高中数学-1.4-生活中的优化问题举例课件-新人教A-选修22

1．4生活中的优化问题举例

自主学习新知突破1．通过实例体会导数在解决实际问题中的应用．2．能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．3．提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识．下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则对消费者而言，选择哪一种更合算呢？[提示]

对消费者而言，选择规格为2L的饮料更为合算．规格(L)21.250.6价格(元)5.14.52.5利用导数解决有关函数的最大值、最小值的实际问题，体现在以下几个方面：(1)与几何有关的最值问题(求几何图形或几何体的面积与体积的最值)；(2)与物理学有关的最值问题；(3)与利润及其成本有关的最值问题．导数在实际生活中的应用

解决优化问题的基本思路

解决优化问题的一般步骤：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论，找出问题的主要关系．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把待求最值的对象表示为该变量的函数．(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．此处主要是利用导数求函数最值．(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．答案：C解析：

原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：D3．做一个容积为256dm3的方底无盖水箱，它的高为________dm时最省材料．答案：4合作探究课堂互动面积容积最大最小问题

用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

解决面积或体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．

1．用长为18m的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？费用最省(成本最低)问题令h′(x)＝0，得x＝80，当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；当x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数．∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.∵h(x)在(0,120]上只有一个极值，∴它是最小值．答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．

1.用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答．2．利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．

利润最大问题

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出利润L的最大值Q(a)．

1.利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．2．用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：(1)建立函数关系式y＝f(x)；(2)求导函数y′；(3)令y′＝0，求出相应的x0；(4)指出x＝x0处是最值点的理由；(5)对题目所问作出回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值．3．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解析：

(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．

(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品销售利润最大．x[0,2)2(2,12)12(12,21]f′(x)－0＋0－f(x)

极小值

极大值

◎甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可