清单04 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 （11个考点梳理+题型解读+提升训练）（解析版）

清单04直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系（11个考点梳理+题型解读+提升训练）【知识导图】【考点分布图】【知识清单】1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离．（2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离．3、圆的切线方程的求法（1）点在圆上，如图．法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．法二：圆心到直线的距离等于半径．（2）点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆上一点的切线方程是；（2）过圆上一点的切线方程是．4、求直线被圆截得的弦长的方法（1）应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．（3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：=．5、圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．6、圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含．7、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．8、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．9、圆系方程（1）过直线与圆的交点的圆系方程是（2）以为圆心的同心圆系方程是：；（3）与圆同心的圆系方程是；（4）过同一定点的圆系方程是．【考点精讲】考点1：直线与圆的位置关系例1．（2023·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）已知，则圆与直线的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【答案】B【解析】，直线转化为，所以直线恒过定点，由，所以点在圆内，故直线与圆相交.故选：B.例2．（2023·山西太原·高二统考期中）已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【解析】已知直线，变形为，由，即直线恒过定点，代入圆的方程的左端有，即点在圆内，所以直线与圆相交，故选：A例3．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考期中）已知，则圆与直线的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【答案】B【解析】圆心到直线的距离，因为，即，所以圆与直线的位置关系是相交，故选：B例4．（2023·江苏无锡·高二校联考期中）若直线与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由曲线，可得，其中，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，是倾斜角为的直线，其与曲线有且只有一个公共点有两种情况：（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图象，可得：；（2）直线与半圆的下半部分相交于一个交点，由图可知.综上可知：.故选：C.例5．（2023·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校联考期中）方程有两相异实根，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，则，令，则，所以曲线表示以为圆心，为半径的圆在轴及轴下方的半圆，因为方程有两相异实根，即与有两个交点，其中表示过点的直线，作出直线与曲线的图象如图，其中，且，当时直线与曲线有且只有一个交点，结合图象可知的取值范围是．故选：A．例6．（2023·河南信阳·高二统考期中）已知直线l：与圆C：，点，则下列说法不正确的是（

）A．若直线l与圆C相切，则 B．若，则直线l与圆C相离C．若，则直线l与圆C相交 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】A【解析】由圆C：，则圆心，半径，所以圆心到直线l的距离.若直线l与圆C相切，则，解得，故A错误；若，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若，则，所以，则直线l与圆C相交，故C正确；若点在直线l上，则，即，此时，则直线l与圆C相切，故D正确.故选：A.考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用例7．（2023·江苏苏州·高二苏州中学校考期中）如图，圆与x轴交于A、B两点，动直线：与x轴、y轴分别交于点E、F，与圆交于C、D两点．(1)求中点M的轨迹方程；(2)设直线、的斜率分别为、，是否存在实数k使得？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意，存在且，∵M为中点，∴，∴点M的轨迹是以为直径的圆（除去原点），∴圆心为，半径为，则点M的轨迹方程为.（2）由，得，，设，则，，又，，，即，则，即，解得或，又，，得，，则，故舍去，符合题意，综上，存在实数使得.例8．（2023·云南昆明·高一校考期中）已知圆C：(1)证明：圆C恒过两个点．(2)当时，若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的斜率．【解析】（1）圆C的方程可化为，令，得，或，故圆C恒过两个定点，且这两个定点的坐标为和．（2）当时，圆C的方程为，即，显然过点的直线l的斜率k存在且不为0，则设直线l的方程为，，，因为，所以①．联立，消去x得，所以，将①代入得，则，整理得，解得或，（满足），所以直线l的斜率为2或．[注]直线l的方程还可以设为，与圆C的方程联立得，则，将代入得，解得或，故直线l的斜率为或2．例9．（2023·广东东莞·高二校联考期中）已知直线：与圆：相交于，不同两点.(1)求的范围；(2)设是圆上的一动点（异于，），为坐标原点，若，求面积的最大值.【解析】（1）∵直线与圆交于两点，∴，解得.（2）设，，将代入方程，整理得，∴，，，解得，由（1）知，所以直线的方程为，可知圆心在直线上，∴是圆的直径，且，∵是圆上的一动点（异于，），∴到直线的最大距离即为半径为1，∴面积的最大值为.例10．（2023·山东烟台·高二校联考期中）已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C．(1)求C的轨迹方程；(2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围．【解析】（1）设，因为，所以，所以，化简得：，所以的轨迹方程为：；（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，代入的轨迹方程可得，不妨令，所以，所以；当直线斜率存在时，设，，联立，可得，所以，又，所以，所以，因为，所以，所以，所以；综上可知，的取值范围为.例11．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）已知圆过点，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为.(1)求圆的方程；(2)若为圆上两个不同的点，为坐标原点，设直线的斜率分别为，当时，求的斜率的取值范围.【解析】（1）由题意，令，圆过点，则半径，而与直线的距离，且圆被截得的弦长为，所以，则，所以圆的方程为.（2）由题意，令直线为，，联立圆，可得，则，即，所以，，则，由直线的斜率分别为，且，所以，则，故，结合或，由于直线的斜率都存在，故且，即，所以，综上，.例12．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）已知圆，过点的直线与交于点，，且.(1)求圆的圆心坐标和半径：(2)求的方程；(3)设为坐标原点，求的值.【解析】（1）将圆化为标准方程：，则圆心，半径；（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，在圆中，令，得，解得，此时，与题意矛盾，所以直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为，即，因为，所以圆心到直线的距离，所以，解得，所以直线的方程为，综上所述，直线的方程为；（3）设，联立，消得，则，故，所以.例13．（2023·湖北·高二荆州中学校联考期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切．(1)求圆的方程；(2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程．【解析】（1）设圆心坐标为，，所以，解得或（舍去），所以圆的方程为．（2）设，，直线，联立得，，，解得，所以，，，因为，所以，解得或（舍去），所以直线．考点3：切线问题例14．（2023·江苏盐城·高二校考期中）圆在点处切线的一般式方程为．【答案】2【解析】圆心坐标为，圆心与切点连线斜率为，所以切线的斜率为2，切线方程为，即．故答案为：．例15．（2023·广东东莞·高二校考期中）以圆上一点为切点的切线的一般式方程为.【答案】【解析】依题意，圆的圆心为，由于，所以在圆上，，所以切线的斜率为，所以切线方程为.故答案为：例16．（2023·浙江·高二校联考期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则.【答案】【解析】由可得，故圆心，记，设切点为M，N,，，故，，，.故答案为：例17．（2023·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校联考期中）过点且与圆C：相切的直线方程为．【答案】或【解析】依题意，圆表示以为圆心，半径的圆，当切线的斜率不存在时，过的直线与圆相切；当切线的斜率存在时，设切线方程为，则，解得，此时切线方程为，所以所求切线方程为或.故答案为：或例18．（2023·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期中）已知圆：，圆：，过圆上的一点P作圆的一条切线，切点为A，且，则实数m的取值范围是.【答案】【解析】∵，，，∴，∴点P在以为圆心，4为半径的圆上，可设其轨迹方程为C：.由于点P在圆C，上，∴圆C，相切或相交，∴，又，解得，∴.实数m的取值范围是.故答案为：例19．（2023·江苏淮安·高二校考阶段练习）过圆外一直线上一动点P作圆的切线，则切线长最小值为【答案】/【解析】如图所示：过直线上任意一点P作圆的切线，设切点为，由题意圆的圆心坐标为，半径为，则切线长，若要切线长最小，则只需最小即可，而的最小值即为点到直线的距离，因此的最小值为，从而切线长的最小值为.故答案为：.例20．（2023·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为.【答案】或【解析】由已知圆的圆心在直线上，则设，又圆与轴相切，所以半径，圆的方程为因为圆与直线相切，所以，化简得，解得或，所以圆的方程为或，故答案为：或.考点4：切点弦问题例21．（2023·河北·高二校联考期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为．【答案】【解析】由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点．因为,，则，所以直线的方程为．故答案为：.例22．（2023·安徽宣城·高三统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是.【答案】【解析】圆的圆心为,半径为2，以为直径的圆的方程为,将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程.故答案为:.例23．（2023·安徽芜湖·高二期末）在平面直角坐标系中，过点，向圆C：引两条切线，切点分别为，则直线过定点．【答案】【解析】由题意过点引圆圆C：的两条切线，则圆心为，半径为，故切线长为，切点在以P为圆心，以切线长为半径的圆上，以点P为圆心，切线长为半径的圆的方程为：，联立，可得直线的方程为，整理得，令，解得，故直线过定点，故答案为：例24．（2023·全国·模拟预测）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点.【答案】【解析】设，则有①，又由圆的圆心为，直线，是圆的两条切线，为切点，则，，则点均在以为直径的圆上，设的中点为，则圆的方程为，化简得；直线即为两圆的公共弦，所以，对于和，两式相减可得直线的方程为，由①可得，，整理得，故直线过定点故答案为：例25．（2023·广东·高三校联考开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为．【答案】【解析】方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，所以直线的方程为，即；方法2：设，，则由，可得，同理可得，所以直线的方程为.故答案为：例26．（2023·湖南益阳·统考一模）已知直线，若P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当最小时，直线的方程为.【答案】【解析】的圆心，半径，四边形面积，要使最小，则需最小，当与直线垂直时，最小，此时直线的方程为，联立，解得，则以为直径的圆的方程为，则两圆方程相减可得直线的方程为．故答案为：．考点5：弦长问题例27．（2023·广东东莞·高二校联考期中）已知圆，直线，直线l被圆C截得的弦长为【答案】【解析】圆标准方程是，圆心为，半径为4，圆心到直线的距离为，所以弦长为．故答案为：．例28．（2023·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知直线与圆交于A、B两点，若面积为，则m的值为．【答案】【解析】由得圆的圆心，半径，因为直线恒过点，而点在圆内，所以直线与圆相交，圆心到直线的距离，所以，所以，解得，故答案为：例29．（2023·广东东莞·高二校考期中）直线与圆相交于两点，则的最小值为.【答案】【解析】因为可化为，令，解得：，所以直线恒过定点，该点在圆内，因为，所以要求的最小值，即求圆心到直线的最大距离，当时，最大，最小，又因为圆：，所以圆心，,则，此时：.故答案为：.例30．（2023·安徽宿州·高二校联考期中）已知直线及直线截圆所得的弦长均为8，则圆的半径是．【答案】【解析】由题意直线与直线平行，则它们之间的距离为，从而圆的圆心到两直线的距离均为，又因为直线及直线截圆所得的弦长均为，所以圆的半径是.故答案为：.例31．（2023·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考期中）已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为.【答案】【解析】圆的圆心，半径，点到直线的距离，依题意，，即，于是，解得，所以的值为.故答案为：例32．（2023·江苏无锡·高二校联考期中）已知圆：，过点的直线被圆截得的弦长为4，则直线的方程为【答案】或【解析】圆：的圆心为，半径为，当直线的斜率不存在时，此时方程为，圆心到的距离为1，则被圆截得的弦长为，满足要求，当直线的斜率存在时，设为，则圆心到直线的距离为，由垂径定理得，解得，故直线的方程为，即.故答案为：或考点6：面积问题例33．（2023·湖北黄冈·高二校联考期中）过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为.【答案】【解析】根据题意可得，半径为，∵直线，∴点到直线的距离为，即直线与圆相离，∵点为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，∴四边形面积为，∵圆心到直线的距离为，∴，即，则四边形面积最小为.故答案：.例34．（2023·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】化圆为，可得圆心坐标为,半径为3.由圆的性质可得，最长的弦即圆的直径，故.因为，所以.弦最短时，弦与垂直，且经过点O,此时.故四边形的面积为.故选:B.例35．（2023·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，，故点在圆内，如下图所示：则，过点的弦过圆心时，弦长取最大值，即，当过的弦与垂直时，弦长取最小值，即，此时，此时，四边形的面积为.故选：C.例36．（2023·四川成都·高二校考期中）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，由题知直线斜率存在，设直线的斜率为，，设直线为，然后根据圆的弦长公式，以及圆心到直线的距离，由，进而化简求解即可由得，曲线表示单位圆在轴上方的部分（含与轴的交点），由题知，直线斜率存在，设直线的斜率为若直线与曲线有两个交点，且直线不与轴重合，则，直线的方程为：，即则圆心到直线的距离直线被半圆所截得的弦长为令则，当，即时，有最大值为此时，又，综上所述，直线的斜率是故答案为：A例37．（2023·浙江·高二期末）已知圆，圆，若圆的切线交圆于、两点，则面积的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】面积的大小与线段的长度有关，要求面积的取值范围，只需求出的范围，即可求解．圆的切线交圆于、两点，则面积为（为圆的半径），圆的半径为，是圆的一条弦，圆的圆心为，半径为，圆心到的距离最小时，最大，圆心到的距离最大时，最小，如图：的最小值为，的最大值为，面积的最小值为，面积的最大值为.因此，面积的取值范围是.故选：A.例38．（2023·福建莆田·高二校考期中）已知，为圆：的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形ABCD面积的最大值为（

）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【解析】设圆心到，的距离分别为，，则.四边形的面积为：，，当且仅当时取等号.故选：B.例39．（2023·北京·高二北京铁路二中校考期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，令，得，令，得，，，则，点在圆上，设，，点到直线的距离：，，，面积为：所以面积的范围为．故选：A．

例40．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知圆，点为直线上的一个动点，是圆的两条切线，，是切点，当四边形（点为坐标原点）面积最小时，直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可得，，，所以四边形的面积，所以当最小时，四边形的面积最小，此时直线与直线垂直，的斜率为，则直线的斜率为1，所以此时直线的方程为，由得，即得点的坐标为，则，，以为圆心，为半径的圆方程为，即，与方程两式相减，并化简得，即直线的方程为.故选：A.考点7：直线与圆中的定点定值问题例41．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校联考期中）已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点（异于），且直线，的斜率之积为.(1)求曲线的方程；(2)证明：直线过定点.【解析】（1）设，由，得，所以，两边平方并化简，得曲线的方程为.（2）由（1）得，设直线、的斜率分别为，，如图所示，当不垂直于轴时，设，联立，整理得，解得（舍）或，当时，，所以，同理得，所以的斜率，因为，代入可得，故的方程为，即，故过定点；当轴时，设，则，所以，即，又因为，代入可得，解得或（舍），所以（或），所以的方程为，过点.综上，直线过定点例42．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校联考期中）已知圆过，两点，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)设直线与圆交于A，两点，在直线上是否存在定点，使得直线，的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意得的中点的坐标为，直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为1，所以直线的方程为，即，解方程组得，故，所以圆的半径，所以圆的方程为.（2）由消去整理得，可得，设，，则，.（*）设，则，（，分别为直线，的斜率）.因为直线，的倾斜角互补，所以，即，即，即，将（*）式代入得，整理得对任意实数恒成立，故，解得，故点的坐标为.所以在直线上存在定点满足条件.

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例43．（2023·北京·高二北京十五中校考期中）已知点，圆．(1)求圆过点的切线方程；(2)为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点、，设、的斜率分别为、，求证：为定值．【解析】（1）易知圆的圆心为，半径为，因为，则点在圆外，当切线的斜率不存在时，切线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切，合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，则，解得，此时，切线的方程为，即.综上所述，求圆过点的切线方程为或.（2）证明：在圆的方程中，令，可得，则，由（1）可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，设点、，联立可得，，解得，由韦达定理可得，，所以，.故为定值．例44．（2023·河南南阳·高二统考期中）已知圆．(1)证明：圆过定点．(2)当时，是否存在斜率为的直线交圆于、两点，使得以为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明：圆的方程变形为：，令，解得，把代入圆成立，所以圆过定点．（2）当时，圆的方程为：．假设存在直线符合题意．设直线的方程为，与圆联立得：．所以判别式．设，，由根与系数的关系得，，．若以为直径的圆经过原点，则，从而有，即解得：，代入，均成立，所以直线的方程为或.例45．（2023·安徽马鞍山·高二统考期中）平面直角坐标系中，直线，圆：，圆与圆关于直线对称，是直线上的动点．(1)求圆的标准方程；(2)过点引圆的两条切线，切点分别为，设线段的中点是，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）圆化成标准方程为，圆心，半径为2，设圆心，圆与圆关于直线对称，直线的斜率为，所以，解得，所以，圆的方程为.（2）因为是直线上的动点，设，分别与圆切于两点，所以，所以在以为直径的圆上，圆的方程，即为圆与圆的公共弦，由，作差得方程为即令得，设，所以直线过定点，又是中点，所以，则有点是在以为直径的圆上，所以存在点是的中点，使得为定值，坐标为.例46．（2023·河北唐山·高二校联考期中）已知圆，过圆上一点作直线分别与圆交于两点，设直线的斜率为．(1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线方程；(2)若，求证：直线恒过定点．【解析】（1）由题意可设切线的方程为．所以圆心到切线的距离为，即，解得，所求的切线方程为或；（2）①当直线斜率存在时，设直线．将直线代入圆的方程得，又，则．即，即，即，即，整理得，即，所以或．当时，直线恒过点，不满足题意，舍去；当时，由得．直线恒过点，满足题意．②当直线斜率不存在时，不妨设直线，则．则，所以与圆无交点，不满足题意，舍去．综上：直线恒过点．例47．（2023·浙江宁波·高二校联考期中）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于A、B两点．(1)若坐标原点O到直线AB的距离为1，求直线AB的方程；(2)如图所示，作一条斜率为－1的直线交圆于R，S两点，连接PS，PR，试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．【解析】（1）若直线AB的斜率不存在，距离为3，不符合若直线AB的斜率存在，设直线AB：，由，得∴直线AB的方程为或（2）设直线RS：，，记，，联立方程，得.由题，.由韦达定理，，，∴，∴∵，都是锐角

∴为定值．考点8：圆与圆的位置关系例48．（2023·新疆伊犁·高二校联考期中）圆：与圆：的位置关系是（

）A．相交 B．外离 C．内含 D．外切【答案】C【解析】由题意知：圆的圆心：，半径：，圆的圆心：，半径：，两圆圆心距为：，故两圆内含.故C项正确.故选：C.例49．（2023·辽宁沈阳·高二校联考期中）“”是“圆与圆相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】圆圆心，半径为；圆圆心，半径为；当两圆相切时，可分为内切和外切两种，圆心距为，①当两圆外切时：，即.②当两圆内切时：，即.则根据充分条件和必要条件的判定原则，可知“”是“圆与圆相切”的充分不必要条件.故选：A例50．（2023·四川雅安·高二雅安中学校联考期中）已知圆，圆，则“”是“圆与圆外离”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，圆，圆与圆的圆心距为5，若，则两圆的半径之和小于5，两圆外离，反之亦成立,故“”是“圆与圆外离”的充要条件．故选：A.例51．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是（

）A．相离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】D【解析】圆：的圆心为，半径，圆：的圆心为，半径，因为，所以两圆相内切.故选：D例52．（2023·山东潍坊·高二统考期中）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（

）A．外切 B．内切 C．外离 D．相交【答案】D【解析】因为的圆心为，半径，的圆心为，半径，所以，所以，所以与两圆相交，故选：D.考点9：两圆的公共弦问题例53．（2023·浙江·高二温州中学校联考期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圆中且半径为1，将两圆方程作差，得，整理得，所以相交弦方程为，则到其距离为，所以.故选：A例54．（2023·天津·高二校考期中）圆与圆的公共弦所在直线恒过点（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆与圆，两圆的方程相减得：，即公共弦所在的直线方程.且，即，故直线恒过点.故选：A例55．（2023·海南海口·高二海口一中校考期中）圆：与圆：相交于A，B两点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，显然，即圆与圆相交，把圆与圆的方程相减得直线的方程，即，点到直线的距离，因此.故选：C例56．（2023·浙江台州·高二台州一中校考期中）圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，即，半径为，由，即，半径为，所以，即两圆相交，将两圆方程作差得，整理得，所以公共弦所在直线方程为.故选：B例57．（2023·山西运城·高二校联考阶段练习）圆与圆相交于两点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由圆与圆，将两圆方程相减整理得直线的方程：，又，即，圆心为，半径为，所以到直线的距离为，所以.故选：B.考点10：公切线问题例58．（2023·黑龙江·高二统考期中）圆：和圆：的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为两个圆：和：，即，，所以圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以两圆圆心距为，因为，所以两圆外切，有3条公切线，故选：C.例59．（2023·河北沧州·高二校联考期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，动点满足，则点P的轨迹与圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意知，化简得，其圆心为，半径，又圆C的圆心，半径，所以，且，所以两圆相交，故其公切线的条数为2条.故选：B.例60．（2023·广西玉林·高二统考期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（

）A．圆与圆公共弦所在直线的方程为B．圆与圆有两条公切线C．是圆与圆的一条公切线D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2【答案】C【解析】由条件可得：圆：的圆心为，半径；圆：的圆心为，半径.因为，所以圆与圆外切，选项A，B错误；对于选项C，圆心到直线的距离；圆心为到直线的距离，所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确；对于选项D，圆心到直线的距离，所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.故选：C例61．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，圆的圆心坐标为，半径为圆的圆心坐标为，半径为如图所示，两圆相离，有四条公切线.两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，设切线，则圆心到直线的距离，解得或，当时，切线方程为，A正确；当时，切线方程为，即，B正确；另两条切线与直线平行且相距为1，又由，设切线，则，解得，即切线方程分别为，；整理可得两切线方程为和，所以C正确，D不正确.故选：D.例62．（2023·山东聊城·高二统考期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圆：的圆心，圆：可化为，，则其圆心为，半径为，因为圆与圆相内切，所以，即，故.由，可得，即与的公切线方程为.故选：D考点11：圆系方程的应用例63．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．【答案】【解析】设圆的方程为，则，即，所以圆心坐标为，把圆心坐标代入，可得，所以所求圆的方程为．故答案为：．例64．已知圆与圆相交于A、B两点．（1）求公共弦AB所在直线方程；（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．【解析】（1），①，②①-②得即公共弦AB所在直线方程为．（2）设圆的方程为即因为圆过原点，所以，所以圆的方程为例65．已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．【解析】若是圆、圆的交点坐标，则且，所以必在上，又，所以，则在时，方程表示圆，综上，对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．例66．已知圆和圆．（1）求证：两圆相交；（2）求过点，且过两圆交点的圆的方程．【解析】（1）证明：∵圆，即，表示以为圆心，半径等于2的圆，圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆，所以两圆的圆心距，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交．（2）设过两圆交点的圆的方程为．把点代入，求得．故所求圆的方程为，即．（2023·北京通州·高二期中）经过点以及圆与圆交点的圆的方程为________．【答案】【解析】设过圆与圆交点的圆的方程为：①把点的坐标代入①式得，把代入①并化简得，所求圆的方程为：，故答案为：．【提升练习】一、单选题1．（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM，PN，M，N为切点，则PM的最小值为时，r的值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】由题得，当时，最小时，最小.由题得，所以.故选：B.2．（2023·四川·高二校考期中）直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．或【答案】C【解析】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，当直线与曲线相切时，则圆心到直线的距离为，可得（正根舍去），当直线过、时，，如图，直线与曲线恰有两个交点，则.故选：C.3．（2023·四川达州·高二四川省万源中学校考期中）已知圆C:，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】因为直线：，方程可化为，令，解得，故直线过定点，且在圆C:内，又,故当直线被圆C截得的弦长最短时,有，则，解得，故选：B.4．（2023·北京通州·高二统考期中）过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【解析】如图所示，圆心,连接,因为直线，关于直线对称，所以垂直于直线，故而,则,故选：5．（2023·江苏盐城·高二校考期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，整理得，联立消去二次项得公共弦所在直线方程，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为1，所以公共弦长为.故选：A6．（2023·天津武清·高二统考期中）在平面直角坐标系xOy中，若圆(r>0)上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（

）A．(2，+∞) B．[2，+∞) C．(2，8) D．[2，8]【答案】D【解析】圆心坐标，设关于直线的对称点为，由，可得，所以圆关于直线对称圆的方程为，则条件等价为：与有交点即可，两圆圆心为，，半径分别为，3，则圆心距，则有，由得，由得，综上：，所以r的取值范围是，故选：D.7．（2023·江苏南京·高二期中）已知圆和两点、，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取，则，同理可得，，所以，，所以满足条件的点一定在的外接圆上，的外接圆半径为，所以，的外接圆圆心为，且，要使得圆上存在一点，使得，所以圆与圆有公共点，则，即，又，解得．故选：C．二、多选题8．（2023·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考阶段练习）已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（

）A．若点，则直线的方程为B．面积的最小值为C．直线过定点D．以线段为直径的圆可能不经过点【答案】BCD【解析】A选项，若，则直线的方程为，，以P为圆心，4为半径的圆的方程为，即，由，两式相减得，，故A错误；B选项，到直线：的距离为，而，所以的最小值为，所以面积的最小值为，故B正确；C选项，设，，线段的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，化简得：，由，两式相减得，即，由，解得，所以直线过定点，故C正确；D选项，由A选项，由，解得或,即，，，即此时以线段为直径的圆不经过点，故D正确．故选：BCD.9．（2023·河北唐山·高二校联考期中）已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（

）A．直线恒过定点B．当时，最长C．当时，弦最短D．最短弦长【答案】AC【解析】直线方程可化为，当，故直线恒过定点，A正确；易知圆心，半径，显然当直线过圆心时，最长，则，故B错误；当时，此时弦最短，即，故C正确；当时，则弦长，故D错误.故选：AC10．（2023·山西太原·高二山西大附中校考期中）圆：与圆：，则下列说法正确的是（

）A．两圆公共弦所在的直线方程为 B．两圆的位置关系为外切C．公共弦长为 D．两圆有四条公切线【答案】AC【解析】将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，故A正确；圆的圆心为，半径为，由可得，即圆的圆心为，半径为，则两圆的圆心距为，因为，所以两圆相交，公切线有两条，故BD错误；点到直线的距离为，则公共弦的长度为，故C正确；故选：AC.11．（2023·江苏徐州·高二统考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（

）A．轨迹的方程为B．在轴上存在异于的两点，使得C．当三点不共线时，射线是的角平分线D．在轨迹上存在点，使得【答案】BCD【解析】对于A，设，则，整理得，即，A错误；对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，设，，则，整理得，而点的轨迹方程为，于是，解得或（舍去），B正确；对于C，如图所示，当三点不共线时，，即，于是，显然，因此，射线是的角平分线，C正确；对于D，假设在C上存在点M，使得，设，则，，则，整理得，又，联立解得或，D正确.故选：BCD三、填空题12．（2023·广东东莞·高二东莞一中校考期中）已知圆心为的圆与直线：相切于点，则圆的方程为.【答案】【解析】因为圆心为的圆与直线：相切于点，所以，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为，故答案为：13．（2023·江西·高二校联考阶段练习）已知斜率为1的直线与圆交于，两点，为弦的中点，若的横坐标为，则的取值范围为.【答案】【解析】设，，的中点.由得，则，得.因为在圆内，所以，解得.故答案为：14．（2023·安徽黄山·高二校联考期中）已知P为圆上一点，则点到P点的距离的最大