《应用微积分》6.2定积分的计算

第6

章定积分及其应用定积分的概念与性质定积分的计算定积分的应用定积分的分部积分法6.1定积分的概念与性质变限函数及其导数1微积分根本公式2定积分的换元积分法34定积分常用结论汇总5是的一个函数，称为积分上限函数或变上限积分，在闭区间上连续，那么在局部区间上的定积分设函数记作即函数的表示方法拓广了，可用变上限积分表达函数。6.2.1变限函数及其导数定义6.2【注】，求例6.6解假设函数在区间上连续，那么变上限积分在区间且它的导数等于被积函数在上限处的函数值即上可导,并定理6.1给自变量x以增量，按导数定义，只须证,由的定义得对应的函数的增量即根据积分中值定理知道在与x之间至少存在

，使成立。即可。证一点又因为在区间上连续，所以，当时,有，从而有故该公式有时也被称为微积分第一根本公式。注意〔原函数存在定理〕如果函数在区间上连续，，那么函数就是在区间上的一个原函数。〔1〕肯定了连续函数的原函数是存在的.〔2〕初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.定理的重要意义：定理6.2

，求根据定理可得如果函数在闭区间上连续，，那么在局部区间上的定积分分下限函数或变下限积分，且称为积例6.7解联想？假设连续，公式可以推广为〔2〕〔3〕可导，变限函数的求导〔1〕联想？求导得

求由方程所确定的函数的导数。故所给方程两边对

，求根据式(3)可得例6.8解例6.9解极限是

求极限分析：注意到时，所以这个型不定式，含有变限函数的

型不定式通常使用罗必达法那么求极限。例6.10解设，求。===

求函数的极值。，令解得

因为所以函数在极小值，为处取得例6.11解例6.12解内容小结积分上限函数的导数2积分上限函数的定义31问

题的函数都是与解答习题6.2-1习题6.2-1习题6.2-1习题答案：习题6.2-1如果函数在区间上连续，是在区间上任一原函数，那么

由定理6.2知道，是在上的一个原函数，又由题设知，也是在区间上的一个原函数，由原函数的性质知同一函数的两个不同原函数相差一个常数6.2.2微积分基本公式定理6.3证把代入上式中，因为,定出常数，于是得令代入上式中，移项，得再把积分变量

t

换成

x，得微积分根本公式—牛顿·莱布尼茨公式即〔6.2〕〔6.1〕这样(6.1)式就可写成如下形式：1〕为了书写方便，可记作或2〕该公式充分表达了定积分与原函数之间的内在联系，它把定积分的计算问题转化为求原函数问题，从而给定积分的计算提供了一个简便而有效的方法。注意计算

被积函数在上连续，是由牛顿—莱布尼兹公式，得的一个原函数，例6.13解计算

被积函数在上连续，是由牛顿—莱布尼兹公式，得的一个原函数，例6.14解计算

把定积分利用性质6.1分成三项之和，然后每一项用牛顿—莱布尼兹公式进行计算.例6.15解计算

分析化简被积函数被积函数中出现了，由于在两区间和上符号不同，必须分区间利用可加性来计算。例6.16解设函数，计算利用定积分对区间的可加性，得

例6.17解导数上单值且有连续上变化，且假设函数在区间上连续,函数在区间当t在〔或〕上变化时，的值，那么(6.3)定积分的换元公式在6.2.3定积分的换元积分法定理6.4

因为在区间上连续,所以它可积。设是的一个原函数，那么由牛顿—莱布尼兹公式，得又由不定积分换元法知于是证计算用定积分换元法，令，那么于是例6.18解

计算

令，那么换限：于是例6.19解1)换元必须同时换限，而且新的积分变量的上下积分限要与原积分变量的上下限相对应；2〕用换元法计算定积分时，求出其原函数后直接代入新的积分限即可，不需要复原。注意计算利用定积分换元法求定积分时，如果不换元那么不换限，直接求出原函数算上下限的函数值做差。例6.20解注意观察【注】

计算

如图，令，那么有原式I即为圆所围成的面积的应的几何意义,不难看出，例6.21解所对

设函数在对称区间上连续，求证：

根据定积分性质①对于积分，作变换，那么有②把②式代入①式中，得例6.22证当是偶函数，即时，得当是奇函数，即时，得此结论常用。

计算

因为为上的奇函数，

所以

计算

把原式一分为二得：例6.23解例6.24解因为其中第二局部的被积函数为奇函数，其值为零，所以只要计算第一局部积分即可，注意到第一局部被积函数为偶函数，故有计算以下积分(2)(1)

证明比较积分等式两端的被积函数与可作如下的变量代换：令那么于是例6.25证

设函数在区间上具有连续导数，那么(6.4)

由不定积分的分部积分公式得6.2.4定积分的分部积分法定理6.5证简记作或〔6.4〕式称为定积分的分部积分公式。

求定积分.

计算

根据定积分的分部积分公式得例6.26解例6.27解证明〔1〕〔2〕〔n为正整数〕〔1〕根据三角函数关系：，令，那么于是例6.28证特别地，当时，n正整数，有〔2〕用定积分的分部积分法把上式看作以为未知量的方程，解之,得称它为递推公式。连续使用上述递推公式，可导出如下结果：当n为偶数时，有其中，代入上式中，得当n为奇数时，有本例结果可直接引用，例如请读者证明并使用以下结论：①②③联想？在定积分这一章，推导和联想到了一系列特殊的定积分的结论，汇总于此，应熟练运用这些结论。〔1〕〔2〕6.2.3定积分的常用结论汇总〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系