《五年高考真题五星汇编·数学》：第十八章推理与证明(完结)数学归纳法0806027doc高中数学

《五年高考真题五星汇编·数学》：第十八章推理与证明（完结）数学归纳法0806027doc高中数学一、考题选析：例1、〔06安徽21〕数列的前项和为，〔Ⅰ〕写出与的递推关系式，并求关于的表达式；〔Ⅱ〕设，求数列的前项和。解：由得：，即，因此，对成立。由，，…，相加得：，又，因此，当时，也成立。〔Ⅱ〕由，得。而，，。例2、〔07广东21〕函数，是方程的两个根〔〕，是的导数，设，．〔1〕求的值；〔2〕证明：对任意的正整数，都有；〔3〕记，求数列的前项和．函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，〔n=1,2,……〕〔1〕求的值；〔2〕证明：对任意的正整数n，都有>a；〔3〕记〔n=1,2,……〕，求数列{bn}的前n项和Sn。解析：〔1〕∵，是方程f(x)=0的两个根，∴；〔2〕，=，∵，∴有差不多不等式可知〔当且仅当时取等号〕，∴同，样，……，〔n=1,2,……〕，〔3〕，而，即，，同理，，又。例3、〔05重庆22〕数列满足.〔Ⅰ〕用数学归纳法证明：；〔Ⅱ〕不等式对成立，证明：，其中无理数e=2.71828…。〔Ⅰ〕证明：〔1〕当n=2时，，不等式成立.〔2〕假设当时不等式成立，即那么.这确实是讲，当时不等式成立.依照〔1〕、〔2〕可知：成立.〔Ⅱ〕证法一：由递推公式及〔Ⅰ〕的结论有两边取对数并利用不等式得故上式从1到求和可得即〔Ⅱ〕证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用不等式得上式从2到n求和得因故成立。二、考题精练：〔一〕选择题：1、〔07上海〕设是定义在正整数集上的函数，且满足：〝当成立时，总可推出成立〞．那么，以下命题总成立的是〔〕Ａ、假设成立，那么当时，均有成立Ｂ、假设成立，那么当时，均有成立Ｃ、假设成立，那么当时，均有成立Ｄ、假设成立，那么当时，均有成立〔二〕解答题：2、〔07湖北21〕〔I〕用数学归纳法证明：当时，；〔II〕关于，，求证：，；〔III〕求出满足等式的所有正整数。解法1：〔Ⅰ〕证：用数学归纳法证明：〔ⅰ〕当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，因此左边右边，原不等式成立；〔ⅱ〕假设当时，不等式成立，即，那么当时，，，因此在不等式两边同乘以得，因此．即当时，不等式也成立．综合〔ⅰ〕〔ⅱ〕知，对一切正整数，不等式都成立．〔Ⅱ〕证：当时，由〔Ⅰ〕得，因此，．〔Ⅲ〕解：由〔Ⅱ〕知，当时，，．即．即当时，不存在满足该等式的正整数．故只需要讨论的情形：当时，，等式不成立；当时，，等式成立；当时，，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的只有．解法2：〔Ⅰ〕证：当或时，原不等式中等号明显成立，下用数学归纳法证明：当，且时，，．①〔ⅰ〕当时，左边，右边，因为，因此，即左边右边，不等式①成立；〔ⅱ〕假设当时，不等式①成立，即，那么当时，因为，因此．又因为，因此．因此在不等式两边同乘以得，因此．即当时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．〔Ⅱ〕证：当，时，，，而由〔Ⅰ〕，，．〔Ⅲ〕解：假设存在正整数使等式成立，即有．②又由〔Ⅱ〕可得，与②式矛盾．故当时，不存在满足该等式的正整数．下同解法1．3、〔06陕西22〕函数，且存在，使。〔I〕证明：是上的单调增函数；〔II〕设，其中。证明：；〔III〕证明：。解:〔I〕∵f'(x)=3x2－2x+eq\f(1,2)=3(x－eq\f(1,3))2+eq\f(1,6)>0，∴f(x)是R上的单调增函数．〔II〕∵0<x0<eq\f(1,2)，即x1<x0<y1．又f(x)是增函数，∴f(x1)<f(x0)<f(y1)．即x2<x0<y2．又x2=f(x1)=f(0)=eq\f(1,4)>0=x1，y2=f(y1)=f(eq\f(1,2))=eq\f(3,8)<eq\f(1,2)=y1，综上，x1<x2<x0<y2<y1．用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时，上面已证明成立．(2)假设当n=k(k≥1)时有xk<xk+1<x0<yk+1<yk．当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有f(xk)<f(xk+1)<f(x0)<f(yk+1)<f(yk)，∴xk+1<xk+2<x0<yk+2<yk+1由(1)(2)知对一切n=1，2，…，都有xn<xn+1<x0<yn+1<yn．〔III〕eq\f(yn+1－xn+1,yn－xn)=eq\f(f(yn)－f(xn),yn－xn)=yn2+xnyn+xn2－(yn+xn)+eq\f(1,2)≤(yn+xn)2－(yn+xn)+eq\f(1,2)=[(yn+xn)－eq\f(1,2)]2+eq\f(1,4)．由(Ⅱ)知0<yn+xn<1．∴－eq\f(1,2)<yn+xn－eq\f(1,2)<eq\f(1,2)，∴eq\f(yn+1－xn+1,yn－xn)<(eq\f(1,2))2+eq\f(1,4)=eq\f(1,2)4、〔06江西22〕数列满足：，且〔1〕求数列的通项公式；〔2〕证明：关于一切正整数，不等式。解：将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝〔n1〕…………1证：据1得，a1a2…an＝为证a1a2……an2n！只要证nN时有…………2明显，左端每个因式差不多上正数，先证明，对每个nN，有1－〔〕…………3用数学归