清华第五版数值分析第4章课件

清华第五版数值分析第4章课件目录contents插值法基本概念与性质拉格朗日插值法牛顿插值法与差分形式应用埃尔米特插值法三次样条插值法B样条曲线与曲面01插值法基本概念与性质插值法是一种数学方法，用于通过已知数据点来估计未知数据点。在数值分析中，插值法通常用于通过离散的点集来构造一个连续的函数，该函数在已知点上与给定函数值相等。插值法定义插值法在数值逼近、函数逼近、数据拟合等领域有广泛应用。通过插值法，我们可以对离散数据进行连续化处理，从而得到更加平滑和准确的函数表达式，便于进行进一步的分析和计算。插值法作用插值法定义及作用插值多项式存在唯一性定理插值多项式存在性对于给定的n+1个互异的数据点，一定存在一个n次多项式，使得该多项式在给定数据点上与给定函数值相等。插值多项式唯一性在满足插值条件的所有n次多项式中，存在且仅存在一个多项式，使得其在给定数据点上与给定函数值相等。插值误差是指插值函数与实际函数之间的偏差。在数值分析中，我们通常关注插值误差的上界和下界，以便对插值结果的准确性进行评估。插值误差收敛性分析是研究插值误差随着数据点数量的增加而减小的性质。一般来说，当数据点数量足够多时，插值误差可以趋近于零，从而实现对实际函数的准确逼近。收敛性分析插值误差与收敛性分析函数逼近与曲线拟合在科学实验和工程实践中，我们经常需要通过实验数据来拟合一个数学模型。插值法可以作为一种有效的函数逼近方法，帮助我们找到与实验数据相匹配的数学模型。数值求解微分方程在数值求解微分方程时，插值法可以用于构造微分方程的近似解。通过将微分方程离散化并应用插值法，我们可以得到微分方程的数值解，从而避免解析解的复杂计算。金融与经济分析在金融和经济领域，插值法可以用于估计未知时间点的数据。例如，在股票价格预测中，我们可以通过已知的历史数据来估计未来某一时刻的股票价格。图像处理与计算机图形学在图像处理中，插值法可以用于图像缩放、旋转和变形等操作。通过插值法，我们可以在保持图像质量的同时实现图像的变换。实际应用场景举例02拉格朗日插值法线性组合得到插值多项式将基函数与对应节点处的函数值进行线性组合，得到拉格朗日插值多项式。插值多项式的唯一性在给定节点处，满足插值条件的多项式是唯一的。构造插值基函数对于给定的插值节点，构造一组基函数，每个基函数在对应节点处取值为1，其余节点处取值为0。拉格朗日插值多项式构造方法线性插值当插值节点只有两个时，拉格朗日插值多项式退化为线性插值，即连接两个节点的直线。抛物线插值当插值节点有三个时，拉格朗日插值多项式变为二次多项式，即抛物线插值。特例应用在线性插值和抛物线插值的特例下，可以方便地求解一些实际问题，如表格查找、图像处理等。线性插值和抛物线插值特例讲解高次插值问题不稳定性分析改进措施高次插值问题及其不稳定性分析随着插值节点数的增加，拉格朗日插值多项式的次数也会增加，可能导致插值结果的不稳定，即Runge现象。高次插值多项式在节点处的震荡可能导致在非节点处的误差被放大，使得插值结果失去意义。为了避免高次插值的不稳定性，可以采取分段低次插值、样条插值等方法进行改进。改进策略：分段低次插值思想分段低次插值在实际应用中具有广泛的适用性，如数值逼近、函数绘制、数据拟合等领域。应用场景将插值区间分成若干个小段，在每个小段上分别进行低次插值，然后将各段插值结果连接起来。分段低次插值思想分段低次插值可以有效地避免高次插值的不稳定性问题，但同时也会增加计算量和存储量。此外，在分段点处可能存在不连续或导数不连续的问题，需要进行特殊处理。优点与局限性03牛顿插值法与差分形式应用插值多项式定义通过给定数据点集，构造一个多项式函数，使其在这些点上取值与给定函数相同。牛顿插值多项式形式采用逐次生成的方式，从低次到高次逐项添加，便于计算和编程实现。构造步骤确定初始点，计算各阶差商，逐步生成牛顿插值多项式。牛顿插值多项式构造过程差商定义函数值之间的差与自变量之间差的比值，反映了函数值的变化率。差商性质差商具有对称性、线性性和递推性等重要性质，便于实际应用。差商计算采用递推公式进行计算，降低计算复杂度。差商计算及性质讨论123基于函数值的前向变化量，推导出差分表达式。前向差分公式基于函数值的后向变化量，推导出差分表达式。后向差分公式差分公式在数值计算中具有广泛应用，如数值微分、数值积分等。差分公式应用牛顿前向和后向差分公式推导03实际应用案例在工程、科学计算等领域，数值积分和微分方程求解是常见的计算问题，牛顿插值法和差分形式的应用具有重要价值。01数值积分利用牛顿插值多项式对给定函数进行近似表示，进而计算定积分。02微分方程求解将微分方程离散化，利用差分公式和牛顿插值多项式进行近似求解。实际应用：数值积分和微分方程求解04埃尔米特插值法定义埃尔米特插值多项式是一种特殊的多项式插值，它不仅要求插值多项式在给定节点上与被插函数取值相同，还要求在某些节点上与被插函数的导数值也相同。条件给定一组互异的节点$x_0,x_1,ldots,x_n$和对应的函数值$f_0,f_1,ldots,f_n$，以及部分节点的导数值$f'_0,f'_1,ldots,f'_m$（其中$mleqn$），埃尔米特插值多项式$H(x)$需要满足：$H(x_i)=f_i$，$H'(x_j)=f'_j$，其中$i=0,1,ldots,n$，$j$为给定导数值的节点编号。埃尔米特插值多项式定义及条件VS在埃尔米特插值中，如果存在某个节点$x_i$，使得$x_i=x_{i+1}=ldots=x_{i+k}$，则称$x_i$为$k+1$重节点。拉格朗日型余项表达式在重节点情况下，埃尔米特插值多项式的拉格朗日型余项表达式会发生变化。具体地，设$R(x)$为插值余项，则有：$R(x)=frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}omega_{n+1}(x)$，其中$xi$位于插值区间内，$omega_{n+1}(x)=prod_{i=0}^{n}(x-x_i)$，且对于重节点$x_i$，其对应的因子$(x-x_i)$的幂次应等于该节点的重数。重节点定义重节点情况下拉格朗日型余项表达式与拉格朗日型余项不同，埃尔米特型余项不仅与被插函数的高阶导数有关，还与节点的分布和重数有关。对于埃尔米特型余项的估计，通常采用泰勒展开式结合插值条件进行推导。具体地，设$R(x)$为埃尔米特插值多项式的余项，则有：$R(x)=O(h^{n+1})$，其中$h$为插值节点的最大间距，$n$为插值多项式的次数。需要注意的是，这里的余项估计是一个渐进性质，即当$hto0$时成立。埃尔米特型余项定义估计方法埃尔米特型余项估计方法曲线拟合埃尔米特插值多项式在曲线拟合中有着广泛的应用。通过给定一组离散的数据点和部分节点的导数值，可以构造出一个满足条件的埃尔米特插值多项式来逼近原始曲线。这种方法在数据可视化、数值计算等领域具有重要意义。函数逼近问题除了曲线拟合外，埃尔米特插值多项式还可以用于解决函数逼近问题。在实际应用中，许多函数可能无法直接求解或者计算复杂度较高，这时可以通过构造一个逼近的埃尔米特插值多项式来近似计算原函数的值或者导数值。这种方法在科学计算、工程设计等领域具有广泛的应用前景。实际应用：曲线拟合和函数逼近问题05三次样条插值法在每个小区间上是三次多项式，整个区间上二阶导数连续的分段函数。三次样条函数定义满足插值条件、一阶导数连续和二阶导数连续。三次样条插值条件与多项式插值相比，三次样条插值能够避免Runge现象，具有更好的稳定性和光滑性。与其他插值方法比较三次样条函数概念及条件用于求解三次样条插值函数的系数矩阵方程组。三弯矩方程组概念根据三次样条插值条件，构造包含未知系数的线性方程组。方程组建立采用追赶法或高斯消元法等数值方法求解三弯矩方程组，得到三次样条插值函数的系数。求解方法三弯矩方程组建立与求解过程分析三次样条插值函数与被插函数之间的误差界限。误差估计讨论当插值节点增加时，三次样条插值函数逼近被插函数的收敛速度。收敛速度考察三次样条插值在节点扰动下的稳定性表现。稳定性分析误差估计及收敛速度分析路径规划在机器人路径规划、游戏角色运动轨迹等领域，应用三次样条插值实现平滑路径生成。数据拟合在科学实验数据处理中，利用三次样条插值对数据进行拟合，得到光滑曲线以揭示数据背后的规律。曲线生成在计算机图形学中，利用三次样条插值生成光滑曲线，用于绘制图形和动画。实际应用：计算机图形学中曲线生成技术06B样条曲线与曲面B样条基函数定义B样条基函数是一种分段多项式函数，用于构造B样条曲线和曲面。其定义基于节点向量和递推公式，具有局部支撑性和连续性等性质。B样条基函数性质B样条基函数具有非负性、局部支撑性、可微性、单位分解性、线性无关性等重要性质，这些性质使得B样条曲线和曲面在几何造型中具有广泛的应用。B样条基函数定义及性质B样条曲线生成原理及表示方法B样条曲线是通过控制点和B样条基函数生成的。给定一组控制点和相应的节点向量，可以利用B样条基函数的线性组合来表示曲线上的任意一点。B样条曲线生成原理B样条曲线可以采用分段多项式函数的形式进行表示，也可以利用控制点和节点向量进行参数化表示。参数化表示方法具有更好的几何不变性和计算效率。B样条曲线表示方法B样条曲面生成原理B样条曲面是由两个方向上的B样条曲线张量积生成的。给定一组控制点和两个方向上的节点向量，可以利用B样条基函数的双线性组合来表示曲面上的任意一点。要点一要点二B样条曲面表示方法B样条曲面可以采用双线性多项式函数的形式进行表示，也可以利用控制点和两个方向上的节点向量进行参数化表示。参数化表示方法同样具有更好的几何不变性和计算效率。B样条曲面生成原理及表示方法CAD/CAM系