多个样本均数比较的方差分析教材

多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想及其应用条件完全随机设计资料的方差分析随机区组设计资料的方差分析拉丁方设计资料的方差分析两阶段交叉设计资料的方差分析多个样本均数间的多重比较多样本方差比较的Bartlett检验和Levene检验主要内容方差分析的基本思想完全随机设计(成组设计)资料的方差分析随机区组设计的方差分析多个样本均数的两两比较方差分析的应用条件正态性检验方差齐性检验变量变换注意点因素和水平因素(factors)：将试验对象随机分为若干个组，加以不同的干预，称为处理因素。性别对红细胞计数的影响是否手术治疗对生存率的影响在相同的因素下的不同干预，称为不同的水平(level)性别：男、女是否手术：是、否问题的提出一种新的降血脂药，120人分为安慰剂组，用药组1(2.4g)，用药组2(4.8g)，用药组3(7.2g)。实验结束后观察血脂水平。？单因素四水平安慰剂组X=3.43mmol/l用药组2X=2.70mmol/l用药组1X=2.72mmol/l用药组3X=1.97mmol/l方差分析方差分析，又称变异数分析。AnalysisofVariance，简写为ANOVA。由英国统计学家R.A.Fisher提出。第一节方差分析的基本思想例4-2某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择120名高血脂患者，采用完全随机设计方法将患者等分为4组（具体分组方法见例4-1），进行双盲试验。6周后测得低密度脂蛋白作为试验结果，见表4-3。问4个处理组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有无差别?分组测量值统计量n安慰剂组3.534.594.342.663.593.132.642.563.503.25303.43102.91367.853.304.043.533.563.854.073.523.934.192.961.373.932.332.984.003.552.964.34.162.59

降血脂新药302.7281.46233.002.4g组2.423.364.322.342.682.951.563.111.811.771.982.632.862.932.172.722.652.222.902.972.362.562.522.272.983.722.803.574.022.314.8g组2.862.282.392.282.482.283.212.232.322.68302.7080.94225.542.662.322.613.642.583.652.663.682.653.023.482.422.412.663.292.703.042.811.971.687.2g组0.891.061.081.271.631.891.192.172.281.72301.9758.99132.131.981.742.163.372.971.690.942.112.812.521.312.511.881.413.191.922.471.022.103.711202.71342.3958.52总变异（Totalvariation）：全部测量值Xij与总均数间的差别

组间变异（betweengroupvariation）各组的均数与总均数间的差异组内变异（withingroupvariation)每组的10个原始数据与该组均数的差异

试验数据有三个不同的变异

下面先用离均差平方和(sumofsquaresofdeviationsfrommean，SS)表示变异的大小

变异间的相互关系“变异”的含义SS组间反映了各组均数间的变异程度组间变异＝①随机误差+②处理因素效应

在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异。SS组内仅仅反映了随机误差的影响。也称SS误差均方(meansquare，MS)均方之比＝FvalueF界值表附表4F界值表（方差分析用，单侧界值）上行：P=0.05下行：P=0.01分母自由度υ2分子的自由度，υ1123456

1161200216225230234

405249995403562557645859

218.5119.0019.1619.2519.3019.33

98.4999.0099.1799.2599.3099.33

254.243.392.992.762.602.49

7.775.574.684.183.853.63

方差分析的基本思想

首先将总变异分解为组间变异和误差（组内）变异，然后比较两者的均方，即计算F值，若F值大于某个临界值，表示处理组间的效应不同，若F值接近甚至小于某个临界值，表示处理组间效应相同(差异仅仅由随机原因所致)。对于不同设计的方差分析，其思想都一样，即均将处理间平均变异与误差平均变异比较。不同之处在于变异分解的项目因设计不同而异。总变异总的离均差平方和包括处理因素不同水平的效应所导致的变异，也包括随机误差无法用处理因素所解释的部分变异（随机误差）方差分析的原理尺度处理因素为0组间变异组内变异处理因素大于0组间变异组内变异完全随机设计资料的方差分析步骤建立假设

H0：µ1=µ2=µ3=µ4H1

：µ1、µ2、µ3、µ4不等或不全相等选择检验水准α=0.05；计算统计量计算变异：总、组间、组内变异计算自由度：总、组间、组内自由度计算均方：组间、组内计算F值1.总变异与自由度SS总反映了所有测量值之间总的变异程度，

SS总=各测量值Xij与总均数差值的平方和2.组间变异n1n2n3

SS组间反映了各组均数与总的平均值的变异程度mi

mj

在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异。3.组内变异m

i

计算统计量方差分析表变异来源SSDFMSF值P值组间32.16310.7224.93<0.01组内49.941160.43总计82.10119F0.01(3,116)=3.98结论按=0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为四组的差别具有统计学意义，四组低密度脂蛋白值的总体均数不同。如想知道哪两组间有差别可进行多个均数的两两比较。例：随机抽取50-59岁男性正常者、冠心病人、脂肪肝患者各11人，测定空腹血糖值(见下表)，试推断这三类人群总体均值是否相同?

正常组冠心病组脂肪肝组

4.756.265.784.754.366.684.775.245.444.614.675.864.494.555.674.025.185.245.034.615.424.575.125.144.215.266.094.884.835.744.625.595.72

正常组冠心病组脂肪肝组

4.756.265.784.754.366.684.775.245.444.614.675.864.494.555.674.025.185.245.034.615.424.575.125.144.215.266.094.884.835.744.625.595.72ni50.7055.6762.78169.15()

11111133(N)

4.615.065.715.13()234.52284.71360.12879.35()

（1）计算离均差平方和

H0:μ1=μ2=μ3,H1:μ1、μ2、μ3不等或不全相等

α=0.051.建立检验假设，确定检验水准2.计算统计量FSS总==879.35-867.02=12.33SS组间=

SS组内=SS总-SS组间=12.33-6.70=5.63（3）计算均方（4）计算统计量FF=MS组间/MS组内=3.35/0.19=17.63（2）计算自由度

总=N-1=33-1=32

组间=k-1=3-1=2

组内=N-k=33-3=30

MS组间=SS组间/

组间=6.70/2=3.35MS组内=

SS组内/

组内=5.63/30=0.194.列方差分析表

查F表得到：F0.05(2,30)=3.32，F0.01(2,30)=5.39F=17.63>5.39，则p<0.01,拒绝H0

可认为三组人群的空腹血糖有显著性差异3.确定概率，判断结果

方差分析表变异来源

SS

MSFP组间组内总

6.7023.3517.63

<0.01

5.63300.1912.3332第二节 完全随机设计的方差分析完全随机设计(completelyrandomdesign)

也叫单因素方差分析（one－wayANOVA）。将受试对象随机地分配到各个处理组的设计。完全随机设计方法变异分解分析步骤完全随机设计方法

随机分组方法：

1.编号,确定分组方案（如较小10个随机数为A，中间10个数为B，较大10个随机数为C）

2.产生随机数字（附表15，或电脑），排序

3.按方案分组编号12345678910…2930随机数12398127262801131605…2984分组ABCBBCAAAA…BCi为组的编号，1，2，3

j为组内为个体编号，1，2，…，10变异分解及检验步骤单因素方差分析步骤1.建立检验假设，确定检验水准H0:μ1=μ2=…=μa

H1:μi≠μj,α=0.052.计算统计量F

（1）计算各部分离均差平方和：

SS总==SS组间==SS组内=SS总-SS组间（2）计算自由度：

总=N-1

组间=k-1

组内=N-k（3）计算均方：（4）计算统计量F：F=MS组间/MS组内

MS组间=SS组间/

组间

MS组内=SS组内/

组内

单因素分析的方差分析表3.确定概率，判断结果查F表，得到F0.05，（

组间,

组内)

的临界值，如果F>F0.05，（

组间,

组内)

，则p<0.05，拒绝H0。4.列方差分析表变异来源

SS

MSFP总组间组内【例】某医师研究胃癌与胃粘膜细胞中DNA含量的关系，分别测定正常人、胃粘膜增生患者和胃癌患者的胃粘膜细胞中DNA含量（A.U），数据如表。试问三组人群的胃粘膜细胞中DNA含量是否相同？正常人胃粘膜增生胃癌11.913.920.313.417.217.89.016.523.410.714.717.113.714.620.612.213.019.512.812.016.414.016.422.211.514.120.112.915.617.612.614.818.213.513.922.910.819.912.1ni141213N=3912.22114.72519.69215.482胃癌与胃粘膜细胞中DNA含量的关系171.12115.75176.72626.932565100.74603.89843.42完全随机设计资料的方差分析步骤建立假设：H0：

I=

II=

IIIH1：三组的DNA平均含量不同或不全相同。

=0.05分别计算SS总，SS组间，和SS组内。总变异：

组间变异： 组内变异：方差分析表变异来源SSVMSF组间386.162193.0863.66组内109.20363.03总495.3638方差分析结论该F值分子的自由度

组间=2，分母的自由度

组内=36，查方差分析表得F0.01(2,36)=5.25，F＞F0.01(2,36)，则P＜0.01。拒绝H0，接受H1，故可认为三组总体均数不相等或不全相等。上述结论仅说明三组总体均数有差别，并不表示任何两组总体均数均有差别。若要了解组相互间有无差别，还需作进一步的两两比较。单因素方差分析：研究的是一个处理因素的不同水平间效应的差别；处理因素水平1水平2水平k水平1水平2t检验与F检验的关系t检验与F检验的关系

当处理组数为2时，对于相同的资料，如果同时采用t检验与F检验，则有：随机单位组设计ANOVA的处理组F值与配对设计的t值；完全随机设计ANOVA的F值与两样本均数比较的t值间均有：第三节 随机区组设计的方差分析

随机区组设计(randomizedblockdesign)

：又称配伍组设计，也叫双因素方差分析（two--wayANOVA）。是配对设计的扩展。具体做法：将受试对象按性质（如性别、年龄、病情等）（这些性质是非处理因素，可能影响试验结果）相同或相近者组成b个单位组（配伍组），每个单位组中有k个受试对象，分别随机地分配到k个处理组。这样，各个处理组不仅样本含量相同，生物学特点也较均衡。比完全随机设计更容易察觉处理间的差别。

随机区组设计方法

每个单位组内随机：1.将同种类同窝大白鼠为一个单位组，并编号；2.给同窝中3只大白鼠编号；规定随机数小者分到甲组，中等分到乙组，大者分到丙组；3.给每个大白鼠一个随机数；4.按规定分组表4个单位组大白鼠按随机单位组组设计分组单位组号1234小白鼠123456789101112随机数683526009953936128527005序号321132321231

分配结果丙乙甲甲丙乙丙乙甲乙丙甲

随机区组设计资料的总平方和可以分解为三项：

SS总=SS误差+SS组间+SS区组间总=

误差+组间+

区组间(1)总变异：所有观察值之间的变异(2)处理间变异：处理因素＋随机误差(3)区组间变异：区组因素＋随机误差(4)误差变异：随机误差变异分解总变异=处理变异＋区组变异＋误差处理变异＝T＋E区组变异＝B＋EH0为真，即无处理效应时，在大多数情况下，F较小。H0非真时，即有处理效应时，在大多数情况下，F较大，比较：当统计量时，拒绝H0。随机区组设计的统计表区组编号处理因素（m个水平）12..i..m12∶J∶nX11X12∶X1j∶X1nX21X22∶X2j∶X2n....∶..∶..Xi1Xi2∶Xij∶......

∶..

∶..X1mX2m∶Xjm∶XnmSSe=SS总-SS处理-SS配伍其中校正项。m为因素A的水平数，n为因素B的水平数。在随机区组设计中因素A每个水平观察的例数恰好等于因素B的水平数n；而因素B每个水平观察的例数恰好为因素A的水平数m。。c

比较：当统计量时，拒绝H0。

例为比较不同产地石棉的毒性的大小，取体重200-220g的雌性Wistar大鼠36只，将月龄相同，体重相近的3只分为一组。每组的3只动物随机分别接受不同产地石棉处理后，以肺泡巨噬细胞（PAM）存活率（%）评价石棉毒性大小。实验结果见表。试问不同产地石棉毒性是否相同？

1）建立检验假设⑴H0：μ1=μ2=μ3H1：μi（i=1，2，3）不全相等⑵H0：τ1=τ2=…=τ12H1：τi(i=1,…,12)不全相等α=0.052）计算统计量3）查表及统计推断对关于不同产地石棉毒性的检验假设，按ν1=2，ν2=22查附表（F界值表），F0.01（2，22）=5.72，知P<0.01。按α=0.05水平拒绝H0，接受H1。可以认为不同产地石棉导致的PAM存活率不同。

对关于动物区组的检验假设，按ν1=11，ν2=22查附表，F0.05（11，22）=2.26，知P>0.05。按α=0.05水平不能拒绝H0，尚不能认为动物区组间PAM存活率不同。例对小白鼠喂以A、B、C三种不同的营养素，目的是了解不同营养素增重的效果，采用随机区组设计方法，以窝别作为划分区组的特征，以消除遗传因素对体重增长的影响。现将同品系同体重的24只小白鼠分为8个区组，每个区组3只小白鼠。三周后体重增量结果（克）如下，问小白鼠经三种不同营养素喂养后所增体重有无差别？(1)

建立假设和确定检验水准H0:μ1=μ2=μ3H1:三组总体均数不相等α=0.05(2)

计算检验统计量C=(Σx)2/N=(1335.9)2/24=74359.53SST=ΣΣxij

2-C=2681.84νT=23（3）查表确定p值和作出推断结论按α=0.05水平不拒绝H0，认为小白鼠经三种不同营养素喂养后所增体重无差别。注：作方差分析时同样可以检验区组效应，本例区组效应显著，即不同窝别的小白鼠的增重不全相等。完全随机设计ANOVA与随机区组设计ANOVA

随机单位组设计ANOVA将完全随机设计ANOVA的组内变异分解为单位组间变异与误差变异，即：例4-4某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三种抗癌药物（具体分配方法见例4-3），以肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的药物的抑瘤效果有无差别？区组A药B药C药10.820.650.511.9820.730.540.231.5030.430.340.281.0540.410.210.310.9350.680.430.241.353.072.171.576.810.6140.4340.3140.4542.02071.05870.54513.6245(1)

建立假设和确定检验水准H0:μ1=μ2=μ3H1:三组总体均数不相等α=0.05(2)

计算检验统计量C=(Σx)2/N=(6.81)2/15=3.0917SST=ΣΣxij

2-C=2.6245-3.0917=0.5328νT=23SSe=SS总-SS处理-SS配伍=0.5328-0.228-0.2284=0.0764不同设计应采用不同的ANOVA方法

5种防护服,由5个人在不同的5天中穿着测定其脉搏数(试验是以脉搏数作为人对高温反应的指标),试比较5种防护服在不同天气,对人脉搏的影响是否不同?拉丁方设计的方差分析

不同日期5个受试者穿着5种不同防护服时脉搏次数(次数/分)

拉丁方设计(latinsquaredesign)

拉丁方设计将处理从纵横二个方向排列为区组(或重复)，使每个处理在每一列和每一行中出现的次数相等（通常一次），所以它是比随机区组多一个方向局部控制的随机排列的设计。如图2.10所示为5×5拉丁方。

每行及每列各字母均出现一次CDAEBECDBAABECDBACDEDEBAC图2.105×5拉丁方优点:精确度高缺点:缺乏伸缩性

设有5个品种分别以1、2、3、4、5代表，拟用拉丁方排列进行比较试验。取上面所列的(5×5)选择标准方。从随机数字表中，查随机数字，将0和大于5的数字去掉，得1、4、5、3、2，即为直行的随机。再往下读，如得5、1、2、4、3，即为横行的随机。再往下读，得2、5、4、1、3，即为品种随机。将(5×5)选择标准方按上面三个随机步骤，就得到所需的拉丁方排列。1.选择标准方2.按随机数字14532调整直行3.按随机数字51243调整横行4.按随机数字2=A，5=B，4=C1=D，3=E，排列品种ABCDEADECBEBADC35214BAECDBCDEAADECB21345CDAEBCEBADBCDEA54132DEBACDACBEDACBE12453ECDBAEBADCCEBAD43521图2.11（5×5）拉丁方的随机试验日期受试者试验时间小计甲乙丙丁戊ⅠA129.8B116.2C114.8D104.0E100.6565.4ⅡB144.4C119.2D113.2E132.8A115.2624.8ⅢC143.0D118.0E115.8A123.0B103.8603.6ⅣD133.4E110.8A114.0B98.0C110.6566.8ⅤE142.8A110.6B105.8C120.0D109.8589.0受试小计693.4574.8563.6577.8540.02949.6衣服小计ABCDE∑X2592.6568.2607.6578.4602.8352111.52不同日期5个受试者穿着5种不同防护服时脉搏次数统计分析记xijk为第i个动物、第j部位、第k种药物下的变量观察值。γT=n×n-1γA=n-1γB=n-1γC=n-1C＝(2949.6)2/25＝348005.6总：352111.52-348005.6=4105.92衣服：

时间：

受试者：

误差：

4105.92－218.032－508.08－2853.68＝526.128方差分析

方差分析自由度离均差平方和均方F总计244105.92

衣服4218.03254.5080.414时间4508.08127.020.966受试者42853.68713.425.424*误差12526.128131.532

查F值表，当ν1=4，ν2=12时，F0.05(4,12)=3.26动物编号注射次序各动物小计各动物平均数123456ⅠB7.5C6.7A7.9D6.1F7.3E6.942.47.07ⅡE8.5D8.2B8.1C9.9A8.7F8.351.78.62ⅢC7.3F7.3E6.8A7.4B6.0D7.742.57.08ⅣA7.4E7.7C6.4F5.8D7.1B6.440.86.80ⅤF6.4B6.2D8.1E8.5C6.4A7.142.77.12ⅥD5.9A8.2F7.7B7.5E8.5C7.345.17.52各次小计43.044.345.045.244.043.7265.2

部位小计ABCDEF46.741.744.043.146.942.8家兔注射某种药物后不同部位所生疱疹大小（cm2）C＝(265.2)2/36＝1953.64总：(7.52+8.52+7.32+………+7.12+7.32)-(265.2)2/36=30.36动物间

注射次序间

部位间

误差：

30.36－12.83－0.56－3.83＝13.14家兔疱疹资料的方差分析

方差分析自由度离均差平方和均方F总计3530.36

动物间512.832.5663.91*

注射次序间50.560.112—

部位间53.830.7661.17误差2013.140.657

查F值表，当ν1=5，ν2=20时，F0.05(5,20)=2.71六个平均数进一步作两两比较

Ⅱ号动物平均值为8.62，最高，其次是Ⅵ号动物的7.52，这两个均数比较后决定是否再和别的几个比。用最小显著差数法，先求出现8.62-7.52=1.10>D0.05,20=0.98，故Ⅱ号与Ⅵ号动物在α=0.05水准处相差显著。Ⅱ号与其它各号动物的差别更大。拉丁方设计的缺点只能分析三个因素（包括区组因素）各因素的水平数必须相等不能分析因素间的交互作用两阶段交叉设计交叉试验是对两组受试者使用两种不同的处理措施，经过一定时期后，相互交换处理措施，最后将结果进行对照比较。生脉饮对心肌左室功能和运动耐量的影响。

研究采用随机双盲交叉试验，试验期限为50天，分两个阶段，各20天。“洗脱期”即两个阶段间停药10天。第一、第二阶段分别服1、2号液，共研究了26例病人。测量指标为阶段开始前、后分别进行M－LTCG心功能测定。

两阶段交叉设计优点①每个研究对象都接受了两方案的治疗，消除了个体间的差异。②患者自身比较，效果观察较准确。③随机分组避免了组间差异。④可有效地控制选择性偏倚。⑤所需样本含量较少。

两阶段交叉设计缺点①对于各种急性炎症病变、不可能回复到第一阶段治前的疾病(如心肌梗塞、溃疡病等)，以及那些不应当回到第一阶段治前状态的疾病(如心衰、昏迷、休克等)都不能采用交叉试验。②两阶段治疗可能存在顺序效应。③若每个阶段用药周期过短，药效可能不易充分发挥；若周期过长，则难以保证良好的依从性。

设计方法10个血浆样本用A、B两种闪烁液测定血浆中3H-cGMP，采用交叉试验。现将样本编号，抄上随机数字，再将随机数字从小到大排列，排在第1与2，3与4，……，9与10组成一对，再将第1、3、5…抄上随机号码，是偶数的，先用A，再用B，另一组刚好相反，以此类推。受试者阶段合计III12345678910A760B860A568A780B960B940A635B440A528B880B770A855B602B800A958A952B650A450B530A803153017151170158019181892128589010581630各阶段合计A、B合计727172897370735214641∑x变异来源dfSSMSFP总变异（SST）A、B处理（SSAB

）I、II阶段（SSI-II

）受试者SSG误差SSe191198552194.95198.45490.05551111.45395.00198.45490.0561234.6149.384.029.921240.07>0.05<0.05<0.01结论还不能认为A、B两种闪烁液有差别可认为测定阶段对测定结果有影响可认为各受试者的值不同

均数间的多重比较

当方差分析的结果拒绝H0，接受H1

时，只说明k个总体均数不全相等。若想进一步了解哪些两个总体均数不等，需进行多个样本均数间的两两比较或称多重比较（multiplecomparison）也叫posthoc检验——方差分析得到有差别的结论后多个组之间的相互比较的探索性研究。一、SNK－q检验（多个均数间全面比较）二、LSD－t检验（有专业意义的均数间比较）三、Dunnett检验（多个实验组与对照组比较）还有TUKEY

、DUNCAN、

SCHEFFE、

WALLER

、BON等比较方法“多重比较”的几种方法

SNK（Student-Newman-Keuls）检验，亦称q检验多个组之间的相互比较一、SNK－q检验

MS误差:误差均方（单因素：MS组内）

ν:残差离均差的自由度ν=n-ka:组间跨度，a=j–

i+1

查q值表，如果|q|>

则P<,拒绝H0。正常人胃粘膜增生胃癌11.913.920.313.417.217.89.016.523.410.714.717.113.714.620.612.213.019.512.812.016.414.016.422.211.514.120.112.915.617.612.614.818.213.513.922.910.819.912.1ni141213N=3912.22114.72519.69215.482胃癌与胃粘膜细胞中DNA含量的关系方差分析表变异来源SSVMSF组间386.162193.0863.66组内109.20363.03总495.3638SNK法步骤H0:相比较的两总体均数相等；H1:相比较的两总体均数不等。 ＝0.05。计算检验统计量:q

组次 1

2

3

均数12.221 14.725 19.692

组别 正常 增生 胃癌

a=2

a=2

a=3结论：正常人、胃黏膜增生与胃癌病人的胃黏膜细胞中DNA含量均有差别SNK法步骤对比组均数之差标准误aqP1与22.5040.48425.171<0.012与34.9670.493210.080<0.011与37.4710.474315.759<0.01i为组的编号，A，B，C

j为组内为个体编号，1，2，…，10变异来源SSDFMSF值P值组间119.8314259.91614.325.76*10-5组内112.9712274.184总232.802629

最小显著差异（Leastsignificantdifference）t检验用于一对或几对在专业上有特殊意义的样本均数之间的比较二、LSD－t检验

LSD法的步骤H0:相比较的两总体均数相等；H1:相比较的两总体均数不等。 ＝0.05。计算检验统计量:LSD-t（胃癌组与胃粘膜增生组比较）查附表2——t界值表（ν=36）结论:

三、Dunnett检验

多个试验组与一个对照组之间的比较Dunnett—t

法步骤H0:相比较的两总体均数相等；H1:相比较的两总体均数不等。 ＝0.05。计算检验统计量:Dunnett-t

Dunnett—t

法步骤对比组均数之差标准误Dunnet-tTνPI与II2.5040.6853.655236<0.001I与III7.4510.67011.121236<0.001查附表5——Dunnett—t界值表（T=2，ν=36）结论:

两两比较的注意事项对于方差分析后的两两比较均应以方差分析拒绝相应的H0为前提，且结论均不应与方差分析的结论相悖；出现模糊结论，下