胡不归+阿氏圆+费马点+最大广角

棒棒堂培训进取高效自信书不记，熟读可记；义不精，细思可精。5/16“胡不归”模型有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子胡不归，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。但是，他忽略了在驿道上（V1）行走要比在砂土地带（V2）行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但速度可以加快），是可以提前抵达家门的。解题步骤：①将所求线段和改写为“BD＋AD”的形式（0＜＜1）；②在AD的一侧，BD的异侧，构造一个角度α；③过B作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值．课堂巩固1、如图，△ABC中，BC=2,∠ABC=30°，则2AC+AB的最小值为

。2、如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点,则AM+BM的最小值为

。3、如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=时，运动时间最短为秒。阿氏圆入门专题引入如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,☉C半径为2,P为圆上一动点,连接AP,BP,则AP+12BP的最小值为阿氏圆入门破题口诀一算破心线（其长度=半径的平方÷权心线二定破题点（在圆心至权心线的连线或延长线上截取破心线的长度，得破题点）。三连破非线（破题点到非加权点的连线）四求破非线。（破非线与圆的交点即为动点位置）说明：确定PA+1/2PB的最短距离。则定点B叫加权点（简称权）；定点A叫非加权点（简称非）；心当然指圆心；破题点为构造母子相似的关键点。

【费马点解析】“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。【换言之：若给定一个△ABC，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点的距离之和都要小。这个特殊点对于每一个给定的三角形有且只有一个。】那么，如何找寻费马点呢？【费马点的找法】一、以△ABC的三边向外分别作等边三角形，然后把外面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P，点P就是原三角形的费马点；二、以△ABC的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在△ABC内部交于点P，点P就是原三角形的费马点；若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点；当△ABC为等边三角形时,此时内心与费马点重合。【费马点的主要性质】1、费马点到三角形三个顶点的距离和最小；2、费马点与三角形的三个顶点的连线夹角皆为120°。【费马点证明】—通过旋转来解决将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△A'BP'，连接PP'。那么PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC≥A'C，所以，A'、P'、P、C四点共线时，值最小，根据等边△BPP'可得∠BP'P=∠BPP'=60°，那么∠BP'A'=∠BPC=120°，所以∠BP'A=∠BPA=120°，即可证明：费马点与三角形的三个顶点的连线夹角皆为120°。【例题讲解】如图,正方形ABCD的边长为4,点P为对角线BD(不含B点)上任意一点,连接AP、CP.点P点在何处时，AP+BP+CP的值最小，并说明理由。【解析】以AB、BP为边分别作等边三角形，那么BP=PP'；可证明△ABP和△A'BP'全等，将AP转为A'P'，那么只要A'、P'、P、C四点共线即可；其实我们在图二中，连接AC，就可以看出上述的模型。在求解最小值方面，第一种方法，连接AC，△ACE是含30°的直角三角形，△AA'E是含45°的直角三角形，其中AC的值可求，那么解直角三角形即可；第二种方法，借助等腰△A'BC和15°角，构造含30°角的直角三角形，即Rt△A'BE，直接勾股定理求斜边长度。【延伸】如果给出AP+BP+CP=的最小值，求正方形边长呢？胡不归变型【当堂检测】

小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小。【特例】如图1,点P为等边△ABC的中心,将△ACP绕点A逆时针旋转60∘得到△ADE,从而有DE=PC,连接PD得到PD=PA,同时∠APB+∠APD=120°+60°=180°,∠ADP+∠ADE=180°,即B.

P、D.

E四点共线,故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE.在△ABC中,另取一点P′,易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等,可证明B.

P′、D′、E四点不共线,所以P′A+P′B+P′C>PA+PB+PC，即点P到三个顶点距离之和最小。【探究】(1)如图2,P为△ABC内一点,∠APB=∠BPC=120∘，证明PA+PB+PC的值最小；【拓展】(2)如图3,△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=30∘，且点P为△ABC内一点，求点P到三个顶点的距离之和的最小值。问题提出(1)如图①,已知△OAB中,OB=3,将△OAB绕点O逆时针旋转90∘得△OA′B′,连接BB′.则BB′=___；问题探究(2)如图②,已知△ABC是边长为4的等边三角形,以BC为边向外作等边△BCD,P为△ABC内一点,将线段CP绕点C逆时针旋转60∘，点P的对应点为点Q.①求证：△DCQ≌△BCP；②求PA+PB+PC的最小值；问题解决(3)如图③,一直矩形ABCD,其中AB=5m，AD=8m，在矩形ABCD的内部有一点P,连接PA、PD,在BC边上（含B、C）有一点M，连接PM.当点M,P位于何处时，PA+PD+PM的值最小。

最大张角问题（米勒定理）问题背景（如图）假设：A—B是一个足球门（当然是两个定点），一个对方球圆沿OM运球。问：此球圆在何处使命，进球的机会最大？⑵又假设：在OM这面墙上安装一个监控摄像头来监扛AB路段的行车状况。问；安装在何处效果最佳？问题化归（如图）：上述两个问题实际上可以化归为如下数学模型：在∠MON的一边上有两爹定点A、B，在另一边上有一动点P，动点位于ON边上的何处时，∠PAB最大？（所谓的张角最大，效果最佳：射门、观察、视野最“宽”）。问题解决第一步：做一个过A、B两点的圆，同时和OM相切于点P。第二步：P点即为所求。第三步：确定`P点位置：用切割线定理秒杀：练习1：问题提出（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB∠ACB（填“>”“<”“＝”）；

问题探究

（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；

问题解决

（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB＝6米），下边沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，