复变函数04吉大

第三节柯西积分公式

柯西积分公式

考虑积分

设f(z)在闭曲线C所在的区域内解析,z0为C内的点，则有

(1)被积函数在C上连续,积分I必然存在；

(2)被积函数在z0点不解析,I不一定为0.

例如f(z)≡1时：1

根据闭路变形原理,积分I的值沿任何一条围绕z0的简单闭曲线都是相同的.

因此取以z0为中心,半径r>0很小的的正向圆周|z－z0|=r为积分曲线Cr,则有因此,I只与f(z)在z0点附近的值有关.

可得

2

由于f(z)连续,并且积分

I在C上的值与r

无关,令r0得：f(z)

f(z0)即3

上式称为柯西积分公式

柯西积分公式若f(z)在区域D内解析;

C为D内的任何一条正向简单闭曲线;

它的内部完全含于D;

z0为C内的任意一点.则4

柯西积分公式的进一步说明

对于由简单闭曲线C围成的有界闭区域上的解析函数,它在区域内任意一点的值可以用它在边界C上的值来表示；

柯西公式是解析函数的最基本的特性之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的.5

柯西积分公式应用举例

例计算积分6第四节解析函数的高阶导数

在实函数中,一阶导数的存在,并不能保证高阶导数的存在.而复变函数只要在某区域内可导便有特别好的性质.

解析函数的导数仍然是解析的.即解析函数的任意阶导数都存在.

函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异.7

解析函数的导数公式

解析函数f(z)的导数仍然是解析函数，它的n阶导数为其中闭曲线C为f(z)的解析区域D内围绕z0

的任意一条正向简单闭曲线,而且它的内部全含于D.

本定理证明较长，请同学们参见教材。8

解析函数高阶导数公式的常见应用计算某些特定闭曲线的积分

例计算积分,C为正向圆周：|z|=r>1

解9被积函数在C内的z=

i处不解析.在C内作互不相交的正向圆周C1,C2分别只包含i

,－i.由复合闭路定理101112第五节解析函数与调和函数的关系

若二元实变函数u(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数，且在D内满足Laplace(拉普拉斯)方程

调和函数的定义则称u(x,y)是区域D内的调和函数。13

解析函数与调和函数的关系定理

设f(z)=

u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则函数f(z)的实部和虚部都是D内的调和函数.证明由f(z)=

u(x,y)+i

v(x,y)在D内解析，则u,v满足C－R方程，即由解析函数的导数仍为解析函数，即解析函数具有任意阶导数，因而解析函数的实14部和虚部具有任意阶的连续偏导数，将上式中的两个等式分别对x和y求偏导数，得因此u与v都是D内的调和函数.15

共轭调和函数

设u(x,y)与v(x,y)是区域D内的调和函数.若在区域D内函数f(z)=

u(x,y)+i

v(x,y)是解析函数，则v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数.即

解析函数的虚部是实部的共轭调和函数.

共轭调和函数的等价定义

在D内满足C－R方程16的两个调和函数u和v，v称为u的共轭调和函数.

共轭调和函数的常见应用若知道解析函数f(z)=u+iv实部和虚部中的一个，利用C－R方程，就可求出另一个.具体解法如下：

已知u(x,y)是调和函数，先求出u(x,y)的一阶偏导数17由C－R方程再利用上式结果，求v(x,y)的偏导数解出g

(x),再求g

(x)的积分,得到v(x,y).

已知v(x,y),求u(x,y)的方法基本相同.18

例证明u(x,y)=y3－3x2y为调和函数,并求出其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数.

解先证明u为调和函数.因为19再利用C－R方程解出v.u(x,y)=y3－3x2y20相应得到的解析函数为21

例已知调和函数v=ex(ycosy+xsiny)+x+y，求一解析函数f(z)=u+iv.使f(0)=0.

解2223由f(0)=0,得C=0.将上式整理得所以2425

下面介绍已知调和函数u(x,y)或v(x,y),求解析函数f(z)=u+iv的另一种方法.

由解析函数f(z)=u+iv的导数仍为解析函数，有把ux－iuy与vy+ivx表成自变量为z(z=x+iy)的函数,得26

例已知u(x,y)=y3－3x2y,求以u(x,y)为实部所构成的解析函数f(z)=u+iv.

解因为f(z)=u+iv解析，所以

于是求f(z)的过程就意味着求U(z)或V(z)

的原函数的过程,这种方法可以称为原函数法.27

因为f(z)的实部u(x,y)=y3-3x2y没有常数,

所以C1不含实部，是纯虚数，从而2