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为（

）A．1 B． C．2 D．例7．（2023·北京朝阳·高二北京工业大学附属中学校考阶段练习）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．考点2：两点的距离例8．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（

）A． B． C． D．例9．（2023·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P．线段AB中点为Q，则的值为（

）A． B． C． D．与m的取值有关例10．（2023·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）已知三顶点为、、，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形例11．（2023·江苏连云港·高二统考期中）已知三点，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．例12．（2023·河北衡水·高二校考阶段练习）点与之间的距离是5，则y=（

）A． B． C．或 D．12例13．（2023·湖南·高二校联考期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条考点3：点到直线的距离例14．（2023·海南·高二校联考期中）已知，，，设中边上的高所在的直线为，则点到的距离为．例15．（2023·河南·高二校联考期中）已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为.例16．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知中，，若的面积不超过2，则的取值范围是.例17．（2023·福建福州·高二校联考期中）若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为.例18．（2023·湖北·高二湖北省罗田县第一中学校联考阶段练习）若非零实数对满足关系式，则．例19．（2023·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）已知点到直线的距离为2，则．例20．（2023·江苏泰州·高一统考期中）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为.例21．（2023·河南洛阳·高二统考期中）已知，两点到直线l：的距离相等，则．考点4：两平行直线的距离例22．（2023·贵州·高二校联考期中）已知两条平行直线：，：间的距离为，则．例23．（2023·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）直线平行于直线，则这两条直线的距离等于．例24．（2023·黑龙江·高二统考期中）若直线与直线平行，则与之间的距离为．例25．（2023·浙江·高二校联考期中）直线与之间的距离相等，则直线的方程是.例26．（2023·北京朝阳·高二校考期中）到直线的距离等于的直线方程为.例27．（2023·高二课时练习）与直线平行且与它的距离为的直线的方程为．考点5：点线对称例28．（2023·江苏苏州·高二统考期中）点关于直线的对称点的坐标为．例29．（2023·内蒙古鄂尔多斯·高二校联考期中）已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是.例30．（2023·四川眉山·高二仁寿一中校考期中）点关于的对称点为例31．（2023·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）点关于直线对称的点的坐标为．例32．（2023·重庆·高二重庆市育才中学校考期中）已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为.例33．（2023·北京·高二北京市第三十五中学校考期中）点关于直线的对称点为，则点的坐标为．考点6：线点对称例34．（2023·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）直线l：关于点对称的直线方程为（

）A． B．C． D．例35．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（

）A． B． C． D．例36．（2023·河南南阳·高二校考阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0例37．（2023·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0例38．（2023·高二单元测试）直线关于点对称的直线方程为（

）A． B．C． D．例39．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考阶段练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（

）A． B．C． D．考点7：线线对称例40．（2023·高三课时练习）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3 B．2 C．3 D．4例41．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）直线关于x轴对称的直线方程为（

）A． B．C． D．例42．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（

）A． B．C． D．例43．（2023·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）与直线关于轴对称的直线方程为（

）A． B．C． D．例44．（2023·上海静安·统考二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（）A． B．C． D．例45．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期中）与直线关于轴对称的直线的方程为（

）A． B．C． D．考点8：两线段和与差的最值问题例46．（2023·山东·高二校联考期中）已知点是直线上一点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．例47．（2023·河南新乡·高二统考期中）的最小值为（

）A． B． C． D．例48．（2023·河北·高二校联考期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B． C．108 D．117例49．（2023·北京·高二大峪中学校考期中）若，分别为与上任一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．例50．（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）已知实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．例51．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线：恒过点A，已知，动点P在直线：上，则的最小值为（

）A． B． C． D．例52．（2023·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知点在直线上，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例53．（2023·江苏苏州·高二统考期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为．例54．（2023·浙江温州·高二校联考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为．例55．（2023·广东广州·高二广东广雅中学校考期中）已知实数满足，则的最大值是．【提升练习】一、单选题1．（2023·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（

）A． B． C． D．18．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知在中，点，角的角平分线为边上的中线所在直线为．(1)求点的坐标；(2)求边所在直线方程．19．