材料力学课件

材料力学(2013)第一章绪论材料力学的任务变形固体基本假设外力及其分类内力、截面法杆件几种基本变形形式材料力学的研究对象：工程结构往往由许多“构件”组成！材料力学研究的物体均为变形固体，简称“构件”；现实中的构件形状大致可简化为四类，即杆、板、壳和块。杆---长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的几何形状可用其轴线（截面形心的连线）和垂直于轴线的几何图形（横截面）表示。轴线是直线的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。各横截面相同的直杆，称为等直杆；本教材的主要研究对象主要为等直杆。工程结构或机械结构实例：2、构件安全使用的性能指标强度：构件抵抗破坏的能力刚度：构件抵抗变形的能力稳定性：构件维持其原有平衡状态的能力

材料力学的任务

《材料力学》任务：在满足强度、刚度与稳定性要求的前提下,如何合理择选和设计材料、形状和尺寸，以符合安全和经济性的综合要求。学习方法？教材选用？材料力学主要研究对象的几何特征实体板杆件材料力学的主要研究对象横截面轴线直杆变形固体的基本假设连续性假设假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质均匀性假设假设材料的力学性能在各处都是相同的。各向同性假设假设变形固体各个方向的力学性能都相同

2、内力的概念构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起构件各部分之间的相互作用的力，称为内力。

3、截面法(结合基本变形讲解)

载荷和内力

1、载荷种类(a)轴向拉伸(b)轴向压缩PPPP剪切变形PP杆件的四种基本变形形式扭转变形MeMegj弯曲变形MeMe

组合变形同时发生两种或以上的基本变形第二章轴向拉伸和压缩(及剪切)载荷特点：受轴向力作用变形特点：各横截面沿轴向做平移§2-1工程实际中杆轴向拉压问题§2-2轴向拉压杆件的内力定义以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为轴向拉伸或压缩内力的计算截面法内力的表示轴力图----形象表示轴力沿轴线变化的情况内力特点：内力方向沿轴向，简称轴力FN轴力的符号规定：横截面上内力计算--截面法截面法求内力步骤将杆件在欲求内力的截面处假想的切开；取其中任一部分并在截面上画出相应内力；由平衡条件确定内力大小。例如：左半部分：∑Fx=0FP=FN右半部分：∑Fx=0FP,=FN,150kN100kN50kNFN

+-例1：作图示杆件的轴力图，并指出|FN|maxIIIIII

|FN|max=100kNFN2=-100kN100kNIIIIFN2FN1=50kNIFN1I50kN50kN100kN§2.3轴向拉、压杆的应力应力和应变的概念杆件轴向拉压时横截面上的应力杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力

F

AMC点全应力（总应力）：应力的概念——截面上某点的内力集度。C全应力分解为：p

M

垂直于截面的应力称为“正应力”:位于截面内的应力称为“切（剪）应力”:应力说明：（1）必须明确截面及点的位置；（2）是矢量；（3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕)1MPa=106Pa应变的概念：xyMM’DxMLNM’L’N’Dx+

s线应变（应变）与切应变（角应变）DxMLNM’L’N’Dx+

s例2:求ab边的平均应变和ab、ad两边夹角的变化250200adcba’0.025g250200adcba’0.025g平面假设杆件的横截面在变形后仍保持为平面，且垂直于杆的轴线。由此可知：两横截面之间的纵向纤维伸长都相等，故横截面上各点的正应变都相等；其正应力也相等，即横截面上的正应力均匀分布。杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公式：FN—轴力A---横截面面积σ的正负号与FN相同；即拉伸为正压缩为负2.3.1轴向拉伸或压缩时横截面上的正应力例3已知F1=2.5kN,F3=1.5kN,求杆件各段的轴力。例4一中段开槽的直杆如图，受轴向力F作用；已知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；试求杆内的最大正应力解：求轴力FN;FN=-F=-20kN=-20x103N求横截面面积：A1=bh=20x25=500mm2A2=b(h-h0)=20x(25-10)=300mm2求应力由于1-1，2-2截面轴力相同，所以最大应力应该在面积小的2-2截面上σ=FNA=-20X103300=-66.7MPa

（负号表示为压应力）2.3.2轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力变形假设：平面假设仍成立。推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同。FFF①全应力：②正应力：③切应力：1）

α=00时，σmax＝σ2）α＝450时，τmax=σ/2

FFF§2.4材料拉伸力学性能液压万能实验机低碳钢拉伸时的力学性能试件仪器应力应变曲线比例极限σp弹性极限σe屈服极限σs抗拉强度σb滑移线颈缩伸长率和断面收缩率伸长率断面收缩率塑性材料：δ≥5%脆性材料：δ＜5%铸铁拉伸铸铁等脆性材料在拉伸时，变形很小，应力应变曲线图没有明显的直线部分，通常近似认为符合胡克定律。其抗拉强度σb是衡量自身强度的唯一指标。Ψ==也是衡量材料塑性的一个重要指标两个材料塑性指标:§2.5材料压缩时的力学性能低碳钢压缩铸铁压缩失效：由于材料的力学行为使构件发生断裂、塑性变形以及其它强度或刚度问题而使构件丧失正常功能的现象。脆性材料拉伸极限应力

b+塑性材料极限应力：

s拉压构件材料的失效判据：脆性材料压缩极限应力

b-§2-7失效、安全因素和强度计算构件实际工作应力应该要低于极限应力1.材料的许用应力（考虑加工、环境及保险程度等）塑性材料许用应力：脆性材料：许用拉应力

其中，ns——对应于屈服极限的安全因数其中，nb——脆性材料的安全因数

许用压应力

2.拉(压)杆的强度条件：其中：s——工作应力；[s]——材料拉伸(压缩)时的许用应力。

结论：构件实际工作应力不能超过许用应力即：轴向拉、压强度条件为：（2.12）3.

关于安全因数的选定（1）理论与实际差别：考虑极限应力(ss，s0.2，sb)、横截面尺寸、荷载等的变异，以及计算简图与实际结构的差异。（2）足够的安全储备：使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。安全系数的取值：安全系数是由多种因素决定的。可从有关规范或设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为1.5～2.2；对于脆性材料通常取为3.0～5.0，甚至更大。4.强度计算的三种类型问题

(3)

许可荷载的确定:FN,max=A[s]

(2)

截面选择：

(1)

强度校核：某铣床工作台的近给液压缸如图示，缸内工作压力p=2MPa，液压缸内径D=75mm，活塞杆直径d=18mm，已知活塞杆材料的许用应力[σ]=50MPa，试校核活塞杆的强度。解：求活塞杆的轴力：横截面上的应力为：活塞杆强度足够例题§2.8杆件轴向拉、压时的变形设等截面直杆原长l0，截面面积A0，在轴力F作用下，其长度变为l1，截面面积变为A1；其轴向绝对变形（伸长）△l和轴向（相对变形）线应变ε分别为：△l=l1-l0直杆横截面上的正应力：当应力不超过某一值时，正应力与线应变满足胡克定律：σ=Eε由以上可以得到：式中：E称为材料的弹性模量EA称为杆件的抗拉拉刚度——此式称为杆件拉压（纵向）变形公式泊松比的概念如果等直杆在变形前后的横向尺寸为：b0、b1；

那么其横向绝对变形和横向线应变分别为△b和ε’;△b=b1-b0 ε’=△b/b0实验表明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小，ε’为负；杆件轴向压缩时，横向尺寸增大，ε’为正；可见，轴向线应变ε和横向线应变ε’彼此恒为异号实验还表明：对于同一种材料，在弹性范围内，杆件的横向线应变ε’与纵向线应变ε绝对值之比为一常数：比例系数ν称为泊松比，是一个无量纲的量利用比例关系：例题

图示等直杆的横截面积为A、弹性模量为E，试计算D点的总位移。解：P3P-------——§2.10

拉、压超静定问题1.超静定问题-----仅用平衡方程不能求出反力的问题。2.变形协调方程-----构件变形关联点之间的几何数量关系。3.解超静定问题方法-----列静力方程、变形协调方程、物理方程。例

左端固定铰支的刚性横杆AB，用两根材料相等、截面面积相同的钢杆支撑使AB杆处于水平位置。右杆稍短D距离，现需要在AB杆右端加外载F多大，才能使右孔也铆上。[解]

（板书）AB应力集中---由于杆件外形突然变化而引起的局部应力骤然增大的现象。(工件上切口、切槽、油孔、螺纹、轴肩等处）§2-12应力集中的概念理论应力集中因数：具有小孔的均匀受拉平板，K≈3。§2-13剪切和挤压实用计算1、受力特征:2、变形特征：一、剪切的实用计算上刀刃下刀刃nnFFFFS剪切面剪切实用计算中，假定剪切面上各点处的切应力相等，于是得剪切面上的名义切应力为：——剪切强度条件剪切面为圆形时，其剪切面积为：对于平键，其剪切面积为：例题

如图所示冲床，Fmax=400kN，冲头[σ]＝400MPa，冲剪钢板τu=360MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。解(1)按冲头的压缩强度计算d(2)按钢板剪切强度计算

tPP剪切面挤压面PP挤压力挤压面挤压应力二、挤压的实用计算PPabc三.剪切和挤压强度条件材料许用切应力

材料许用挤压应力§3-1扭转的概念和实例§3-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§3-3纯剪切§3-4圆轴扭转时的应力§3-5圆轴扭转时的变形第三章扭转§3-1

工程实例mm扭转构件受力特点：两端在垂直轴线的平面内受大小相等，转向相反的力偶作用。变形特点：各截面绕轴线发生相对转动，即发生相对角位移-----扭转角

本章主要内容：圆轴的扭转问题AB§3-2二、按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶作功完成：已知轴转速－n转/分钟输出功率－P

千瓦求：力偶矩Me扭转时的内力称为扭矩，截面上的扭矩与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。扭矩求解仍然使用截面法扭矩正负规定：右手法则三、扭矩、扭矩图扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目的①扭矩变化规律，反映扭转变形形式；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT

例题3.1

传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。

MAMBMCBCADMD解：计算外力偶矩扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目的①扭矩变化规律，反映扭转变形形式；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT

例题

计算例3.1中所示轴各段的扭矩，并作扭矩图。MAMBMCBCADMD解：已知:477.5N·m955N·m637N·mT+-作扭矩图如左图示。§3-3纯剪切薄壁圆筒：壁厚（r：为平均半径）实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。一、薄壁圆筒的纯剪切

变形后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3．扭转实验结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度

。

③矩形网格(可视为单元体）均歪斜成同样大小的平行四边形。二、切应力互等定理：

上式称为：切应力互等（双生）定理。

该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb

dy´´tz

三、剪切胡克定律

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，

因

无量纲，故G的量纲与

相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。材料三个弹性常数之间存在下列关系：1.横截面变形后仍为平面；

2.轴向无伸缩；

3.纵向线变形后仍彼此平行。平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕自身轴线旋转了一个角度。§3-4圆轴扭转时的应力一、等直圆杆扭转实验观察：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为

任一点处的

与到圆心的距离

成正比。——扭转角沿长度方向变化率。Ttmaxtmax2.物理关系：剪切胡克定律：代入上式得：但这里的dф/dx尚未知！3.静力学关系：令再代入物理关系式得：—切应力计算公式。4.关于公式的讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。

Ip—极惯性矩，纯几何量。单位：mm4，m4。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。关于Ip的计算公式:对于实心圆截面：D

d

O④切应力分布tmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。⑤确定截面上最大剪应力：由知：当Wt—

抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：

三、扭转强度条件强度条件：，[t]—材料许用切应力；对于塑性材料．[t]＝(0.5一0.577)[σ]对于脆性材料，[t]＝(0.8—1.0)[σ+]

式中，[σ+]代表许用拉应力。例题3.3某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，试校核轴的强度。

解：计算截面参数：由强度条件：故轴的强度满足要求。同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。

空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：由上式解出：d=46.9mm。若将空心轴改成实心轴，仍使，则§3-5圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形由前面的公式：知：长为

l一段杆两截面间相对扭转角

为对于阶梯轴，两端面间相对扭转角

为二、单位长扭转角

：或三、刚度条件GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。[

]称为许用单位长扭转角。例题3.4：M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm,

AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa1、求此轴的最大切应力2、AB段和BC段单位长扭转角解：1、求最大切应力扭矩图如左：TAB=-5kN.m;TBC=-1.8kN.m根据切应力计算公式2、单位长扭转角为：§4-1弯曲的概念和实例§4-2受弯构件的简化§4-3剪力和弯矩§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系*第四章弯曲内力4-1弯曲的概念

一、弯曲变形

在外力作用下，杆件轴线由直线变为曲线，称为弯曲变形。以弯曲为主的杆件，常称之为梁（横梁）。弯曲实例对称弯曲：1）梁有包含轴线的纵向对称面；

2）载荷分布在纵向对称面内。

梁弯曲变形后其轴线将成为位于纵向对称面内的一条曲线。以下常见的横截面都具有纵向对称轴：

圆形截面、矩形截面、工字钢、T型钢等。§4-2受弯构件的简化一、梁支座的简化a)滑动铰支座b)固定铰支座c)固定端

二、载荷的简化(a)集中荷载F1集中力M集中力偶(b)分布荷载q均布荷载静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。(a)悬臂梁(b)简支梁(c)外伸梁

三、静定梁的基本形式超静定梁——仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。§4-3剪力和弯矩3）一般情况下，第一步需要确定梁宏观上的所有载荷：由静力学平衡方程求约束反力1）弯曲内力素：剪力和弯矩2）基本确定方法------截面法（另外，口诀法）MMMMFSFSFSFS

（2）弯矩：绕截面轴转动的内力素。符号规定：剪力为正剪力为负弯矩为正弯矩为负（1）剪力：平行于横截面的内力素。符号规定：例4.1如图所示的简支梁，试求1－1截面及C处左右截面上的内力。解：1.求支座反力得:2.求截面1－1上的内力对于C左截面：对于C右截面：注意到：在集中力作用处，左右截面上剪力和弯矩变化。§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图1）剪力、弯矩方程：2）剪力图、弯矩图：剪力和弯矩的方程所对应的几何图形，其横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。例4.2

作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。xFSFFlMFlAB例4.3

试画出图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力，由得2.列剪力和弯矩方程在AC段内，在BC段内，2）集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小；弯矩图上无突变，但斜率发生突变。1）在某一段梁上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。初步由此剪力图和弯矩图可知：例4.4悬臂梁作用均布载荷q，画梁的剪力图和弯矩图解：写出剪力方程和弯矩方程剪力图、弯矩图如右，最大剪力、弯矩均发生在B点：BAlFAYqFBY解：1．确定约束力FAy＝FBy＝ql/22．写出剪力和弯矩方程（画图）yxCxFSxMx例4-5简支梁受均布载荷q，画出剪力图和弯矩图。§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系*

剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系假设：规定q(x)向上为正，向下为负；yxMF1q(x)ABxdxdxO（3）集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小;弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。（1）在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。（2）在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。（4）在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小而剪力图无改变。由以上各剪力图和弯矩图可知：例4-6外伸梁AB承受荷载如图所示，作梁的剪力和弯矩图。DABC+__3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kN·m)3.81.4132.2_+FAFBFS一、纯弯曲时的正应力

二、弯曲切应力

三、提高弯曲强度的措施

第五章弯曲应力一、弯曲正应力

简支梁CD段剪力为零，只有弯矩为常量，该段梁的变形称为纯弯曲。AC、BD段梁的内力既有弯矩又有剪力，称为横力弯曲。（一）纯弯曲和横力弯曲

（二）纯弯曲梁横截面上正应力

研究梁纯弯曲时横截面上正应力的基本方法：实验观察；提出假设；通过变形几何、物理、静力平衡关系1、变形几何规律实验观察：（1）各纵向线变成彼此平行的弧线，顶面纵向线缩短，靠底面的纵向线伸长。（2）各横向线依然为直线，只是发生相对转动bboo

obobMM①梁弯曲的平面假设纵向纤维之间无牵拉和挤压作用，而只受拉伸和压缩作用，（各条纤维彼此平行的弧线，仅发生拉伸长和压缩短）弯曲变形后原来的横截面仍为平面，只是绕自身平面内某一轴旋转一个角度，且仍垂直于梁变形后的轴线。由此可得，梁内部的变形和受力情况的假设：②纵向纤维单向拉压假设弯曲变形后，横截面上既有拉应力，又有压应力。由此假设，可进一步推断：①中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，是梁中受拉区和受压区的分界面，此层纤维称中性层。②中性轴：中性层与横截面的交线（z轴）。下面，具体分析变形几何关系取一微段梁dx分析：现计算：距中性层为y的纵向纤维b′-b′的变形：由此可知：在一定弯矩M下，中性层的曲率是常数，故纵向纤维的变形应变与y成正比。

此公式反映出正应力线性分布规律！中性轴处为0,最远处出现最大值！2、物理关系（胡克定律)具体的正应力大小尚不可求！（曲率及y？）由假设：每条纤维受单向拉、压，有：3、静力关系即：中性轴通过截面形心1）确定中性轴位置：2）确定中性层曲率：其中：Iz—横截面对中性轴的惯性矩

EI-梁的抗弯刚度正应力沿高度线性分布！最后得到：纯弯曲梁弯曲正应力计算公式：

1）明确公式各符号的意义；2）判断拉压应力及正负号：3）公式使用条件：线弹性范围、平面弯曲（三）关于公式（3）的几点说明4）

横力弯曲时正应力纯弯曲正应力公式：研究表明，当跨度l

与横截面高度h

之比l/h>5

时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲具有足够的精确度。梁截面的上、下边缘处，弯曲正应力取得最大值：-----抗弯截面系数

（四）最大正应力计算矩形截面：几种典型截面对中性轴的惯性矩等实心圆截面：截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:

解：例5-1：已知P=1.5KN,求梁C截面上a、b点的正应力。FAYFBYMxBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kN（1）求支反力和弯矩：解：例5-2：求图示矩形截面梁（1）C截面上K点正应力；（2）C截面上最大正应力；（3）全梁上最大正应力；（4）已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρ（3）

C截面上最大正应力C截面弯矩C截面惯性矩（压应力）（2）C截面K点的正应力（5）C截面曲率半径ρ（4）

整梁上最大正应力整梁中的最大弯矩：M=90*1.5—60*1.5*1.5/2=67.5（KNm）(五)弯曲正应力强度条件1.弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑3.变截面梁要综合考虑

与

根据强度条件可进行三类计算：强度校核:截面设计:确定梁的许可荷载:例5-3：某车间计划安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重，起重量，跨度，材料的许用应力。试选择工字钢的型号。（4）选择工字钢型号（3）根据计算（2）绘弯矩图

（1）计算简图解：36c工字钢§5-4

弯曲切应力（一）矩形梁横截面上的切应力1、公式推导：n1m'n'2m1'ze11'1'11ye2e1x2112dxbAyyxdxxM+dMMFSFSss+dst'mnmm'dxtyt'AM(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)Fs(x)dxs1xyzs2t’tb由剪应力互等t方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。（二）其它截面梁横截面上的剪应力其中Fs为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b为y点处截面宽度。1、研究方法与矩形截面同；切应力的计算公式亦为：2、常见截面最大切应力近似计算公式：§5-6提高弯曲强度的措施控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。一、合理安排梁的受力情况二、梁的合理截面合理的截面形状使截面积较小（或恒定时）而抗弯截面系数较大。尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力［σ］时，称为等强度梁。三、采用变截面梁汽车板簧、阶梯轴、鱼腹梁等§6-1工程中的弯曲变形问题§6-2挠曲线的微分方程§6-3用积分法求弯曲变形§6-4用叠加法求弯曲变形§6-5简单超静定梁§6-6提高弯曲刚度的一些措施第六章弯曲变形§6-1工程中的弯曲变形问题

在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。如：

摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。

起重机横梁的变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。

但有些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。汽车平衡悬架的结构微结构及微机电系统（MEMS）的微梁构件微梁构件§6-2挠曲线的微分方程1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。B1Fxqwyx

2.梁位移的度量：(1)挠度：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正(2)转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，逆时针转动为正

挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数—w=f(x)

转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系—3.计算变形的目的：刚度校核、解超静定梁、施工工艺等4.挠曲线的近似微分方程的推导：忽略剪力对变形的影响,对于横力弯曲,有:推导纯弯曲正应力时，得到：（1）由高等数学可知：略去高阶小量，得所以（2）

考虑到弯矩的正负号规定，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，也即上式等号得左右项始终同号！结合(1)和(2)式,得到挠曲线的近似微分方程为：对上述二次微分方程进行积分，再利用边界条件和连续条件

确定积分常数。就可以求出梁横截面的挠度和转角。（6.5）近似：1）忽略剪力影响；2）小变形（弯曲）①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的边界条件或连续条件确定。优点：使用范围广，直接求出较精确；关于上述公式的讨论：§6-3用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件

－弹簧变形例6-1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次：再积分一次：ABF4）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF例6-2已知梁的抗弯刚度为EI。试求在均布载荷q作用下梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。解：（1）梁的弯矩方程：（3）梁的转角方程和挠曲线方程分别为：（4）最大转角和最大挠度分别为：θAθB（2）由边界条件：得：设梁上有n

个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为

，挠度为y，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为Mi(x)

，转角为

i，挠度为yi，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，§6-4用叠加法求弯曲变形故由于梁的边界条件不变，因此：重要结论：小变形情况下，梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。例题6-3

按叠加原理求A点转角和C点挠度。qqPP=+AAABBBCaa例6-4已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C

截面的挠度yC；B截面的转角

B。yC1yC2yC3例6-5悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角

C。

梁的刚度校核对弯曲构件的刚度要求是：其最大挠度或转角（或指定某截面上值）不得超过某一规定的许用限度：§6-5简单超静定梁例6-6试求图示系统的求全部未知力。解：

建立静定基确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构——静定基。=q0LABLq0MABAq0LRBABxf

几何方程——变形协调方程+q0LRBAB=RBABq0AB

物理方程——变形与力的关系

补充方程

求解其它问题（反力、应力、变形等）

几何方程

——变形协调方程：解：

建立静定基=例6-7

结构如图，求B点反力。LBCq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0ABxf=LBCq0LRBABCRBAB+q0AB

物理方程——变形与力的关系

补充方程

求解其它问题（反力、应力、变形等）xf§6-6提高弯曲刚度的一些措施一、改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式：改变载荷类型：二、选择合理的截面形状三、选用高强度材料，提高许用应力值

同类材料，“E”值相差不多，“

b”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。

不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！§7-1应力状态概述§7-2二向和三向应力状态的实例§7-3二向应力状态分析——解析法§7-5三向应力状态§7-8广义胡克定律§7-10强度理论概论§7-11四种常用强度理论

第七章应力和应变分析强度理论§7-1应力状态概述问题的提出:

为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？一、基本概念：应力状态32回顾：弯曲梁横截面上应力情况可得出结论:1)应力:不同横截面应力不同;同一横截面上不同点处应力不同;2)不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；3)同一点不同方位的截面,应力是不是变化?

如果变化,又以怎样的规律变化?应力状态分析：研究一点处各个不同方向截面上的应力及其变化规律。应力状态:

过一点所有不同方向截面上的应力情况的集合.拉中有剪（为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？）前面失效问题的根源----某方向截面上应力的作用剪中有拉（为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？）二、应力状态研究方法——采用单元体PABCD单元体：围绕受力构件内任意点切取的微元体。主平面——单元体的三个相互垂直的面上都无切应力。主应力——主平面上的正应力对应的有三个主应力，相应的用、、来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即

应力状态分类：单向应力状态：

只有一个主应力不等于零。二向（平面）应力状态：

有两个主应力不等于零，其余一个主应力等于零。三向（空间）应力状态：

三个主应力都不等于零。§7-2二向和三向应力状态的实例滚珠轴承外圈§7-3二向应力状态分析——解析法平面应力状态的普遍形式：在常见的受力构件中，在两对平面上既有正应力σ又有切应力τ。可将该单元体用平面图形来表示。σ、τ正负号规定：σ——拉为正，压为负；τ——以对微单元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负；

x

xy

yxyO

x

xy

yn

y

xy

x

tn一、任意斜截面上的应力二、极值应力1、极值正应力例题1分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体

求极值应力

xyC

yxMCxyO

xy

yxxysxtxysyO

max在切应力相对的项限内，且偏向于x

及y大的一侧。2、极值切应力例题2图示应力状态（单位：Mpa），求：（1）斜截面上的应力；（2）主应力的大小；（3）最大切应力解：（1）已知，（2）主应力大小（3）最大切应力xyzxyz应力状态的定义（单、二、三向）一般应力状态都有：§7-5三向应力状态xyz

xyz

例题3：求图示应力状态的主应力和最大剪应力。（应力单位为MPa）。解：例题4：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。解：一、单拉下的应力--应变关系二、纯剪的应力--应变关系xyzxyzxy§7-8广义胡克定律三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:xyz

szsytxysx§7-8广义胡克定律当单元体三个平面皆为主平面时，

分别为x,y,z方向的主应变，与主应力的方向一致，，三主平面内的切应变等于零。特例：对平面应力状态例题5

图示一直径d=20mm的实心受扭圆轴，已知材料的弹性模量E＝200Gpa，泊松比v＝0.3，并且测得圆轴表面与母线成45度方向a-a的线应变ε45＝5.2×10-4,试求扭矩Te

的大小。例题6

已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为ε1＝240×10-6，ε3＝－160×10-6。构件材料为Q235钢，弹性模量E=210GPa，泊松比ν＝0.3。试求该点处的主应力数值，并求该点处另一主应变ε2的数值和方向。解：由题意可知，该点处于平面应力状态且由广义胡克定律可得：

是缩短的主应变。其方向沿构件表面的法线方向。§7-10强度理论概述强度条件的建立材料因强度不足而引起失效现象是不同的，它取决于：1.材料本身的性质，包括塑性材料和脆性材料：单向拉伸试验塑性材料出现屈服，脆性材料突然断裂2.材料的受力状态，包括简单应力状态，复杂应力状态一、最大拉应力（第一强度）理论：

认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。二、最大伸长线应变（第二强度）理论：

认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。三、最大剪应力（第三强度）理论：

认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。1、破坏判据：3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。2、强度准则：4.畸变能密度理论（第四强度理论）基本假设：畸变能密度是引起材料塑性屈服的 主要因素屈服准则：强度条件：四个强度理论的强度条件可写成统一形式：称为相当应力§8-1组合变形和叠加原理§8-2拉伸或压缩与弯曲的组合§8-3偏心压缩和截面核心*§8-4扭转与弯曲的组合

第八章组合变形§8-1

组合变形和叠加原理组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两种以上的基本变形。前提条件：①线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律；②必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算，且能保证与加载次序无关。叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力，应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响应的叠加.组合变形工程实例§8-2拉伸或压缩与弯曲的组合一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的 作用而产生的变形。二、应力计算方法----线性叠加例1：已知许用拉应力试设计钢立柱直径d。解：将力P向立柱轴线简化，立柱承受拉伸和弯曲两种基本变形，任意横截面上的轴力和弯矩为：横截面上与对应的拉应力均匀分布，横截面上与M对应的弯曲正应力按线性分布，两种应力叠加后应满足强度条件:例2图a所示起重机的最大吊重F=12kN，许用应力，试为横梁AB选择工字钢型号。解：根据横梁AB的受力图，由平衡方程可得：做弯矩图和轴力图，危险截面为C点左侧截面。注意：求工字钢截面几何尺寸时，因为A、W不可能同时获得，所以不能同时考虑弯矩与轴力条件，可先按弯曲强度条件试算，再按弯压组合进行强度校核。查型钢表，可选用16号钢，，按弯压组合强度条件，可知C点左侧截面下边缘各点压应力最大：说明所选工字钢合适。按弯曲强度条件可得：AB

作弯矩图和扭矩图，可知危险截面为固定端截面：§8-4扭转与弯曲的组合危险截面上的1点和2点有最大弯曲正应力和最大扭转切应力：

围绕1点取单元体，可见1点处于平面应力状态，其三个主应力为：由第三强度理论建立强度条件：由第四强度理论建立强度条件：将(3)代入(1)、（2）式得：（1）（2）对于圆轴有（3）（4）例3一伞形水塔,受力如图,其中P为满水时的重力,Q为地震时引起的水平载荷,立柱的外径D=2m,壁厚t=0.5m,如材料的许用应力[σ]=8MPa，试校核其强度。例4如图,电动机带动一胶带轮轴,轴直径d=40mrn,胶带轮直径D=30Omm,轮重G=6OON。若电动机功率N=14KW,转速n=980r/min,胶带紧边与松边拉力之比T/t=2,轴的[σ]=12OMPa。试按最大切应力理论校核轴的强度。§9-1压杆稳定的概念§9-2两端铰支细长杆的临界压力§9-3其他支座条件下细长杆的临界压力§9-4欧拉公式的适用范围经验公式§9-5压杆的稳定校核§9-6提高压杆稳定的措施第九章压杆稳定实例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为20mm

1mm。钢的许用应力为[]=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为：[P]=A[]=3.92KN实际上，当压力不到40N时，钢尺就被压弯。可见，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而是与受压时变弯有关。§9-1压杆稳定的概念一、稳定平衡与不稳定平衡的概念

对于一般的压杆：

当压力F小于某一临界值Fcr，撤去横向力Q(微扰）后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡形态，称压杆原有直线形态下的平衡是稳定平衡。

FF(a)Q(b)当压力F增大到一临界值Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态，此时称压杆在原来直线形态下的平衡是不稳定平衡。失稳：这种不能保持原有平衡状态的现象称为丧失稳定性，简称失稳。临界载荷（Fcr)：使压杆原直线的平衡由稳定转变为不稳定的轴向压力值，称为压杆的临界载荷。两端铰支，长为L的受压直杆。§9-2两端铰支细长压杆的临界压力承受临界压力的公式推导：即得这就是两端绞支细长压杆临界力的计算公式。（欧拉公式）例题1===

P294§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力两端绞支一端固定另绞支端两端固定一端固定另端自由支承情况临界力的欧拉公式长度系数

=1=0.7=0.5=2欧拉公式的统一形式:为压杆的长度系数;l

为相当长度。注意：相当长度l

的物理意义一、欧拉公式的应用范围(1)压杆的临界应力公式（临界应力欧拉公式）压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的压应力可按

=P/A计算。§9-4欧拉公式的应用范围

经验公式按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为：为压杆横截面对中性轴的惯性半径称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。

越大，相应的

cr越小，压杆越容易失稳。若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力

cr。(2)欧拉公式的应用范围只有在

cr

P的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力Fcr（临界应力

cr）。或1、

当

1（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧拉公式。2、当

<

1（中柔度压杆）时，不能应用欧拉公式。

而要用经验公式：如16锰

钢

1的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可取E=20