2012高考求数列通项公式的方法总结

PAGEPAGE3求数列通项公式的方法一、观察法：通过观察数列的前几项，归纳猜想数列的通项公式（一）公式法：通过观察，若数列是等差或等比数列，则可确定基本量套等差或等比数列的通项公式，这种求通项公式的称为公式法（1）1，2，3，4，5，……；（2）1，2，4，8，16，……；（3）1，-1，1，-1，1，-1，……；此法的观察角度：数列是否成等差或等比数列（二）类比联想法：象这样联想基本数列（基本函数），找出与基本数列的关系，求通项公式的方法叫联想类比法（需熟记一些基本数列的通项公式）常用基本数列有：（1）1，2，3，4，5，……（2）1，2，4，8，16，……（3）-1，1，-1，1，-1，……（4）1，-1，1，-1，1，……（5）9，99，999，9999，99999，……等。请根据前几项，求下列数列的通项公式（1）1，4，9，16，25，…（2）1，0，1，0，1，0，…（3）0，1，0，1，0，1，…（4）2，3，5，9，17，…解：（1）类比数列1，2，3，4，5，……（2）类比数列1，-1，1，-1，1，……（3）类比树列-1，1，-1，1，-1，……或（2）中数列（4）类比数列1，2，4，8，16，……此法的观察角度：找已知通项公式的基本数列的关系，（如：运算关系）（三）变形转化法：通过对数列的各项进行变形，转化为等差或等比数列用公式法，这种方法叫变形转化法。变形目的化归等差（比）数列，请根据数列的前几项，求下列数列的通项公式（1）11，103，1005，10007，……（2）9，99，999，9999，……（3）解：（1）变形为10+1，100+3，1000+5，10000+7，…（2）变形为10-1，100-1，1000-1，10000-1，…（3）变形为此法的观察角度：变形后，先观察部分规律，然后得整体（四）、逐项作差（商）累加（乘）法：若通过观察，发现数列从第二项起，每一项与它前一项的差（或商）成等差（比）数列，则可通过累加（或累乘）转化为等差（比）数列的前n项和，求数列的通项公式，此法叫做逐项求差累加法。等差（比）数列通项的推导就是此法请根据前几项，求下列数列的通项公式（1）3，5，9，15，23，……（2）9，99，999，9999，……解：（1）=（5-3）+（9-5）+（15-9）+（23-15）+……+3=（2+4+6+8+……）+3=此法的观察角度：逐项求差组成的数列是否成等差数列或等比数列思路整合上述四种方法可统称为观察法，都是通过观察前几项，归纳猜想数列的通项，其基本思路是：首先要观察：观察的角度有①数列是否为等差或等比，若是，则用公式法；②若不是，则可类比基本数列（即找与基本数列的关系）或③变形转化为等差（或等比）数列用公式法或④通过逐项求差（商）累（乘）化归为等差或等比的前n项和来求通项。其次观察时要遵循先部分后整体的原则，符号的规律用基本数列来调解。如：分式形式的数列，分子找规律，得分子的通项，分母找规律，得分母的通项，这是先部分，然后得出整体的通项。又如：正负相间的数列，可先定符号。二、由前项和与通项的关系：求通项例1：已知数列前n项和为（1）若，求（2）若，求（3）若，求解法一：求出数列的前几项，归纳猜想求通项公式解法二：判断数列为等差数列，用公式法求通项公式解法三：由数列的与的关系求通项公式，易错点：易忽略公式是分段的例2、已知数列的前n项和为，且求评：（1）用转换，转换方式有两种，或保留或保留（2）两种方法的实质方程思想中的消元统一变量，例3、若数列的前n项和为，求数列的通项公式例4、各项均为正数等差数列且成等差数列，求数列的通项公式。例5、（2008全国2）设数列的前n项和为Sn，已知，设求数列的通项公式。例6：（2008山东）已知数列的前n项和为，且b1=1,，求数列的通项公式。例7、设数列的前n项和为Sn，且，求三、利用递推关系求通项的方法：1、2、3、4、思路一、根据递推关系，求出前几项利用观察法求通项。思路二、适当变形（两边加减一个适当的数、取倒数、取对数等）构造数列，化归为等差或等比数列思路三、采取累加累乘或采用迭代的方法例1、（1）已知数列，，求（2）已知数列，，，求例2、1、已知求；2、已知求例3：1、已知数列中，，求2、已知数列中，，求例4、1、在数列中，求；2、在数列中，，3、已知数列中，，，求数列的通项公