三角形的角平分线和中线2浙教版

三角形的角平分线和中线2浙教版REPORTING目录三角形基本概念与性质角平分线性质与应用中线性质与应用角平分线与中线综合应用拓展延伸：塞瓦定理与梅涅劳斯定理简介总结回顾与课堂练习PART01三角形基本概念与性质REPORTINGWENKUDESIGN由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。三角形定义根据三角形的边长和角度特征，三角形可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等。三角形分类三角形定义及分类三角形内角和定理三角形的三个内角之和等于180°。推论直角三角形的两个锐角互余；一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角形的外角等于它的两个不相邻的内角的和。三角形内角和定理三角形的一边与另一边延长线组成的角叫做三角形的外角。三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。三角形外角性质三角形外角性质三角形外角定义PART02角平分线性质与应用REPORTINGWENKUDESIGN01性质角平分线将相对边分为两段，这两段线段与角的两边对应成比例。角平分线是角的对称轴，即角平分线上的点到角两边的距离相等。定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。020304角平分线定义及性质面积关系三角形的面积与角平分线长度之间存在一定的关系。具体来说，三角形面积等于两邻边长度与其夹角正弦值的乘积的一半，而角平分线长度则影响这一乘积。应用在解决三角形面积问题时，可以利用角平分线的性质，通过已知边长和角度信息来计算面积。角平分线与三角形面积关系利用角平分线的性质，可以证明与角平分线相关的两条线段相等。证明线段相等证明角相等证明比例关系通过角平分线的定义和性质，可以证明与角平分线相关的两个角相等。利用角平分线将相对边分为两段，可以证明这两段线段与角的两边对应成比例。030201角平分线在几何证明中应用PART03中线性质与应用REPORTINGWENKUDESIGN中线定义及性质连接三角形任意两边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线都在三角形内部。三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。三角形中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形。中线定义中线性质1中线性质2中线性质3

中线与三角形面积关系中线与面积关系定理三角形一条中线与其所对边构成的三角形面积等于原三角形面积的1/4。推论1若三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE=1/4S△ABC。推论2若三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC上一点，且BF=FC，则S△DEF=1/8S△ABC。证明两条线段相等。通过证明两条线段分别是两个三角形的中线，从而利用中线性质证明两条线段相等。应用1证明两个角相等。通过证明两个角分别是两个三角形的中线所对的内角，从而利用中线性质证明两个角相等。应用2证明两条直线平行。通过证明两条直线分别是两个三角形的中线所在的直线，从而利用中线性质证明两条直线平行。应用3中线在几何证明中应用PART04角平分线与中线综合应用REPORTINGWENKUDESIGN角平分线性质角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。中线性质三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心，重心分中线为2:1（顶点到重心:重心到对边中点）。交点性质三角形角平分线与中线交于一点，该点称为三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。角平分线与中线交点性质03利用交点性质进行角度和距离计算通过三角形内心和重心的性质，可以计算出三角形内角平分线和中线的夹角，以及内心到三角形三边的距离等。01利用角平分线性质构造全等三角形通过角的平分线上的点向两边作垂线，构造两个全等的直角三角形，从而解决问题。02利用中线性质进行边长计算通过中线的性质，可以将三角形的边长关系进行转化和计算。利用角平分线和中线解决问题策略过点C作CF//AD交BA的延长线于点F，由于AD是角BAC的平分线，所以角BAD=角CAD，因为CF//AD，所以角F=角BAD=角CAD，从而得出AC=AF。又因为AE是BC边上的中线，所以BE=CE，从而得出AB=AF+BF=AC+BF，因此AB/AC=(AC+BF)/AC=1+BF/AC。又因为BD/CD=AB/AC，所以BD/CD=1+BF/AC。在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，AE是BC边上的中线，且AB=5cm，AC=3cm，求DE的长。由于AD是角BAC的平分线，根据角平分线的性质可知DE=DF。又因为AE是BC边上的中线，所以BE=CE。在三角形ABD和三角形ACD中，由于AB=5cm，AC=3cm且AD为公共边，所以三角形ABD和三角形ACD的面积之比为5:3。从而可以得出DE/DF=5/3。设DE=5xcm，则DF=3xcm。因为DE=DF所以5x=3x解得x=0从而得出DE=0cm与题目矛盾所以此题无解。解析例题2解析典型例题解析PART05拓展延伸：塞瓦定理与梅涅劳斯定理简介REPORTINGWENKUDESIGN对于三角形ABC，若点P、Q、R分别在边BC、CA、AB或其延长线上，且满足BP/PC*CQ/QA*AR/RB=1，则AP、BQ、CR三线共点或互相平行。塞瓦定理内容证明过程可以通过面积法、向量法或解析法等多种方法完成。其中，面积法是通过比较不同三角形面积的比例关系来证明；向量法则是通过向量的线性组合和共线条件来证明；解析法则是通过建立坐标系，利用坐标运算来证明。证明塞瓦定理内容及其证明对于三角形ABC和一条不经过三角形顶点的直线l，若l分别与边BC、CA、AB交于点D、E、F，则有(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1。梅涅劳斯定理内容证明过程可以通过相似三角形性质或面积法完成。相似三角形性质是通过证明三角形之间的相似性，并利用相似比得到结论；面积法则是通过比较不同三角形面积的比例关系来证明。证明梅涅劳斯定理内容及其证明意义：塞瓦定理和梅涅劳斯定理都是三角形中的基本定理，揭示了三角形中线段之间的比例关系。它们在解决三角形中的线段比例问题、证明线段共点或平行等问题时具有重要作用。应用举例在三角形中，已知三条中线长度，可以利用塞瓦定理证明三条中线交于一点（重心）。在三角形中，已知三条高线长度，可以利用梅涅劳斯定理证明三条高线交于一点（垂心）。在解决三角形中的线段比例问题时，可以利用这两个定理进行求解或证明。例如，已知三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD/DB=AE/EC=2，DE与BC交于点F，求BF/FC的值。此时可以利用梅涅劳斯定理进行求解。0102030405两个定理在几何中意义和应用举例PART06总结回顾与课堂练习REPORTINGWENKUDESIGN010405060302角平分线的定义和性质定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。中线的定义和性质定义：连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。性质：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心，且重心分每条中线的比为2:1。关键知识点总结回顾在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G。求证：AD垂直平分EF。1.题目根据角平分线的性质，DE=DF，再利用HL全等条件证明△AED≌△AFD，从而得到AE=AF，进而证明AD垂直平分EF。分析在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF=DE。求证：AB=CF。2.题目根据中线的性质，DE是△ABC