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文档简介

第一章

曲线坐标系和张量分析冯元桢先生曾说过：“一个美丽的故事需要用美丽的语言描述，力学的语言是张量。”。二阶张量三阶张量张量介绍一阶张量笛卡儿直角坐标系柱坐标系球坐标系曲线坐标系在三维欧几里得空间中选取3个不共面的向量

就可定义一坐标系向量称为坐标向量或基向量，简称为基。所在的直线称为坐标轴。在三维欧几里得空间中选取3个不共面的向量

就可定义一坐标系(0.396,0.396,0.707)向量称为坐标向量或基向量，简称为基。所在的直线称为坐标轴。空间任一向量将对应于一有序数组在三维欧几里得空间中选取3个不共面的向量

就可定义一坐标系(0.396,0.396,0.707)向量称为坐标向量或基向量，简称为基。所在的直线称为坐标轴。空间任一向量将对应于一有序数组有序数组称之为在该曲线坐标系中的坐标。基向量相互正交的坐标系称为正交坐标系。两条坐标轴所决定的平面称为坐标平面。坐标轴间的夹角不全部为直角的坐标系称为仿射坐标系。在三维欧几里得空间中选取3个不共面的向量

就可定义一坐标系1.1.1基向量在曲线坐标系中，向量微分可表示为根据Einstein求和约定(单项中有标号出现两次称为求和指标或哑标)，有定义基向量：定义长度(模)为1的基向量为单位基向量：定义拉梅系数于是：对于右手正交坐标系(在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，图)，成立，其中为置换符号(permutationsymbol)，满足另外，定义Kronecker符号：右手正交坐标系【例1-1】求柱坐标的基向量和单位基向量。基向量：提示：拉梅系数：单位基向量：【作业】求球坐标的基向量和单位基向量。1.1.2基向量对曲线坐标的微分柱坐标中考虑基向量对坐标的偏导?提示：基向量是θ的函数，对r，z的偏导数为0，【例1-2】求柱坐标单位基向量对曲线坐标的微分。提示：基向量是θ的函数，对r，z的偏导数为0，【例1-2】求柱坐标单位基向量对曲线坐标的微分。【作业】求球坐标单位基向量对曲线坐标的微分。1.1.3坐标变换证明：在空间中选取3个不共面的向量对空间任一向量都存在唯一的三元有序数组使证明：取一向量若有如果不全为零，即上式有非零解，则必然线性相关，所以必然全部为零。则必然共面。则1.1.3坐标变换两组曲线坐标系中同理可证，坐标唯一性，是的单值函数是的单值函数1.1.3坐标变换设两组坐标值之间存在连续可微的单值函数关系定义雅可比(Jacobi)矩阵1.1.3坐标变换其中其中当和都是单位正交基向量时此时雅可比(Jacobi)矩阵为正交矩阵，两个坐标系间的变换为正交变换，记为Q，即1.1.3坐标变换（正交变换）【例1-3】写出柱坐标系与直角坐标系间的变换矩阵。若分析单位基向量，则【例1-4】写出柱坐标系与直角坐标系间

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