《土木工程力学基础(少学时)》平面力系的平衡

《土木工程力学根底》

〔少学时〕

平面力系的平衡本单元学习目标一、会计算力的投影二、能解释力矩的概念及性质三、会计算集中力与线分布荷载的力矩四、能表达平面一般力系的平衡条件五、能用平衡方程计算简单的平衡问题塔吊：依靠平衡原理来起吊重物塔吊失去平衡坍塌，危害巨大，平衡很重要吊车起重物体太重，失去平衡倾倒一、平面汇交力系1、力在坐标轴上的投影。

X=FcosαX=—

FcosαY=FsinαY=—

Fsinα例题：如下图，在O点作用有四个平面汇交力，F1＝100N，F2＝100N，F3＝150N，F4＝200N，试求计算各力在坐标轴上的投影。2、平面汇交力系的平衡根据投影的原那么可以知道

根据几何关系可以知道同理可以知道：将上述合力投影与分力投影的关系式推广到n个力组成的平面汇交力系中，那么有：即，合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上投影的代数和，称为合力投影定理例题：如下图，刚架上作用力P，试计算A、B两处约束力。【解】根据平衡条件

二、力矩1、力对点的矩。

扳手拧螺母:力Ｆ使螺母绕Ｏ点转动的效应不仅与力Ｆ的大小有关，而且还与转动中心Ｏ到Ｆ的作用线的距离d有关。实践说明:转动效应随Ｆ或d的增加而增强。力矩——在力学中，为度量力使物体绕某点〔矩心Ｏ〕的转动的效应，将力的大小〔Ｆ〕与矩心到力的作用线的距离〔力臂d〕的乘积Ｆd冠以适当的正负号所得的物理量称为力Ｆ对Ｏ点之矩，简称力矩，

正负号的规定为：力使物体绕矩心逆时针转动时，取正号；反之，取负号。单位为牛顿米或千牛顿米2、力矩的性质:

(1)、力矩的大小和转向与矩心位置有关，同一力对不同矩心的力矩不同。

(2)、力沿其作用线滑移时，力对点之矩不变，因为此时力的大小、方向未变，力臂也未变。

(3)、当力的作用线通过矩心时，力臂为零，力矩也为零二、力矩3、合力矩定理合力对平面内任意一点之矩，等于所有分力对同一点之矩的代数和。即：

假设：Ｒ＝Ｆ1＋Ｆ2＋……＋Ｆn

那么：mＯ〔Ｒ〕＝mＯ〔Ｆ1〕＋mＯ〔Ｆ2〕＋……＋mＯ〔Ｆn〕

二、力矩例题：求图中各力对O点之矩。MO〔F1〕＝－F1×OAMO〔F2〕＝0MO〔F3〕＝F3×ABMO〔F4〕＝F4×OCcosα二、力矩练习：求以下图中所示各力对O点的力矩。三、平面一般力系的平衡1、力的平移定理

将作用于刚体上的力，平移到刚体上任意一点，必须附加一个力偶才能与原力等效，附加力偶的力偶矩等于原力对平移点之矩，此即为力的平移定理。2、平面一般力系的平衡方程平衡R＝0，

MO＝0满足这一条件的力系称为“平衡力系”。M=0平面力系平衡方程Σmo〔Fn〕=0三、平面一般力系的平衡例题1：1、外伸梁如下图，P=30kN，试求A、B支座的约束反力。例题2:塔式起重机如下图。机架重W1=700kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量W2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡重W3到机身中心线距离为6m。试问：(1)保证起重机在满载和空载时都不致翻到，平衡重W3应为多少？(2)当平衡重W3=180kN时，求满载时轨道A、B的约束反力。解：(1)起重机受力如下图，在起重机不翻倒的情况下，这些力组成的力系应满足平面力系的平衡条件。满载时，在起重机即将绕B点翻倒的临界情况下，有FA=0。由此可求出平衡重W3的最小值。

空载时，载荷W2=0。在起重机即将绕A点翻倒的临界情况，有FB=0。由此可求出平衡重W3的最大值。实际工作时，起重机不允许处于临界平衡状态，因此，起重机不致翻到的平衡重取值范围为

(2)当W3=180kN时，由平面平行力系的平衡方程

得解得

FA=210kN

检测题判断题1.假设两个力在同一轴上的投影相等，那么这两个力的大小必定相等。〔〕2．假设通过平衡方程解出的未知力为负值时：〔1〕表示约束反力的指向画反，应改正受力图；〔〕〔2〕表示该力的真实指向与受力图中该力的指向相反。〔〕3.平面一般力系有三个独立的平衡方程，可求解三个未知量。〔〕4.列平衡方程时，要建立坐标系求各分力的投影。为运算方便，通常将坐标轴选在与未知力平行或垂直的方向上。〔〕5.只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。〔〕检测题填空题6.力的作用线垂直于投影轴时，该力在轴上的投影值为

。7.平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形

。8.力偶对平面内任一点的矩恒等于

与矩心位置

。9.建立平面一般力系的平衡方程时，为方便解题，通常把坐标轴选在与

的方向上；把矩心选在