随机变量及其分布第1、2节(续)

随机变量及其分布第1、2节(续)REPORTING目录随机变量的定义与性质随机变量的分布函数常见的随机变量分布随机变量的期望与方差随机变量的矩与中心矩PART01随机变量的定义与性质REPORTINGWENKUDESIGN随机变量可以用大写字母表示，如X、Y等。随机变量可以是离散的，也可以是连续的。随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数，表示样本点对应的数值结果。随机变量的定义对于每个样本点，随机变量都有一个确定的数值与之对应。确定性可测性可重复性对于样本空间中的事件，可以定义随机变量的取值范围，以表示该事件的发生概率。随机变量的取值具有重复性，即每次试验的结果可能不同，但总体上是可预测的。030201随机变量的性质取值可以计数或分立的随机变量，如投掷骰子的点数。离散随机变量取值连续变化的随机变量，如人的身高、体重等。连续随机变量离散随机变量与连续随机变量PART02随机变量的分布函数REPORTINGWENKUDESIGN0102分布函数的定义分布函数具有一些基本性质，如非负性、单调不减性和右连续性。分布函数是描述随机变量取值概率的函数，定义为F(x)=P(X≤x)，其中X是随机变量，x是实数。F(x)≥0，因为概率值不能为负数。非负性对于任意实数x1<x2，有F(x1)≤F(x2)，表示随机变量取值的可能性随着x的增大而增加。单调不减性F(x)在x处右连续，即lim(x→x0+)F(x)=F(x0)。右连续性分布函数的性质对于离散随机变量X，其分布函数可以表示为F(x)=ΣP(X=xi)，其中Σ表示求和符号，P(X=xi)表示随机变量X取值为xi的概率。对于离散随机变量，分布函数通常在每个离散取值点上跳跃，其跳跃高度即为对应的概率值。离散随机变量的分布函数

连续随机变量的分布函数对于连续随机变量X，其分布函数可以表示为F(x)=∫(-∞,x)f(t)dt，其中f(t)是随机变量X的概率密度函数。连续随机变量的分布函数在整个实数轴上连续，没有跳跃点。分布函数的值等于随机变量X小于等于x的概率。PART03常见的随机变量分布REPORTINGWENKUDESIGN二项分布是描述成功次数在n次独立、同分布的伯努利试验中的概率分布。定义$B(n,p)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$，其中k表示成功次数，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。公式适用于描述成功率已知的n次独立重复试验中成功次数的情况，如抛硬币、抽奖等。应用场景二项分布公式$P(X=k)=frac{e^{-lambda}lambda^k}{k!}$，其中k表示随机事件发生的次数，λ表示单位时间内（或单位面积上）随机事件可能发生的平均次数。定义泊松分布是描述单位时间内（或单位面积上）随机事件发生的次数，其中随机事件的发生是相互独立的。应用场景适用于描述单位时间内随机事件的独立发生次数，如电话中心接到的电话次数、放射性物质衰变的次数等。泊松分布正态分布是一种连续概率分布，描述一个变量在一定范围内取值的概率。定义$f(x)=frac{1}{sqrt{2pisigma^2}}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$，其中x表示变量值，μ表示均值，σ表示标准差。公式适用于描述大量数据的分布情况，如人类的身高、考试分数等。应用场景正态分布123指数分布是描述某一事件发生的时间间隔的概率分布。定义$f(t)=lambdae^{-lambdat}$，其中t表示时间间隔，λ表示事件发生的速率。公式适用于描述等待时间、寿命等连续随机变量的分布情况，如放射性物质的半衰期、机器的故障时间等。应用场景指数分布03应用场景适用于描述某些物理量在一定范围内的均匀分布情况，如房间内的温度、随机点在矩形区域内的分布等。01定义均匀分布是描述一个区间内随机变量取值的概率分布。02公式$f(x)=frac{1}{b-a}$，其中x表示变量值，a和b表示区间的上下限。均匀分布PART04随机变量的期望与方差REPORTINGWENKUDESIGN期望是随机变量取值的概率加权和，表示随机变量取值的平均水平。定义期望具有线性性质，即对于常数a和b，有E(aX+b)=aE(X)+b。性质期望具有可加性和可乘性，即对于独立随机变量X和Y，有E(X+Y)=E(X)+E(Y)和E(XY)=E(X)E(Y)。期望的运算性质期望的定义与性质定义方差是随机变量取值与其期望的差的平方的平均值，表示随机变量取值与期望的偏离程度。性质方差具有非负性，即对于任意随机变量X，有D(X)≥0。方差的运算性质对于独立随机变量X和Y，有D(X+Y)=D(X)+D(Y)和D(XY)=D(X)D(Y)。方差的定义与性质方差是期望的函数01对于任意随机变量X，有D(X)=E[(X−E(X))^2]。方差与期望的相互制约02方差越大，表示随机变量取值与期望的偏离程度越大；期望越接近于0，方差越大；期望越远离于0，方差越小。方差与标准差的关系03标准差是方差的平方根，表示随机变量取值与期望的偏离程度的大小。期望与方差的关系PART05随机变量的矩与中心矩REPORTINGWENKUDESIGN随机变量的所有可能取值的乘积的期望值。矩具有线性性质，即对于任意常数a和b，E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。矩的定义与性质性质矩中心矩相对于均值（期望值）的矩，即对于任意随机变量X，其中心矩定义为E[(X-E(X))^n]。性质中心矩具有线性性质，即对于任意常数a和b，E[(aX+bY)-E(aX+bY)]^n=aE[(X-E(X))^n]+bE[(Y-E(Y))