几个非局部非线性可积方程的解及其性质

几个非局部非线性可积方程的解及其性质非局部微分方程通常是指一类同时含有对未知函数的积分和微分的方程。最近,Ablowitz和Musslimani提出了一个新的非线性Schr¨odinger方程:iq_t（x,t）=q_xx（x,t）±2q²（x,t）q^*（-x,t）。他们将这个方程称为空间反演的非局部非线性Schr¨odinger方程。自该方程提出后,关于它的诸多研究工作陆续涌现,包括该方程各种类型精确解的构造与分析、该方程与Landau-Lifshitz型方程的规范等价。本论文中所研究的非局部非线性方程也是这种类型的微分方程。本论文研究了几个非局部非线性可积方程的精确解及其性质和几个非局部非线性可积方程的Cauchy问题。主要内容如下:第一章,简要论述了一些研究可积系统的方法。逆散射变换方法是一个非常重要的方法。该方法是求解一类非线性可积偏微分方程Cauchy问题的一个里程碑式的工作。Darboux变换方法也是构造非线性可积系统精确解的重要方法。概述了最近关于非局部非线性Schr¨odinger方程的一系列研究进展。论述了本文的主要结果和创新点。第二章,研究的是一个时空反演的非局部修正Korteweg-deVries方程的Darboux变换、精确解及其性质。修正Korteweg-deVries方程可以从Euler方程导出,并且在流体力学、等离子物理以及其他物理领域中有诸多应用。在过去的几十年中,有许多关于修正Korteweg-deVries方程的研究工作,例如用Darboux变换、Hirota双线性等方法给出了该方程的各种类型的精确解,包括N-孤子解、complexiton解、multiple-pole解,以及用逆散射方法研究该方程的Cauchy问题等等。受到Ablowitz和Musslimani关于非局部非线性Schr¨odinger方程工作的启示,我们提出了一个时空反演的非局部修正Korteweg-deVries方程。该方程是Lax可积的。我们构造了该方程的n次Darboux变换。我们通过Darboux变换得到了这个新方程的精确解,包括孤子解、complexiton解、扭结解、怪波解、孤子之间的相互作用、孤子与扭结的相互作用等等。通过分析,我们揭示了这些解具有不同于经典修正Korteweg-deVries方程解的新性质。第三章,研究的是时空反演非局部修正Korteweg-deVries方程的Cauchy问题。我们构造了该方程的逆散射变换,在无反射势条件下,给出了该方程Cauchy问题的精确解表达式。我们得到了1-孤子解、2-孤子解以及呼吸子解,并指出了这些解具有不同于经典修正Korteweg-deVries方程解的性质。我们详细分析了非局部修正Korteweg-deVries方程逆散射问题与经典修正Korteweg-deVries方程逆散射问题的不同之处。第四章,研究了非局部离散非线性Schr¨odinger方程的稳态解与非局部非线性Schr¨odinger方程的Cauchy问题。逆散射方法在求解非线性可积方程Cauchy问题时,对于初值条件的要求相当高。对于一般的初值条件,用逆散射方法也难以求解。我们研究了空间反演的非局部非线性Schr¨odinger方程一般初值条件的Cauchy问题。我们考虑了该方程的两种离散格式:可积离散格式与不可积离散格式。基于离散Fourier变换与修正Neumann迭代,给出了不可积离散格式的稳态解,并阐明所得到的稳态解是线性不稳定的。还分析了可积离散格式稳态解的线性稳定性,指出了这些稳态解也是线性不稳定的。这一结果与经典离散非线性Schr¨odinger方程是不同的。我们应用6阶自适应步长Runge-Kutta方法研究了非局部非线性Schr¨odinger方程的Cauchy问题,指出了数值解的爆破时间与初值条件中参数之间的关系。第五章,研究了一个时空反演的非局部耦合无色散方程的Darboux变换、精确解及其性质。无色散方程有重要的物理应用。关于耦合无色散方程也有许多研究工作,包括一些精确解的构造与分析、规范等价的研究等等。我们推导出了时空反演的非局部耦合无色散方程,构造了该方程的n次Darboux变换,给出了一些精确解的表达式。从零种子解出发,通过1次和2次Darboux变换构造了精确解,