高中数学-1.6余弦函数的图像与性质课件-北师大必修4

§6余弦函数的图像与性质问题引航1.如何得到余弦函数的图像？什么是余弦曲线？2.余弦函数有哪些性质？如何利用这些性质解题？1.余弦函数图像的画法(1)平移法：左(2)五点法：①五个关键点：②函数y=cosx，x∈［0,2π］的简图：x0π2πcosx___________10-101(3)余弦曲线：y=cosx(x∈［0,2π］)的图像向左、向右平行移动(每次平移____个单位)得到余弦函数y=cosx(x∈R)的图像,此图像叫作余弦曲线.2π2.余弦函数的性质函数性质余弦函数y=cosx图像定义域R值域［-1,1］函数性质余弦函数y=cosx最值当x=2kπ(k∈Z)时，ymax=1当x=(2k+1)π(k∈Z)时，ymin=-1周期性是周期函数，最小正周期为____奇偶性是偶函数，图像关于y轴对称单调性在［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)上是_____的在［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上是_____的2π增加减少1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦函数y=cosx是偶函数，图像关于y轴对称，对称轴有无数多条.()(2)余弦函数y=cosx的图像是轴对称图形，也是中心对称图形.()(3)在区间［0，2π］上，函数y=cosx仅在x=0时取得最大值1.()2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y=｜cosx｜的单调增区间是________，单调减区间是________，最小正周期是________.(2)函数y=2cosx-1的值域是________.(3)函数y=f(x)=-cosx的奇偶性为________.【解析】1.(1)正确.由余弦函数的图像可得，对称轴方程为x=kπ(k∈Z),所以余弦函数的图像的对称轴有无数条.(2)正确.由余弦函数的图像可得函数关于点(k∈Z)成中心对称.(3)错误.在区间［0，2π］上，函数y=cosx在x=0与x=2π时取得最大值1.答案：(1)√(2)√(3)×2.(1)y=cosx的图像在x轴上方的不动，将下方部分对称地翻到x轴上方，即得到函数y=｜cosx｜的图像，如图所示，由图像可知，函数的最小正周期为π，又因为在上，函数的增区间是减区间是而函数的周期是kπ(k∈Z且k≠0)，因此函数y=｜cosx｜的增区间是

(k∈Z)，减区间是(k∈Z).答案：(2)因为y=cosx∈［-1,1］，所以2cosx-1∈［-3,1］.答案：［-3,1］(3)函数y=-cosx的定义域为R，f(-x)=-cos(-x)=-cosx=f(x)，所以函数为偶函数.答案：偶函数【要点探究】知识点余弦函数的图像与性质1.余弦函数性质与图像的关系(1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法.(2)余弦函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析式或单位圆推导才能下结论.2.对余弦函数单调性的三点说明(1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间.(2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性)，是求与之相关的值域(或最值)的关键，通常借助其求值域(或最值).(3)确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的判断方法.3.余弦函数的最值(1)明确余弦函数的有界性，即|cosx|≤1,解题时常会用到.(2)对有些函数，其最值不一定就是1或-1，要依赖函数的定义域来确定.(3)形如y=Acos(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx+φ=z,将函数转化为y=Acosz的形式求最值.【微思考】(1)由y=sinx，x∈R的图像得到y=cosx,x∈R的图像，平移的方法唯一吗？提示：可向左平移也可向右平移，方法不唯一.(2)形如y=Acos(ωx+φ)(A＞0,x∈R)的值域还是［-1,1］吗？提示：不一定是.值域是［-A,A］.【即时练】下列关于函数y=-3cosx-1的说法错误的是()A.最小值为-4B.是偶函数C.当x=kπ，k∈Z时，函数取最大值D.是周期函数，最小正周期为2π【解析】选C.当x=kπ,k∈Z时，y=cosx取到最大值1，而函数y=-3cosx-1取最小值.【题型示范】类型一“五点法”画余弦函数的图像【典例1】(1)利用“五点法”作余弦函数的图像时，第三个关键点的坐标为()A.(0，1)B.C.(π,-1)D.(2)用“五点法”作出y=1+cosx(0≤x≤2π)的简图.【解题探究】1.对余弦函数而言，五点法作图的五个点的坐标分别是什么？2.题(2)中函数y=1+cosx的最大值与最小值分别等于什么？【探究提示】1.五个点分别为(0，1)，，(π，-1)，，(2π，1).2.因为cosx∈［-1，1］，所以1+cosx∈［0，2］,即最大值为2，最小值为0.【自主解答】(1)选C.由五个点的坐标知第三个关键点为(π,-1).(2)列表如下：x0π2πy=cosx10-101y=1+cosx21012描点连线，可得函数y=1+cosx在［0,2π］上的图像如图所示：【方法技巧】“五点法”画函数图像的三个步骤【变式训练】作出函数y=1-cosx(0≤x≤2π)的简图.【解题指南】将［0,2π］这一区间四等分找到五个关键点然后描点、连线即可.【解析】列表：x0π2πy=cosx10-101y=1-cosx01210描点连线得y=1-cosx的图像(如图所示).【补偿训练】“五点法”画y=cos时，所取的五个点为_______.【解题指南】把作为一个整体看作是y=cosx中的x可得五点.即五个点分别为：答案：0π

2π

x

10-101【解析】列表可得：类型二余弦函数的奇偶性及应用【典例2】(1)(2013·佛山高一检测)函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值为()A.0B.C.D.π(2)(2014·绵阳高一检测)函数f(x)=sin(2x+)的奇偶性为_________.(3)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=sin2x+cosx，求f(x).【解题探究】1.f(x)为R上的偶函数应具备什么条件？2.利用诱导公式化简sin(2x+)等于什么？3.题(3)中已知函数f(x)为奇函数，求f(x)的一般原则是什么？【探究提示】1.应满足f(-x)=f(x).2.3.先求x=0时的解析式，再求x＜0时的解析式，对定义域内的取值要完整.【自主解答】(1)选C.当φ=0或π时，f(x)为奇函数，当φ=

时,为非奇非偶函数.只有当φ=时符合题意,故选C.(2)因为=-sin(2x+)=-cos2x，所以f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x),即f(x)为偶函数.答案：偶函数(3)因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x),所以f(0)=-f(0)，f(0)=0,当x＜0时，-x＞0,所以f(x)=-f(-x)=-［sin2(-x)+cos(-x)］=sin2x-cosx，所以【方法技巧】余弦函数奇偶性常用结论(1)因为余弦函数是偶函数，所以cosx=cos｜x｜.(2)y=cos(x+φ)，当φ=kπ+(k∈Z)时是奇函数；y=sin(x+φ)，当φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数.(3)余弦函数的对称轴和对称中心①对称轴方程为x=kπ(k∈Z).②对称中心的坐标为(+kπ,0)(k∈Z).【变式训练】函数f(x)=x2+cosx的奇偶性为______.【解析】因为x∈R，且f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cosx=f(x),所以函数f(x)是偶函数.答案：偶函数【补偿训练】函数y=cos(sinx)的奇偶性是________.【解析】函数定义域为R,又cos［sin(-x)］=cos(-sinx)=cos(sinx)，所以函数为偶函数.答案：偶函数类型三余弦函数的单调性与最值【典例3】(1)函数y=cos2x的一个增区间是()(2)求函数y=3cos2x-4cosx+1的最大值和最小值.【解题探究】1.题(1)中涉及的函数是哪种？2.题(2)中若将cosx变为t，则函数变为什么？【探究提示】1.涉及的函数是余弦函数.2.函数变为y=3t2-4t+1.【自主解答】(1)选D.令2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z，所以kπ-≤x≤kπ，当k=1时，x∈[,π].(2)令t=cosx，则-1≤t≤1,问题转化为求函数y=3t2-4t+1(-1≤t≤1)的最大值和最小值.因为所以函数在[-1,]上是减少的，在[,1]上是增加的，当t=时,y有最小值;当t=-1时,y有最大值，所以ymax=3+4+1=8.所以函数的最大值为8，最小值为-.【延伸探究】若将本题(2)增加条件x∈求最大值和最小值.【解析】令t=cosx,则y=因为x∈所以t∈函数在区间上是减少的.所以当t=-即cosx=-时,ymax=，此时x=.当t=即x=时，ymin=-.【方法技巧】求函数最大值、最小值的方法(1)直接法：根据函数值域的定义,由自变量的取值范围求出函数值的取值范围.(2)单调性法：利用函数的单调性.(3)图像法：利用函数的图像,转化为求函数图像上最高点和最低点的纵坐标的问题.(4)换元法:转化为一次函数、二次函数等函数问题.【变式训练】函数y＝4cos2x＋4cosx－2的值域为()A.［-2，6］B.［-3，6］C.［-2，4］D.［-3，8］【解题指南】利用换元法将函数变为二次函数，利用二次函数求最值.【解析】选B.设cosx=t，则y＝4cos2x＋4cosx－2＝4t2+4t-2=4(t2+t)-2=4(t+)2-3.因为－1≤cosx≤1，所以-1≤t≤1,所以ymin＝－3，【补偿训练】求函数y＝2cos(2x＋)，x∈的最大值与最小值.【解析】因为所以0≤2x＋所以－1≤2cos(2x＋)≤2，当cos(2x＋)＝1，即x＝－时，ymax＝2，当cos(2x＋)＝－，即x＝时，ymin＝－1.【规范解答】余弦函数值域的应用【典例】(12分)(2014·榆林高一检测)已知函数y=a-bcosx的最大值为，