静电场边值分析

关于静电场边值分析1.电位微分方程已知电位

与电场强度E

的关系为

对上式两边取散度，得

对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E

的散度为

那么，电位满足的微分方程式为

泊松方程

第2页,共64页，2024年2月25日，星期天拉普拉斯方程对于无源区，，上式变为

已知分布在V

中的电荷在无限大的自由空间产生的电位为上式为泊松方程在自由空间的特解。

利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。第3页,共64页，2024年2月25日，星期天

静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。定解条件初始条件边界条件数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。

根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。

此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。第4页,共64页，2024年2月25日，星期天边界条件有三种类型：

第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。

第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。

第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄里赫利问题。第5页,共64页，2024年2月25日，星期天解的存在、稳定及惟一性问题。

泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。

惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是惟一的。

稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否变化很大。存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。

静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。可以证明电位微分方程解具有惟一性。第6页,共64页，2024年2月25日，星期天

若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就是第一类边界。已知

因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。第7页,共64页，2024年2月25日，星期天

静电场的边值问题——根据给定的边界条件求解静电场的电位分布。

对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足泊松方程方程在无源区，电位满足拉普拉斯方程利用格林函数，可以求解泊松方程。利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。第8页,共64页，2024年2月25日，星期天2.镜像法

实质:以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。

这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。第9页,共64页，2024年2月25日，星期天

依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。

局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷。

第10页,共64页，2024年2月25日，星期天（1）点电荷与无限大的导体平面

介质

导体

qrP

介质q

rP

hh

介质

以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为

的空间，则空间任一点P的电位由q

及q'

共同产生，即

无限大导体平面的电位为零第11页,共64页，2024年2月25日，星期天

电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同。电场线等位线z

第12页,共64页，2024年2月25日，星期天*根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等于导体表面上感应电荷的总电荷量。*上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。

介质

导体

qrP

介质q

rP

hh

介质

第13页,共64页，2024年2月25日，星期天

q

对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为的导电劈需引入

5

个镜像电荷。

/3

/3q第14页,共64页，2024年2月25日，星期天

位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。

仅当这种导体劈的夹角等于

的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为什么？

l

l–

l

第15页,共64页，2024年2月25日，星期天（2）点电荷与导体球

若导体球接地，导体球的电位为零。令镜像点电荷q

位于球心与点电荷q的连线上，那么球面上任一点电位为

为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为qfOPadrq

r

第16页,共64页，2024年2月25日，星期天

为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值对于球面上任一点均具有同一数值。

若△OPq~△

OqP

，则镜像电荷离球心的距离d应为

求得镜像电荷为qfOPadrq

r

第17页,共64页，2024年2月25日，星期天

若导体球不接地，则其电位不为零。q

的位置和量值应该如何?

由q

及q

在球面边界上形成的电位为零，因此必须再引入一个镜像电荷q

以产生一定的电位。q第18页,共64页，2024年2月25日，星期天以保证导体球表面上总电荷量为零值。

为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷q

必须位于球心。

为了满足电荷守恒定律，第二个镜像电荷q

必须为导体球的电位?qq"q'第19页,共64页，2024年2月25日，星期天

l（3）线电荷与带电的导体圆柱

在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d处，平行放置一根镜像线电荷

。因此，离线电荷r

处，以为参考点的电位为

Pafdr–

lO已知无限长线电荷产生的电场强度为，第20页,共64页，2024年2月25日，星期天

若令镜像线电荷产生的电位也取相同的作为参考点，则及在圆柱面上P点共同产生的电位为已知导体圆柱是一个等位体，必须要求比值与前同理，可令第21页,共64页，2024年2月25日，星期天

（4）点电荷与无限大的介质平面

E

1

1

qr0E'EtEnq'

2

2

q"E"

1

2qeten=+

对于上半空间，可用镜像电荷q'

等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为

1的均匀空间。

对于下半空间，可用位于原点电荷处的q"

等效原来的点电荷q与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为

2

的均匀空间。

第22页,共64页，2024年2月25日，星期天

必须迫使所求得的场符合边界条件，即电场切向分量和电通密度的法向分量应该保持连续，即

已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：第23页,共64页，2024年2月25日，星期天

例已知同轴线的内导体半径为a，电压为U，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。

解对于该边值问题，镜像法不适用，只好求解电位方程。求得UbaO

选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标r

有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程变为第24页,共64页，2024年2月25日，星期天利用边界条件：最后求得求得第25页,共64页，2024年2月25日，星期天

为了利用给定的边界条件，选择适当的坐标系是非常重要的。对于上述一维微分方程，可以采用直接积分方法。

分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而简化求解过程。

为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法。分离变量法对于11种坐标系都是行之有效的。第26页,共64页，2024年2月25日，星期天3.直角坐标系中的分离变量法

在直角坐标系中，拉普拉斯方程展开式为

令式中的左边各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量x

求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对x

的导数为零，说明了第一项等于常数。代入上式，两边再除以，得

第27页,共64页，2024年2月25日，星期天

同理，再分别对变量y

及z

求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。令各项的常数分别为，求得式中，kx，ky，kz

称为分离常数，它们可以是实数或虚数。三个分离常数不是独立的，必须满足下列方程第28页,共64页，2024年2月25日，星期天由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。或者式中，A,B,C,D为待定常数。例如，含变量x

的常微分方程的通解为第29页,共64页，2024年2月25日，星期天当kx为虚数时，令，则上述通解变为或者含变量x

或y

的常微分方程的解完全相同。解中待定常数也取决于给定的边界条件。解的形式的选择决取于给定的边界条件。

这些解的线性组合仍然是方程的解。通常为了满足给定的边界条件，必须取其线性组合作为方程的解。第30页,共64页，2024年2月25日，星期天例两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为d

，其有限端被电位为

0

的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。Odxy

=0

=0

=

0电位满足的拉普拉斯方程变为解选取直角坐标系。槽中电位分布与z无关，这是一个二维场的问题。第31页,共64页，2024年2月25日，星期天应用分离变量法，令为了满足及，Y(y)

的解应为槽中电位满足的边界条件为因为y=0

时，电位

=0，因此上式中常数B=0。为了满足，分离常数

ky

应为

第32页,共64页，2024年2月25日，星期天求得已知，求得可见，分离常数kx为虚数，故X(x)

的解应为式中的常数C

应为零？那么式中的常数C=AD

。求得第33页,共64页，2024年2月25日，星期天因x=0

时，电位

=

0

，得上式右端为变量，但左端为常量，因此不能成立。这就表明此式不能满足给定的边界条件。因此，必须取上式的线性组合作为电位方程的解。为了满足x=0，

=

0

，由上式得

即第34页,共64页，2024年2月25日，星期天Odxy

=0

=0

=

0利用傅里叶级数的正交性，求出系数Cn为求得槽中电位分布函数为

电场线等位面第35页,共64页，2024年2月25日，星期天4.圆柱坐标系中的分离变量法在圆柱坐标系中，电位微分方程展开式为

令求得上式中只有第二项为变量

的函数，因此将上式对

求导，得知第二项对

的导数为零，可见第二项应为常数。令第36页,共64页，2024年2月25日，星期天即式中的k

为分离常数，它可以是实数或虚数。令，m为整数，则上式的解为考虑到，以及上式，则前述方程可表示为

变量

的变化范围为，因此，上式的解一定是三角函数，且常数k

一定为整数。第37页,共64页，2024年2月25日，星期天上式第一项仅为变量r

的函数，第二项仅为变量z

的函数，因此，它们应为常数。式中的分离常数kz

可为实数或虚数，其解可为三角函数、双曲函数或指数函数。式中的C,D

为待定常数。当kz为实数时，可令令第38页,共64页，2024年2月25日，星期天将变量z的方程代入前式，得

若令，则上式变为

上式为标准的贝塞尔方程，其解为贝塞尔函数，即

式中，为m阶第一类贝塞尔函数；为m阶第二类贝塞尔函数。当r=0

时，。因此，当场区包括r=0

时，只能取第一类贝塞尔函数。

第39页,共64页，2024年2月25日，星期天J2(x)J1(x)J3(x)J0(x)第一类贝塞尔函数x第40页,共64页，2024年2月25日，星期天N3(x)N1(x)N0(x)N2(x)第二类贝塞尔函数x第41页,共64页，2024年2月25日，星期天

至此，我们分别求出了R(r)

,

(

)

,Z(z)

的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。

若静电场与变量z无关，则。那么电位微分方程变为此方程的解为指数函数，即

若又与变量

无关，则m=0。那么，电位微分方程的解为

第42页,共64页，2024年2月25日，星期天

考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式

例设一根无限长的导体圆柱位于均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱。试求导体圆柱外的电场强度。

x

yaE0O第43页,共64页，2024年2月25日，星期天

解选取圆柱坐标系。令z

轴为圆柱轴线，电场强度的方向与x轴一致，即

当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与z无关。x

yaE0O

解的形式可取前述一般形式，但应满足两个边界条件。第44页,共64页，2024年2月25日，星期天①

圆柱表面电场强度的切向分量为零。求得②

无限远处的电场未受到扰动。

此式表明，无限远处电位函数仅为cos

的函数。即因此第45页,共64页，2024年2月25日，星期天为了满足②，系数，且m=1。因此电位函数应为那么，根据边界条件即可求得系数B1，D1

应为第46页,共64页，2024年2月25日，星期天代入前式，求得圆柱外电位分布函数为

则圆柱外电场强度为

第47页,共64页，2024年2月25日，星期天x

yaE0O圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布电场线等位面

第48页,共64页，2024年2月25日，星期天令代入上式，得5.球坐标系中的分离变量法

在球坐标系中，电位微分方程的展开式为第49页,共64页，2024年2月25日，星期天其解应为令若静电场与变量

无关，则m=0

。将代入上式，得第50页,共64页，2024年2月25日，星期天可见，上式中第一项仅为r

的函数，第二项与r无关。因此，第一项应为常数。这是欧拉方程，其通解为

为了便于进一步求解，令即,n

为整数第51页,共64页，2024年2月25日，星期天令，则上式变为上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数与第二类连带勒让德函数之和，这里m<n

。

当n是整数时，及为有限项多项式。将上述结果代入前式，得第52页,共64页，2024年2月25日，星期天

当场区包括或

时，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。第53页,共64页，2024年2月25日，星期天那么，电位微分方程的通解取下列线性组合

若静电场与变量

无关，则m=0，称为第一类勒让德函数。此时，电位微分方程的通解为通常令第54页,共64页，2024年2月25日，星期天

例设半径为a，介电常数为

的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场E0

的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。

E0zy

0

a解取球坐标系，令