数值分析1-2数值计算的误差教程教案

数值分析1-2数值计算的误差教程教案汇报人：文小库2024-01-17CONTENTS绪论误差的基本概念与性质数值计算的稳定性与收敛性减小误差的方法与技术误差分析在数值计算中的应用总结与展望绪论01数值分析是研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支。研究对象数值分析以计算机为工具，以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象，以误差为研究核心。特点数值分析的研究对象与特点在数值计算中，误差主要来源于模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差等。根据误差的性质和来源，可分为绝对误差和相对误差；根据误差的表现形式，可分为代数误差、系统误差和随机误差等。误差的来源与分类分类来源为了防止有效数字的严重损失，需要避免两个相近的数直接相减。避免两个相近的数相减在加减运算中，要防止因有效数字位数不够而造成的精度损失。避免大数“吃掉”小数在保证精度的前提下，尽量简化计算步骤和减少运算次数，以提高计算效率。简化计算步骤，减少运算次数选择数值稳定的算法可以减小误差的传播和积累，提高计算结果的可靠性。采用数值稳定的算法数值计算的基本原则误差的基本概念与性质02绝对误差准确值与近似值之差，表示了近似值的精确程度。相对误差绝对误差与准确值之比，用于比较不同量级近似数的精确度。绝对误差与相对误差舍入误差由于计算机采用有限字长进行数值计算而产生的误差，表现为最后结果的精度损失。截断误差采用近似方法（如泰勒级数展开、插值法等）代替精确运算而产生的误差，与算法本身有关。舍入误差与截断误差在数值计算过程中，前一步的误差可能会影响到后续计算步骤的结果，导致误差的逐步传递和放大。误差传播随着计算步骤的增加，每一步产生的误差会逐渐累积，可能导致最终结果的严重失真。为了控制误差累积，需要采取适当的数值稳定措施和算法优化。误差累积误差的传播与累积数值计算的稳定性与收敛性03稳定性的概念与判别方法稳定性的概念数值计算方法的稳定性是指当输入数据有微小变化时，计算结果的变化也是微小的，即计算方法是稳定的。判别方法通常采用放大因子或增长因子来判断计算方法的稳定性。如果放大因子或增长因子小于等于1，则计算方法是稳定的；否则是不稳定的。数值计算方法的收敛性是指当迭代次数增加时，计算结果逐渐逼近精确解的性质。收敛性的概念通常采用残差或误差来判断计算方法的收敛性。如果残差或误差随着迭代次数的增加而逐渐减小，并且最终趋于0，则计算方法是收敛的；否则是不收敛的。判别方法收敛性的概念与判别方法稳定性是收敛性的必要条件如果数值计算方法是稳定的，那么它一定是收敛的；但是，如果数值计算方法是收敛的，它不一定是稳定的。稳定性与收敛性的关系因具体问题而异在某些情况下，稳定性与收敛性是一致的，即稳定的计算方法也是收敛的；而在另一些情况下，稳定性与收敛性可能是矛盾的，即稳定的计算方法可能不收敛，或者收敛的计算方法可能不稳定。在实际应用中需要综合考虑在选择数值计算方法时，需要综合考虑其稳定性、收敛性以及计算效率等因素，选择最适合的方法进行计算。稳定性与收敛性的关系减小误差的方法与技术04相近的数相减会放大相对误差，应尽量避免这种情况。在运算中，大数与小数相加或相减时，小数可能会被忽略，从而导致误差。简化计算步骤可以减少运算次数，从而减少误差的积累。避免相近数相减防止大数“吃掉”小数注意简化计算步骤避免误差危害的若干原则不同的算法有不同的误差特性，应选用适合问题特性和精度要求的算法。通过增加运算次数，可以降低单次运算的误差对结果的影响。对于某些特定的运算，可以采用补偿技术来减小误差。选用合适的算法增加运算次数采用补偿技术减小运算误差的方法高精度算法可以提供更高的计算精度，但通常需要更多的计算资源和时间。数值稳定的方法可以在计算过程中保持误差的稳定性，从而避免误差的快速增长。通过对计算过程进行误差分析和控制，可以及时发现并纠正潜在的误差问题。采用高精度算法使用数值稳定的方法进行误差分析和控制提高计算精度的技术误差分析在数值计算中的应用05插值法误差插值法通过已知数据点构造多项式或其他函数，以近似未知数据点。误差主要来源于插值多项式的选择和数据点的分布。通常，增加已知数据点可以降低插值误差。逼近法误差逼近法通过选择一组基函数，将目标函数表示为基函数的线性组合。误差主要来源于基函数的选择和系数的确定。合适的基函数和精确的系数可以减小逼近误差。插值法与逼近法中的误差分析数值积分与微分中的误差分析数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）用于近似计算定积分。误差主要来源于积分方法的选择和积分步长的确定。减小步长可以提高数值积分的精度，但计算量也会相应增加。数值积分误差数值微分方法（如差分法、中心差分法等）用于近似计算函数的导数。误差主要来源于微分方法的选择和步长的确定。同样地，减小步长可以提高数值微分的精度，但也可能增加计算量和对舍入误差的敏感性。数值微分误差VS直接法（如高斯消元法、LU分解法等）用于精确求解线性方程组。然而，由于计算机舍入误差的存在，直接法求解过程中可能产生累积误差。合适的算法选择和实现细节可以降低直接法的误差。迭代法误差迭代法（如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等）用于近似求解线性方程组。误差主要来源于迭代方法的收敛性和初始向量的选择。合适的迭代方法和初始向量可以加快收敛速度并减小误差。同时，迭代法的收敛性还与线性方程组的性质（如条件数）密切相关。直接法误差线性方程组求解中的误差分析总结与展望06数值计算基本概念数值计算方法误差分析与控制数值实验与案例分析课程总结与回顾介绍了数值计算的基本概念和原理，包括误差、稳定性、收敛性等。重点分析了数值计算中的误差来源和控制方法，包括截断误差、舍入误差、算法稳定性等。详细讲解了数值计算中常用的方法，如插值法、拟合法、数值积分、数值微分、线性方程组的解法等。通过多个数值实验和案例分析，加深了对数值计算方法和误差控制的理解和掌握。对未来学习的建议与展望深入学习数值计算理论建议学生继续深入学习数值计算的理论知识，包括更高级的数值算法、误差分析技巧等。掌握常用数学软件鼓励学生熟练掌握MATLAB、Python等常用数学软件，