初中数学微专题-费马点

初中数学·几何综合几何模型·专题复习——费马点一、费马点及结论费马点：就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点。二、费马点结论的证明例：P为△ABC内任一点，请找点P使它到三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？（1）当△ABC各角不超过120°时，如下图。解析：如图，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP=PP′，P′C′=PC，所以PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠AP′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°因此，当的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点。（2）当△ABC有一个内角超过120°时，如下图。解析：如图，延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP,PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是费马点因此，当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．三、费马点的求法当△ABC是三个内角皆小于120°三角形时，分别以AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。四、费马点的验证1.△ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点。则可得出结论：①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③△ABP、△ACP、△BCP全等；④点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；⑤点P是△ABC各边的中线的交点；⑥点P是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小。2.△ABC是等腰三角形，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点。则可得出结论：①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；②△ABP与△ACP全等；③△BCP为等腰三角形；④△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小。3.△ABC是直角三角形，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点。则可得出结论：①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°五、费马点与中考题例1（2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．图1图2分析：连接AC，发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到三个顶点的距离之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同．解：如图1，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE=BE+EF+FG（图2）．∵点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．∴线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上（图2）．设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=,GO=．∴BG=BO+GO=+．∵点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．∴+=，解得=2．注：本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，不妨一试．例2（2009年湖州中考题）若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点．（1）若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4,则PB的值为；（2）如图，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．解：（1）利用相似三角形可求PB的值为．（2）设点P为锐角△ABC的费马点，即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°如图，把△ACP绕点C顺时针旋转60°到△B′CE，连结PE，则△EPC为正三角形．∵∠B′EC=∠APC=120°，∠PEC=60°∴∠B′EC+∠PEC=180°即P、E、B′三点在同一直线上∵∠BPC=120°,∠CPE=60°，∴∠BPC+∠CPE=180°，即B、P、E三点在同一直线上∴B、P、E、B′四点在同一直线上，即BB′过△ABC的费马点P．又PE=PC，B′E=PA，∴BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC．注：通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构．在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转60°或90°的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决．例3：（2016盐城第3问）如图，已知A（-3，0）、C（1，0）、G（0，）.连接CG，如图，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR，求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．此题考“费马点”，由图易得PG=QR，PA=PR，所以PA+PC+PG=PR+PC+QR，所以当QRPC四点共线时取得最小值.4、已知P是边长为1的正方形ABCD内一点，求PA+PB+PC的最小值．5、如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为．6、如图，等边△ABC中，AB=4，P是△ABC中的任意一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为．7、如图，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，BM=BN，∠ABN=15°（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为+1时，正方形的边长为．8、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF，若AB=4，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长。9、